侯麗麗 王 帥

(江蘇理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州 213001)

在量子光學(xué)中，雙模壓縮Fock態(tài)(TMSFS)是一類較為普遍且具有一定意義的非高斯型量子態(tài).理論上，TMSFS態(tài)可以由一個(gè)雙模壓縮算符作用于雙模Fock態(tài)上而獲得，即

|TMSFS〉=S2(r)|m,n〉,

(1)

式中S2(r)=exp[r(a?b?-ab)]是雙模壓縮算符，r為壓縮參數(shù).由式(1)結(jié)合雙模壓縮算符的Bogolyubov變換，容易得到TMSFS態(tài)的平均光子數(shù)為

(2)

根據(jù)式(2)，TMSFS態(tài)的平均光子數(shù)在給定初始?jí)嚎s參數(shù)r的情況下，隨著雙模Fock態(tài)|m,n〉的粒子數(shù)m和n增加而增大.TMSFS態(tài)最早由Chizhow等人[17]提出，該非高斯型量子態(tài)的光子數(shù)分布性質(zhì)、糾纏性質(zhì)等非經(jīng)典性質(zhì)已經(jīng)得到了較詳細(xì)地研究[18,19].2018年，向少華等人[20]還研究了TMSFS態(tài)的非高斯動(dòng)力學(xué)演化的特征.最近，我們?cè)敿?xì)研究了對(duì)稱的TMSFS態(tài)(即m=n)在MZI干涉儀的相位測量精度中的性能表現(xiàn)[21].研究發(fā)現(xiàn)，基于量子Fisher信息理論，在給定初始?jí)嚎s參數(shù)的情況下，增加雙模Fock態(tài)的粒子數(shù)，對(duì)稱的TMSFS態(tài)可以提高量子Cramér-Rao(QCRB)界限，這一相位測量精度的最終極限.另一方面，基于宇稱測量所得到的相位測量精度在待測相位很小時(shí)可以達(dá)到QCRB界限.所以，對(duì)于對(duì)稱的TMSFS態(tài)，宇稱測量是一種最優(yōu)測量方案.

與文獻(xiàn)[21]不同，本文將考慮一般的TMSFS態(tài)(包括非對(duì)稱的情況，即m≠n)在量子相位估計(jì)中的性能表現(xiàn).與雙模壓縮真空態(tài)相比，研究非對(duì)稱的TMSFS態(tài)是否也能提高量子Fisher信息，進(jìn)而改善QCRB界限.與此同時(shí)，分析宇稱測量方案所得到的相位測量精度能否達(dá)到QCRB界限，即對(duì)于非對(duì)稱的TMSFS態(tài)，宇稱測量是否也是最優(yōu)測量.另外在理論上，本文考慮的情況還包括兩種重要特例：(1) 當(dāng)m=n=0時(shí)，即雙模壓縮真空態(tài),它作為MZI干涉儀的探測態(tài)，相位測量精度可以達(dá)到海森堡極限[22]；(2) 當(dāng)r=0時(shí)，即一般的雙模Fock態(tài)|m,n〉，該量子態(tài)在量子精密測量中的應(yīng)用也已經(jīng)得到研究[8].

1 馬赫-曾德爾干涉儀中的量子Fisher信息

圖1 馬赫-曾德爾干涉儀結(jié)構(gòu)示意圖

(3)

(4)

(5)

式中Hm,n(x,y)是雙變量厄密多項(xiàng)式

(6)

這里把TMSFS態(tài)用相干態(tài)表象來表示，即

(7)

(8)

盡管式(8)的形式比較復(fù)雜，但是它卻能極大地簡化后文中的計(jì)算.

下面，我們首先計(jì)算TMSFS態(tài)作為MZI干涉儀探測態(tài)時(shí)的量子Fisher信息.干涉儀的相位測量最終精度由基于量子Fisher信息的QCRB界限所確定[25]

(9)

對(duì)于量子純態(tài)作為MZI干涉儀的探測態(tài)，相應(yīng)的量子Fisher信息可基于輸入量子態(tài)計(jì)算給出[26]

(10)

根據(jù)式(1),經(jīng)繁瑣計(jì)算可得

(11)

式(11)是本文的第一個(gè)主要結(jié)果.根據(jù)式(9)和(11)容易看出，在給定初始?jí)嚎s參數(shù)r的情況下，增加雙模Fock態(tài)的m和n的取值，QCRB界限必然會(huì)得到提高.這主要是由于在給定初始?jí)嚎s參數(shù)的情況下，TMSFS態(tài)所含有的平均光子數(shù)隨著m和n的增加而增大，正如式(2)所示.因此，在給定初始?jí)嚎s參數(shù)的情況下，與雙模壓縮真空態(tài)相比較，一般的TMSFS態(tài)是可以有效提高相位測量的最終測量精度.因此，即使是在m≠n情況下，TMSFS態(tài)依然可以有效提高QCRB界限.

特別地，在極端非對(duì)稱情況下，譬如取n=0(m≠0)，式(11)退化為下面的簡單形式

(12)

顯然，給定初始?jí)嚎s參數(shù)的情況下，增加m的取值依然會(huì)有效提高QCRB界限.另一方面，若是根據(jù)探測態(tài)的總光子數(shù)，式(12)又可改寫成

(13)

可見，限定探測態(tài)都具有相同平均光子數(shù)的情況下，增加m的取值反而會(huì)削弱QCRB界限.正如文獻(xiàn)[21]所指出的，在限定探測態(tài)都具有相同平均光子數(shù)的情況下，與TMSFS相比較，雙模壓縮真空態(tài)在MZI干涉儀中的相位測量精度反而是最好的.量子態(tài)所含有的平均光子數(shù)是量子精密測量中的一個(gè)重要參數(shù).由以上分析可見，TMSFS態(tài)的優(yōu)勢在于給定初始?jí)嚎s參數(shù)時(shí)，它的平均光子數(shù)會(huì)隨著m和n的增加而增大，從而導(dǎo)致了其Fisher信息的增大.

2 宇稱測量方案與相位的測量精度

宇稱測量方案是測量微小待測相位常用的一種測量方法.已經(jīng)證明對(duì)于許多非經(jīng)典態(tài)作為MZI干涉儀的探測態(tài)[4-6,8-11,13-15]，它是一種最優(yōu)測量方案.特別地，對(duì)于一類路徑對(duì)稱的量子態(tài)，理論上已經(jīng)證明了在某些特殊相位點(diǎn)，宇稱測量方案能夠達(dá)到QCRB界限，是最優(yōu)測量[27].對(duì)于一般的TMSFS態(tài)，本文主要研究宇稱測量方案所給出的相位測量精度是否能夠達(dá)到QCRB界限，即宇稱測量方案是否是最優(yōu)測量方案.

(14)

(15)

注意到以下積分公式[30]

(16)

(17)

式中〈Πb(φ)〉0是當(dāng)雙模壓縮真空態(tài)作為MZI干涉儀的探測態(tài)時(shí)，相應(yīng)的宇稱測量信號(hào)

(18)

在推導(dǎo)式(17)的過程中，與文獻(xiàn)[22]相同，方便起見，本文也做了一個(gè)相位變換φ→φ+π/2. 該式是本文的第二個(gè)主要結(jié)果.特別的，在r=0時(shí)，TMSFS態(tài)退化為雙模Fock態(tài)|m,n〉，由式(17)可得當(dāng)雙模Fock態(tài)作為MZI干涉儀探測態(tài)時(shí)的宇稱測量的信號(hào)為

(19)

這與文獻(xiàn)[8]的結(jié)果相一致.

特別地，與式(12)相對(duì)應(yīng)，當(dāng)n=0時(shí)宇稱測量信號(hào)式(17)退化為

(20)

應(yīng)用勒讓德多項(xiàng)式的產(chǎn)生函數(shù)[31]

(21)

式(20)還可以寫成如下簡潔形式，即

(22)

應(yīng)用式(12)和(22)從數(shù)值上可方便的檢驗(yàn)，對(duì)于這種非對(duì)稱的TMSFS態(tài)，宇稱測量是否是最優(yōu)測量.

利用誤差傳播理論，干涉儀的相位測量精度為[28]

(23)

式中已經(jīng)利用了〈Π2(φ)〉=1這一事實(shí).當(dāng)m=n=0時(shí)，把式(18)代入式(23)，就得到了雙模壓縮真空態(tài)作為MZI干涉儀的探測態(tài)時(shí)，相位的測量精度為[22]

(24)

文獻(xiàn)[21]已經(jīng)指出，在限定探測態(tài)具有相同的平均光子數(shù)時(shí)，與雙模壓縮真空態(tài)相比，對(duì)稱的TMSFS態(tài)并不能改善QCRB界限.從數(shù)值上可以證明對(duì)于非對(duì)稱的TMSFS態(tài)的情況也是如此.因此，本文主要考慮在給定壓縮參數(shù)的情況下，一般的TMSFS態(tài)是否可以改善QCRB界限，宇稱測量所得到的相位測量精度是否能夠達(dá)到QCRB界限.

圖2(a)表示在不同的(m,n)取值的情況下，相位測量的最終理論極限QCRB界限隨壓縮參數(shù)的變化曲線.顯然，在給定初始?jí)嚎s參數(shù)的情況下，增加(m,n)的取值，是可以有效改善QCRB界限的.這一結(jié)果與式(11) 相符合.圖2(b)則代表宇稱測量在待測相位趨于零時(shí)(此處取φ=0.001)所得到的相位測量精度隨壓縮參數(shù)的變化曲線.圖2表明，在待測相位趨于零時(shí)，宇稱測量所得到的相位測量精度能夠達(dá)到QCRB界限.因此，宇稱測量對(duì)于m=n時(shí)的TMSFS態(tài)來說是最優(yōu)測量方案.但是，當(dāng)m≠n時(shí)的非對(duì)稱TMSFS態(tài)作為MZI干涉儀的探測態(tài)時(shí)，由圖3(a)可見，在給定初始?jí)嚎s參數(shù)的情況下，增加雙模Fock態(tài)的粒子數(shù)m和n的取值雖然可以提高QCRB界限，但宇稱測量所得到的相位測量精度并不能達(dá)到QCRB界限.而且，非對(duì)稱TMSFS態(tài)所提供的相位測量精度甚至比雙模壓縮真空態(tài)要差很多，特別是在m>1和n=0的情況.因此，與雙模壓縮真空態(tài)相比，在給定初始?jí)嚎s參數(shù)的情況下，雖然非對(duì)稱的TMSFS能夠有效改善QCRB界限，但宇稱測量并不是該量子態(tài)的最優(yōu)測量方案.

圖2 具有(m,n)不同取值的對(duì)稱TMSFS態(tài)在φ=10-3時(shí)，相位測量精度隨初始?jí)嚎s參數(shù)r的變化曲線(a) 基于量子Fisher信息所得到的最終測量界限QCRB界限；(b) 基于宇稱測量所得到的相位測量精度

圖3 具有(m,n)不同取值的非對(duì)稱TMSFS態(tài)在φ=10-3時(shí)，相位測量精度隨初始?jí)嚎s參數(shù)r的變化曲線(a) 基于量子Fisher信息所得到的最終測量界限QCRB界限；(b) 基于宇稱測量所得到的相位測量精度

3 結(jié)論

本文研究了TMSFS態(tài)作為MZI干涉儀的探測態(tài)，它在相位測量精度中的性能表現(xiàn)，給出了相應(yīng)的量子Fisher信息和宇稱測量結(jié)果的解析表達(dá)式.研究結(jié)果表明，一方面根據(jù)基于量子Fisher信息理論，在給定初始?jí)嚎s參數(shù)的情況下，TMSFS態(tài)可以進(jìn)一步值提高相位測量的最終界限，即QCRB界限.另一面基于宇稱測量方案，只有當(dāng)m=n時(shí)的對(duì)稱TMSFS態(tài)，宇稱測量在待測相位趨于零時(shí)才是最優(yōu)方案.而對(duì)于m≠n的情況，宇稱測量所得到相位測量精度并不能達(dá)到QCRB界限.因此，本文研究結(jié)果也再次證明了，對(duì)于某些非經(jīng)典態(tài)，宇稱測量并不總是一種最優(yōu)測量方案.