趙俊達

2019年天津市中考有一道題引起了廣泛的關(guān)注。題目如下：

如圖1，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中?！鰽BC的頂點A在格點上。點B是小正方形邊的中點?！螦BC=50°?！螧AC=30°。經(jīng)過點A，B的圓的圓心在邊AC上。

（I）線段AB的長等于

但題目要求僅用無刻度的直尺畫圖，這樣就必須進一步挖掘點P的性質(zhì)，再利用網(wǎng)格和圓的特點來實現(xiàn)單尺畫圖的目標(biāo)。

文[1]結(jié)合圖形直觀啟示，經(jīng)歷觀察、猜想、驗證、計算、推理等數(shù)學(xué)活動，從而確認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)答案點P位于點P₁的合理性。并且進一步通過猜想、論證，獲得點P異于標(biāo)準(zhǔn)答案的另一個位置點P₂的單尺畫法，這是一個意外的收獲。筆者閱后，深受啟發(fā)，但也有疑惑，茲列舉如下：

1.文[1]在探究點P₁準(zhǔn)確位置時，推導(dǎo)大致如下：

由圖2中尺規(guī)作圖的分析知，△ABC內(nèi)部只有一個點P符合∠PAC=∠PBC=∠PCB。由此得到標(biāo)準(zhǔn)答案中的畫圖方法。

2.在探究另一個符合條件的點只的相關(guān)的角時，文[1]運用了高中三角函數(shù)的相關(guān)知識。作為中考題目。其解答的依據(jù)要從高中范圍尋找支撐，怎么也說不過去。能不能在已有的點P₁的結(jié)論的基礎(chǔ)上用初中幾何知識解決呢？筆者順著文[1]的思路，做了以下探究：