高永馨，王娜娜

（中國民航大學理學院，天津 300300）

隨著環(huán)境污染日益嚴重，很多學者利用數(shù)學模型研究毒素對生物種群的影響[1-2]，一般都假設毒素的排放是連續(xù)的。然而，在實際情況中毒素是每隔一段時間排放的，這種現(xiàn)象在數(shù)學中稱為脈沖，故應采用脈沖排放毒素代替連續(xù)排放[3]。文獻[4]研究了污染環(huán)境下脈沖投放毒素對生態(tài)系統(tǒng)的影響，且得到當脈沖周期小于某一臨界值時，種群就會滅絕，在此過程中，種群數(shù)量將逐漸減少，因而受隨機因素影響會越來越大，得到的閾值將會和實際情況不符，因而確定性模型難以準確描述系統(tǒng)狀態(tài)，但隨機模型更具有合理性。Bahar 等[5]研究隨機時滯Lotka-Volterra 模型，表明白噪聲不僅可抑制種群爆炸，同時可使模型的解隨機有界。Liu 等[6]討論了非自治系統(tǒng)在隨機擾亂下生存與滅絕的閾值，并研究隨機干擾下系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性。隨機干擾成為目前的研究熱點，但相關研究成果[7-8]，主要針對單種群和兩種群，對帶有脈沖毒素的隨機三種群模型研究較少。在真實環(huán)境中，三種群及三種群以上的捕食與被捕食關系更為普遍[9]，增加研究種群的數(shù)目，會相應增加模型的擬合程度和研究難度。因此，考慮帶有脈沖毒素的2 食餌1 捕食者的三種群隨機模型，通過研究在脈沖毒素和隨機干擾下三種群的動力學行為，進而探究在某環(huán)境區(qū)域內(nèi)對人類活動所造成影響的最大容納量，以保證以該地區(qū)為主要生存地的種群能持續(xù)生存，為后續(xù)研究多種群生態(tài)模型提供參考。

1 模型構(gòu)建

依賴于被捕食者和食餌密度的Beddington-DeAngelis 功能反應，在低密度狀態(tài)下，更加符合實際的生態(tài)系統(tǒng)。文獻[10]建立帶Beddington-DeAngelis 功能性反應的2 食餌1 捕食者確定性模型（系統(tǒng)1），即

其中：初值滿足xi（0）＞0，i=1，2，y（0）＞0；xi（t）為食餌在t 時刻的規(guī)模，i=1，2；y（t）為捕食者在t 時刻的規(guī)模；r1，r2和r3分別為種群x1（t），x2（t）和y（t）的內(nèi)稟增長率；aij分別為種群x1（t），x2（t）和y（t）的種內(nèi)競爭系數(shù)，i，j=1，2，3；a12，a21分別為兩類食餌種群間的競爭系數(shù)別為捕食者y（t）對食餌x1（t）和x2（t）的Beddington-DeAngelis 功能反應，其中，m1，n1為環(huán)境容納度；m2，n2為捕食者對食餌x1（t），x2（t）的飽和作用，m3，n3分別為食餌x1（t）之間、食餌x2（t）之間的相互作用；a13，a23為捕食者y（t）對食餌x1（t），x2（t）的捕獲率；a31，a32為捕食者y（t）對食餌x1（t），x2（t）的轉(zhuǎn)化率；所有系數(shù)均為正常數(shù)。

環(huán)境中連續(xù)的隨機干擾可由白噪聲描述，即用ri+αi（B˙i）（t）代替ri。其中，（B1，B2，B3）T是定義在完備概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上有相互獨立分量的{Ft}t＞0可適應的三維標準布朗運動。毒素攝入可用脈沖方程[3-4]表述。因此，將白噪聲與脈沖毒素考慮進系統(tǒng)1，可得以下隨機三種群模型（系統(tǒng)2）為

其中：初值滿足條件xi（0）＞0，i=1，2，y（0）＞0；σi（t）為噪聲強度，i=1，2，3；Ce（t）為環(huán)境中毒素的濃度；h為在t 時刻毒素的損失率；τ 為脈沖輸入周期；u 是脈沖輸入量；li為食餌與捕食者對環(huán)境毒素的劑量反應，i =1，2，3。

2 符號表示與相關引理

為了簡便，定義符號如下

引理1系統(tǒng)2 對于任意給定的初值（x1（0），x2（0），，當t ＞0，存在唯一的全局正解（x1（t），

證明在t ＞0 上，對于任意給定的初值μ（0）=ln x1（t），v（0）=ln x2（t）和ω（0）=ln y（0）考慮以下方程

驗證上述方程均滿足局部Lipschitz 條件，因此，在t ＞0 上，方程存在唯一局部正解（μ（t），v（t），ω（t）），再利用伊藤公式，x1（t）=eμ(t)，x2（t）=ev(t)，y（t）=eω(t)是方程滿足初值條件x1（0）＞0，x2（0）＞0 和y（0）＞0 的解。

引理2設g（t）∈C（Ω×[0，∞），R+），其中，C（Ω×[0，∞），R+）為定義在Ω×[0，∞）上所有正值函數(shù)的集合簇[11]。

Ⅰ）如果存在常數(shù)T ＞0，λ0＞0，λ，σi和λi滿足

其中，對任意t≥T，則

Ⅱ）如果存在常數(shù)T ＞0，λ0＞0，λ，σi和λi滿足

其中，對任意t≥T，則

再考慮系統(tǒng)2 的脈沖毒素因素，將其獨立研究并作為系統(tǒng)2 的子系統(tǒng)3，即

引理3系統(tǒng)3 有唯一的τ-周期解Ce*（t），該解是全局自治穩(wěn)定的[12]，即

3 滅絕性與持久性

從引理3 可知，系統(tǒng)3 有一全局自治穩(wěn)定的τ-周期解Ce*（t），因此，系統(tǒng)2 的極限系統(tǒng)（系統(tǒng)4）可表示為

定理1對于系統(tǒng)4，有以下結(jié)論。

證明應用伊藤公式到系統(tǒng)4，可得

據(jù)以上結(jié)論，對定理1 的結(jié)論分別證明。

證明Ⅰ利用式（5），可得

再根據(jù)式（7）可得到

證明Ⅱ由于通過證明Ⅰ可知x2（t）=0。

再利用式（5），可得

將引理2 中的證明Ⅰ和證明Ⅱ分別作用于式（10）和式（11），可得

將引理2 中的證明Ⅰ作用于式（12），當〈λ3〉*＞時，有

從而可知，捕食者y（t）在時間平均意義下有上界。

4 結(jié)語

通過建立一類帶有脈沖毒素輸入的Beddington-DeAngelis 功能性反應的隨機三種群模型，分析可發(fā)現(xiàn)脈沖毒素的輸入與白噪聲干擾都對種群的生存起著重要作用。由定理1 可知，是食餌x1（t）與x2（t）的生存閾值，i=1，2，當食餌x1（t）與x2（t）都滅絕且當時，食餌x1（t）在平均意義下強持久。是捕食者y（t）的生存閾值，且當捕食者y（t）會滅絕。此外，當捕食者y（t）在時間平均意義下有上界。

定理的結(jié)果客觀反映了生態(tài)系統(tǒng)中種群穩(wěn)定性存在的充分條件，利用定理的結(jié)論定性和定量估計脈沖毒素輸入及隨機干擾的情況下種群的生存風險，制定最優(yōu)策略減少經(jīng)濟損失。