雷成林，譚躍剛，黃林考，陶紅武

(武漢理工大學(xué) 機電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070)

四足機器人在非結(jié)構(gòu)環(huán)境下的高適應(yīng)性和靈活運動特性，使其在某些特殊場合具有重要的應(yīng)用和研究意義，如地震或火災(zāi)救援、野外軍事支持、戶內(nèi)家庭服務(wù)和教育娛樂等，四足機器人也因此成為機器人研究領(lǐng)域的熱點[1-3]。當前，四足機器人的研究多數(shù)圍繞機體為剛性的四足機器人展開，研究內(nèi)容主要集中于腿部結(jié)構(gòu)仿生和四足之間的步態(tài)生成與協(xié)調(diào)控制研究上。而在實際的四足哺乳動物中，柔性脊柱關(guān)節(jié)對于四足哺乳動物實現(xiàn)高速、靈活而穩(wěn)定的運動具有重大意義。

大阪工業(yè)大學(xué)的Takuma等研制了一款腿部只有髖關(guān)節(jié)的被動脊柱型四足機器人[4]，通過脊柱末端的絞盤牽拉鋼絲可實現(xiàn)脊柱剛度的調(diào)節(jié)，從而研究不同脊柱剛度對機器人運動速度的影響，實驗表明合理的脊柱剛度可以提高四足機器人運動的能量效率。日本東京大學(xué)JSK實驗室研制了一款帶有主動脊柱的四足機器人SQ43[5]，通過機器人后腿電機牽拉穿過脊柱中間的鋼絲，實現(xiàn)脊柱“腹向彎曲(脊柱向下彎曲)-回復(fù)”的驅(qū)動。實驗表明柔性脊柱的引入使得四足機器人在不規(guī)則地面運動時更穩(wěn)定。2012年波士頓動力公司和MIT均對剛性脊柱的四足機器人進行改進，研制了帶有主動脊柱關(guān)節(jié)的四足機器人Cheetah，主動脊柱關(guān)節(jié)的引入，提高了四足的擺動速度和幅度，使整個機器人運動速度最高可達45 km/h，這是目前世界上運動速度最快的四足機器人[6]。Zhao等人提出了由脊柱驅(qū)動的四足機器人Kitty[7-8]，該機器人的彈性腿無驅(qū)動源，由脊柱的主動彎曲運動實現(xiàn)機器人轉(zhuǎn)彎和奔跑，實驗結(jié)果表明柔性脊柱增加了機器人脊柱自由度，增大腿部的運動范圍，同時脊柱的主動運動可提高四足機器人運動的魯棒性和靈活性。

主動柔性關(guān)節(jié)脊柱對于四足機器人運動性能的提高具有重要意義，可以提高其穩(wěn)定性和運動速度，但目前對于四足機器人主動柔性關(guān)節(jié)脊柱的研究還相對較少，因此有必要對四足機器人主動柔性關(guān)節(jié)脊柱進行研究分析。

1 柔性脊柱設(shè)計

脊柱機構(gòu)的結(jié)構(gòu)性能優(yōu)劣直接影響到能否將脊柱機構(gòu)引入到四足機器人中并有效提高脊柱型四足機器人的運動性能。筆者從仿生的角度出發(fā)，分析四足哺乳動物脊柱的生理結(jié)構(gòu)特性以及關(guān)節(jié)驅(qū)動特性，以此為依據(jù)對柔性脊柱機構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計展開研究。

1.1 四足哺乳動物脊柱及關(guān)節(jié)柔性機理

以四足哺乳動物寵物狗為仿生對象，對其結(jié)構(gòu)進行分析可知，生物狗的脊柱是通過脊柱關(guān)節(jié)單元串聯(lián)而成，脊椎之間通過韌帶彈性連接。四足哺乳動物關(guān)節(jié)驅(qū)動并非剛性，肌肉-肌腱組織的彈性特性使得生物關(guān)節(jié)具有良好的柔性特性，能實現(xiàn)對外界沖擊的緩沖與柔順，同時能在反復(fù)的關(guān)節(jié)運動中實現(xiàn)能量的存儲與釋放，提高能量利用效率。

四足機器人在運動過程中，整個脊柱的運動并不是圍繞脊柱上的某一點或某個關(guān)節(jié)做彎曲運動，而是多個脊柱關(guān)節(jié)同時進行不同程度運動，這種多關(guān)節(jié)運動形式使整個脊柱運動更加靈活。由于相鄰脊柱關(guān)節(jié)具有相近的運動形態(tài)，故可以將仿生柔性脊柱機構(gòu)大致設(shè)定為多段結(jié)構(gòu)。理論上仿生柔性脊柱機構(gòu)的關(guān)節(jié)數(shù)量應(yīng)與四足哺乳動物的脊柱一致，關(guān)節(jié)數(shù)越多，自由度就越多，脊柱的運動更靈活。但關(guān)節(jié)越多，整個脊柱機構(gòu)將更加復(fù)雜，體積、質(zhì)量更大，同時會造成冗余，增加控制成本以及控制復(fù)雜性。結(jié)合四足機器人整體結(jié)構(gòu)尺寸和質(zhì)量要求，綜合考慮控制成本以及復(fù)雜性，采用雙關(guān)節(jié)、三段式的柔性脊柱機構(gòu)整體結(jié)構(gòu)方案，如圖1所示，即為帶有雙關(guān)節(jié)串聯(lián)柔性脊柱的四足機器人模型。

圖1 雙脊柱關(guān)節(jié)型四足機器人示意圖

1.2 柔性關(guān)節(jié)脊柱結(jié)構(gòu)設(shè)計

基于以上分析，筆者選用旋轉(zhuǎn)型串聯(lián)彈性驅(qū)動器(series elastic actuator，以下簡稱SEA)作為脊柱關(guān)節(jié)的驅(qū)動方案。該脊柱關(guān)節(jié)主要由輸入軸、傳動彈簧組、掃臂、輸出盤和連接板等模塊構(gòu)成，如圖2所示。

圖2 柔性脊柱關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)

雙關(guān)節(jié)串聯(lián)柔性脊柱機構(gòu)的整體結(jié)構(gòu)模型如圖3所示。電機通過傳動機構(gòu)同步帶帶動脊柱輸入軸和與輸入軸相連接的掃臂機構(gòu)，使掃臂對傳動彈簧進行壓縮或拉伸(一組傳動彈簧中，其中一個彈簧受拉，則另外一個受壓)，通過彈簧的彈性回復(fù)力對輸出圓盤驅(qū)動，從而實現(xiàn)從電機到負載的彈性驅(qū)動過程。

圖3 串聯(lián)柔性脊柱機構(gòu)結(jié)構(gòu)模型

1.3 柔性脊柱關(guān)節(jié)的等效剛度計算

等效剛度是影響柔性脊柱驅(qū)動控制性能的重要參數(shù)之一，下面將分析脊柱等效剛度與單個彈簧剛度系數(shù)、構(gòu)型參數(shù)的關(guān)系。

輸出盤固定，輸入彈簧安裝架旋轉(zhuǎn)θs角度時，一組彈簧受力模型如圖4所示。其中KA為彈簧剛度；R為掃臂長度；F1、F2為彈簧1和彈簧2對掃臂的力；FS1、FS2為F1和F2在垂直掃臂方向上的分力。

圖4 彈簧和掃臂受力圖

不考慮彈簧半徑rs，一組彈簧產(chǎn)生的力矩為：

T=FRcosθs=2KAR2sinθscosθs

(1)

考慮彈簧半徑時，一組彈簧產(chǎn)生的力矩為：

(2)

則三組彈簧產(chǎn)生的合力矩為：

(3)

根據(jù)剛度定義公式，可得脊柱關(guān)節(jié)的等效剛度Ks為：

(4)

由于彈簧轉(zhuǎn)動的角度較少，而且彈簧半徑相對于掃臂長度也較小，則其等效剛度可以近似為：

Ks≈6KAR2

(5)

柔性關(guān)節(jié)等效剛度KS與單個彈簧剛度KA近似成正比，且彈簧軸線到旋轉(zhuǎn)中心距離R越大，等效剛度系數(shù)越大。

2 脊柱關(guān)節(jié)動力學(xué)特性分析

2.1 柔性脊柱關(guān)節(jié)動力學(xué)建模

采用力源法對脊柱關(guān)節(jié)進行動力學(xué)建模分析，即將電機輸出看作是理想力源輸出。脊柱關(guān)節(jié)動力學(xué)模型如圖5所示。Tm為關(guān)節(jié)輸入力矩(即電機輸出轉(zhuǎn)矩);Jm為輸入端轉(zhuǎn)動慣量；Dm為輸入端阻尼系數(shù)；Tl為關(guān)節(jié)輸出力矩(-Tl為外界對脊柱關(guān)節(jié)的力矩)；Jl為輸出端轉(zhuǎn)動慣量；Dl為輸出端阻尼系數(shù)；θm為輸入端位移(電機角位移)；θl為輸出端位移；θs為偏轉(zhuǎn)角度；Ks為脊柱關(guān)節(jié)等效剛度。

圖5 柔性脊柱關(guān)節(jié)動力學(xué)模型

對于輸入端，其力矩平衡方程為：

Tm=Jmθ″m+Dmθ′m+Ts

(6)

對于輸出端，其力矩平衡方程為：

-Tl=Jlθ″l+Dlθ′l-Ts

(7)

式中：Ts為彈簧的彈性回復(fù)力矩，依據(jù)胡克定律有：

Ts=Ksθs=Ks(θs-θl)

(8)

將輸出力矩進行反饋，并對系統(tǒng)采用PID控制，則柔性脊柱關(guān)節(jié)的閉環(huán)系統(tǒng)方框圖如圖6所示。其中，由于θl=0，由式(7)和式(8)知Tl=Ts=Ksθs，即通過測量脊柱關(guān)節(jié)傳動彈簧的偏轉(zhuǎn)角度，并根據(jù)脊柱關(guān)節(jié)等效剛度來求取輸出力矩，實現(xiàn)輸出力矩反饋。

圖6 閉環(huán)系統(tǒng)方框圖

Te(s)為系統(tǒng)輸入與輸出之間的誤差，其頻域表達式如下：

Te(s)=Tm(s)-Tl(s)

(9)

C(s)為PID控制器，其頻域表達式如下：

(10)

聯(lián)立式(9)和式(10)可得式(11)：

(11)

根據(jù)圖6并結(jié)合式(9)～式(11)可得閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表達式為：

(12)

則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(13)

式中：B0=KsKi；B1=Ks+KsKp；B2=Dm+KsKd；B3=Jm；A0=KsKi；A1=KsKp；A2=KsKd。Kp、Ki、Kd分別為PID控制器的比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)。

2.2 脊柱關(guān)節(jié)等效剛度對動力學(xué)系統(tǒng)特性影響

脊柱關(guān)節(jié)等效剛度Ks是脊柱關(guān)節(jié)動力學(xué)系統(tǒng)的重要特性參數(shù)，直接影響系統(tǒng)動力學(xué)特性，下面從頻域分析等效剛度對動力學(xué)系統(tǒng)特性的影響。

初步取PID參數(shù)Kp=15，Ki=50，Kd=0.1。為分析等效剛度對動力學(xué)特性的影響，等效剛度Ks分別取20 N·m/rad,40 N·m/rad,60 N·m/rad。

(1)開環(huán)頻域特性。依據(jù)式(12)即閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，通過Matlab繪制閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖和Bode圖，分析不同Ks時系統(tǒng)穩(wěn)定性，如圖7和圖8所示。

圖7 閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖

圖8 閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖

由圖7可知，開環(huán)Nyquist曲線不包圍(-1，j0)點，即在[s]平面右半平面無極點，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。同時由圖8所示的Bode圖可看出，系統(tǒng)具有較好的相位裕度。從幅頻特性曲線變化趨勢可看出，系統(tǒng)幅頻特性曲線隨Ks的增大而右移，即系統(tǒng)的相位裕度隨Ks的增大而增大。

(2)閉環(huán)頻域特性。根據(jù)式(13)即系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)對系統(tǒng)閉環(huán)頻域特性進行分析。通過Matlab建模分析，求出系統(tǒng)特征根和諧振峰值、諧振頻率和帶寬，結(jié)果如表1和表2所示。同時繪制閉環(huán)系統(tǒng)Nyquist圖和Bode圖，如圖9和圖10所示。

表1 不同Ks時閉環(huán)系統(tǒng)特征根

表2 不同Ks時系統(tǒng)諧振峰值、諧振頻率和帶寬

圖9 閉環(huán)系統(tǒng)的閉環(huán)Nyquist圖

由表1閉環(huán)系統(tǒng)特征根表可知，不同Ks情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根均具有負實部，即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，這一結(jié)論與前文通過閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist和Bode圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性所得的結(jié)論一致。

從圖10的Ks相頻特性曲線和幅頻特性曲線的變化關(guān)系可知，相頻特性曲線和幅頻特性曲線隨Ks的增大而右移，系統(tǒng)帶寬隨Ks增大而增大。從表2也可看出，隨著等效剛度Ks的增大，諧振峰值變小，諧振頻率和系統(tǒng)帶寬增大，即系統(tǒng)的平穩(wěn)性好，超調(diào)量減小。

2.3 輸出阻抗特性分析

輸出阻抗是衡量脊柱關(guān)節(jié)的柔順特性和力矩控制性能的重要指標，輸出阻抗越低，脊柱關(guān)節(jié)對外力矩的柔順特性越好，輸出力矩控制精度越高[9]。根據(jù)輸出阻抗定義，脊柱關(guān)節(jié)輸入端固定(即電機轉(zhuǎn)子固定，θm=0)、輸出端自由時，輸出端在外力矩-Tl作用下，外力矩與輸出端位移之比即為輸出阻抗[10]。根據(jù)式(6)～式(8)可得輸出阻抗Z為：

(14)

通過Matlab分析Ks對輸出阻抗的影響，由圖11可知，低頻時系統(tǒng)阻抗主要受Ks影響，即系統(tǒng)在低頻狀態(tài)下的阻抗可認為與Ks等效，Ks越大，輸出阻抗越大，輸出力矩控制精度越低，關(guān)節(jié)柔順特性越差。從系統(tǒng)頻域特性分析結(jié)果可知Ks越大，系統(tǒng)響應(yīng)速度和帶寬越大，然而Ks過大，脊柱關(guān)節(jié)驅(qū)動則失去了彈性驅(qū)動的意義，關(guān)節(jié)柔順特性變差，力矩控制精度變低，因此在確定脊柱關(guān)節(jié)等效剛度時要綜合考慮系統(tǒng)的響應(yīng)特性和柔順特性。基于此分析，初步選取脊柱關(guān)節(jié)等效為40 N·m/rad。

圖11 不同Ks下脊柱關(guān)節(jié)輸出阻抗特性

3 柔性脊柱關(guān)節(jié)運動實驗研究

從實驗角度來進行柔性脊柱關(guān)節(jié)的響應(yīng)速度、跟蹤特性、穩(wěn)定性等分析，采用的控制方法主要是開環(huán)控制。搭建控制實驗平臺，如圖12所示，主要進行階躍力矩控制實驗、斜坡力矩控制實驗和正弦力矩控制實驗。

圖12 柔性脊柱機構(gòu)控制實驗平臺

3.1 階躍力矩控制實驗

設(shè)定脊柱關(guān)節(jié)輸入信號為幅值5 N·m的階躍信號力矩(即期望輸出)，記錄內(nèi)部傳動彈簧的偏轉(zhuǎn)角度，根據(jù)上述方法可得系統(tǒng)在輸入信號為幅值5 N·m時的輸出力矩響應(yīng)，如圖13為階躍力矩響應(yīng)曲線。由圖13可知，關(guān)節(jié)輸出力矩具有較好的穩(wěn)定性，穩(wěn)態(tài)誤差小，無明顯超調(diào)，但上升時間較長，響應(yīng)速度較慢。

圖13 階躍力矩響應(yīng)曲線

3.2 斜坡力矩控制實驗

設(shè)定輸入為y=2×t(t=0～2 s)的斜坡力矩信號，將脊柱關(guān)節(jié)輸出端固定，通過角度傳感器測量脊柱關(guān)節(jié)內(nèi)部傳動彈簧的偏轉(zhuǎn)角度。對角度傳感器信號濾波處理，并根據(jù)脊柱關(guān)節(jié)等效剛度求取輸出力矩實際值。關(guān)節(jié)斜坡力矩輸出響應(yīng)曲線如圖14所示。

圖14 斜坡力矩響應(yīng)曲線

由圖14可知，脊柱關(guān)節(jié)系統(tǒng)的實際輸出力矩?zé)o法精確跟蹤輸入力矩(期望輸出力矩)，輸出與輸入之間存在一定的跟蹤誤差，但在輸出響應(yīng)曲線在整體變化趨勢上能夠跟蹤輸入。輸出響應(yīng)曲線大致上隨時間增大而呈現(xiàn)階梯狀上升，這是由于在實驗過程中，對關(guān)節(jié)輸出端進行機械固定，關(guān)節(jié)輸入端在電機作用下轉(zhuǎn)動，使內(nèi)部傳動彈簧發(fā)生偏轉(zhuǎn)，通過角度傳感器測量傳動彈簧的偏轉(zhuǎn)角度，最終依據(jù)脊柱關(guān)節(jié)等效剛度來求輸出力矩。等效剛度的值隨傳動彈簧偏轉(zhuǎn)角度的變化呈非線性變化，但實際控制實驗過程中選用固定等效剛度來求輸出力矩，這對控制效果造成一定影響。同時結(jié)構(gòu)加工和安裝誤差也會對實驗結(jié)果造成一定影響。

3.3 正弦力矩控制實驗

為進一步分析脊柱關(guān)節(jié)力矩控制特性，設(shè)定脊柱關(guān)節(jié)輸入力矩為頻率1 Hz，幅值為6 N·m的正弦信號。實驗過程與上述實驗相同，即固定輸出端，關(guān)節(jié)輸入端在電機作用下轉(zhuǎn)動，使內(nèi)部傳動彈簧發(fā)生偏轉(zhuǎn)，通過角度傳感器測量傳動彈簧的偏轉(zhuǎn)角度，并依據(jù)脊柱關(guān)節(jié)等效剛度和偏轉(zhuǎn)角度求取脊柱關(guān)節(jié)在該輸入下的輸出力矩響應(yīng)。如圖15所示，脊柱關(guān)節(jié)實際輸出力矩在峰值時存在一定的波動，主要原因是在力矩最大處，脊柱關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)方向發(fā)生改變，換向過程的抖動和傳感器的噪聲信號都對輸出力矩的控制和檢測造成一定影響。但從整體來看，脊柱關(guān)節(jié)輸出力矩能較好跟蹤輸入力矩，無明顯幅值誤差和相位誤差。

圖15 正弦力矩響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

基于脊柱型四足機器人對柔性脊柱功能與性能的要求，從仿生角度出發(fā)，研究了雙關(guān)節(jié)串聯(lián)形式的脊柱機構(gòu)，將串聯(lián)彈性驅(qū)動引入脊柱關(guān)節(jié)驅(qū)動，研究脊柱關(guān)節(jié)的動力學(xué)特性和力矩控制方法。進行了仿真分析和實驗研究，仿真分析驗證了該控制方法穩(wěn)定可靠，實驗驗證了結(jié)構(gòu)的合理性、控制方法的可行性及控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有效性。