孫靜

1 原題呈現(xiàn)

武漢市2019年中考數(shù)學(xué)第16題：

問題背景：如圖l，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，DE與BC交于點(diǎn)P，可推出結(jié)論：PA+PC=PE。

輔導(dǎo)中，許多學(xué)生面對此題茫然無措，不知從何處下手。我們引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)思考以下兩個(gè)問題：①題目中的問題背景與后續(xù)問題之間有怎樣的內(nèi)在聯(lián)系？②前后圖形之間是否有相同或相似之處？

2 思路分析

2.1 從圖形人手，尋找二者之間的相同或相似之處

經(jīng)過前述鋪墊，部分學(xué)生很快找到了突破口：圖1中隱含著一個(gè)△ADC，其中的點(diǎn)P很可能就是圖2中要尋找的點(diǎn)O的特殊位置。該位置能使點(diǎn)O到△MNG三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小。

連接DC，如圖3，則點(diǎn)P是△ADC內(nèi)的一點(diǎn)。根據(jù)問題結(jié)論P(yáng)A+PC=PE可知：PA+PC+PD=PE+PD=DE。又因?yàn)辄c(diǎn)D，E都是定點(diǎn)，據(jù)此猜測：點(diǎn)P很可能就是△ADC內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)，所求最小值等于線段DE或BC的長。圖3中的線段AB，AE可以看作是△ADC中∠DAC的兩邊分別以點(diǎn)A為中心向三角形外部旋轉(zhuǎn)60°得到的。仿照圖3，構(gòu)造圖4，則BG或NE的長很可能就是題目中要尋找的最小值。

2.2 從文字人手，尋找二者之間的內(nèi)在聯(lián)系

3 繼續(xù)探究

此題蘊(yùn)涵的結(jié)論是否適用于任意三角形？當(dāng)點(diǎn)O擴(kuò)大為△MNG所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)時(shí)，結(jié)論又將如何？

使用幾何畫板，容易探測到圖形的變化規(guī)律。圖7是其中的三幅圖。容易發(fā)現(xiàn)：隨著∠NMG的增大，點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)M;當(dāng)∠NMG=120°時(shí)（圖7②），點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，此時(shí)NE=MN+MG：當(dāng)120°<∠NMG<180°時(shí)（圖7③），點(diǎn)P移出△MNG。此時(shí)，PG=PM+PE。PM>0.所以。PM+PN+PG=NE+2PM>NE，上述結(jié)論不再成立。

4 歸納結(jié)論

5 教學(xué)思考

本例教學(xué)啟示我們，為了培養(yǎng)學(xué)生的問題探究能力，應(yīng)重視以下幾點(diǎn)：

5.1 要重視培養(yǎng)學(xué)生挖掘隱性條件的能力

許多試題除了明白表達(dá)的顯性條件外，往往還含有深藏于字面之下圖形之中含而不露的隱性條件。如何挖掘出這些隱性條件，往往成為解決這類問題的關(guān)鍵。為此，我們不僅要重視培養(yǎng)學(xué)生掌握扎實(shí)的基礎(chǔ)知識。還要重視培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的應(yīng)用意識和豐富的想象能力、聯(lián)想能力、猜想能力、推理能力和幾何直觀能力等。

5.2 要讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提到：課程內(nèi)容要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果。也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。在輔導(dǎo)學(xué)生處理本題時(shí)。我們采用了引導(dǎo)而不是簡單傳授的方法，讓學(xué)生經(jīng)歷結(jié)論的獲得過程，教師盡量“不憤不啟不悱不發(fā)”，引領(lǐng)學(xué)生“絕知此事要躬行”。

5.3 要重視培養(yǎng)學(xué)生深入思考某一問題的能力

深入思考某一問題。才能徹底“消滅”這一問題。這種經(jīng)歷經(jīng)久難忘，并會最終形成一種強(qiáng)大的能力，“輻射四方”?？此评速M(fèi)時(shí)間，其實(shí)節(jié)省時(shí)間。它為后續(xù)學(xué)習(xí)掃清了障礙，化負(fù)擔(dān)為動力，使學(xué)生輕松上陣。蟾蠍行路，越積越重：夏季流冰，漸行漸輕。

5.4 要重視現(xiàn)代信息技術(shù)手段在教學(xué)中的應(yīng)用

本例正是利用了幾何畫板提供的直觀和便利，動態(tài)地展現(xiàn)了數(shù)據(jù)隨圖形變化的過程，使學(xué)生能夠清楚地看見事件發(fā)展的全貌，從而激發(fā)探究的欲望，這是傳統(tǒng)教學(xué)手段很難做到的。