張燕琴 王才明 李勇

摘要：本文根據(jù)動力學分析、剛體的轉(zhuǎn)動定律、動量守恒定律以及動能守恒定律等物理學知識建立了理想狀態(tài)下的最佳協(xié)作策略模型以及轉(zhuǎn)矩傾斜模型，并結(jié)合現(xiàn)實情形對該模型進行了優(yōu)化，建立了合適的指標衡量實際情況下該策略的實施效果，具有一定的參考價值。

關(guān)鍵詞：動力學分析;轉(zhuǎn)動定律;轉(zhuǎn)矩傾斜模型

“同心鼓”是一項團隊協(xié)作的項目，在同心鼓的邊緣均勻固定著多條繩子，要求每個隊員通過拉繩使球顛起，并使其有節(jié)奏在鼓面上做往返運動。在顛球的過程中，要求隊員只能手握繩子的尾部，而不能接觸其他位置。要求建立模型求解出項目的最終目標，使連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能多。

1基于動力學分析的最佳協(xié)作策略模型

1.1碰撞過程中關(guān)系式的建立

碰撞前，在忽略空氣阻力作用的影響下，球在重力的作用下做自由落體運動，直到與鼓發(fā)生碰撞。鼓在繩子的作用下做加速運動，直到與排球發(fā)生碰撞。在此過程中，根據(jù)運動學定律，對排球而言，有

對于雙面鼓而言，在其上升過程中，θ隨其而不斷發(fā)生改變，從最初時刻的θ₀不斷減少至發(fā)生碰撞結(jié)束。

根據(jù)牛頓定律，可得到雙面鼓的加速度a_θ與繩對鼓的作用力F的關(guān)系式為

碰裝過程中，可知理想狀態(tài)下的碰撞為完全彈性碰撞，存在動能守恒與動量守恒，基于該定律得到如下關(guān)系式。

碰裝后，自排球與雙面鼓碰撞結(jié)束后，在忽略空氣阻力的影響下，排球?qū)⒁灾亓铀俣萭做豎直向上的減速運動，雙面鼓在人的作用下保持某一狀態(tài)。因而在此過程中，根據(jù)運動學定律，有

1.2綜合模型的確立

理想狀態(tài)下的最佳協(xié)作策略從以下兩種情形進行考慮最佳協(xié)作策略首先需要滿足顛球高度大于40cm的條件，其次考慮第一種情形時，隊員人數(shù)n、繩子長度s、初始位置較繩子水平時下降的高度l不變，確定滿足條件繩的最小拉力值;再考慮第二種情形時，保持繩的拉力F、繩子長度s、初始位置較繩子水平時下降的高度l不變，確定滿足條件隊員人數(shù)n的最小值。

2基于矩陣作用的鼓面傾角模型

2.1傾斜角度的確定

（1）力矩的分解與合成

基于上述分析，可知作用在鼓邊緣的力可以分解該點的矢徑方向與豎直向上的方向，其中分解到矢徑方向的力對鼓面的傾斜沒有影響，故而只考慮豎直反向上的力產(chǎn)生的力矩。

（2）鼓面傾角公式的推導

根據(jù)上文得到的鼓面在x、y軸方向上的傾斜角度P_X、P_Y，建立空間直角坐標系對其進行推導求解，坐標系如圖3所示。

3最佳協(xié)作策略模型的優(yōu)化

在問題二中，通過將各個力矩分解到x、y軸，分析每個力矩的作用效果。由于各個力矩在圓周的邊緣呈均勻分布狀態(tài)，根據(jù)圓的對稱性，可知兩個呈對稱分布的力所產(chǎn)生的力矩的作用效果兩兩相互抵消，如圖4所示。

觀察該圖，可以發(fā)現(xiàn)M₃和M₇大小相同，方向相反。對鼓產(chǎn)生的綜合效果不會使鼓面發(fā)生傾斜。

基于問題一中的最佳協(xié)作策略模型，主要從用力方向和力度兩個方面進行優(yōu)化。鼓面保持水平時，則不需要控制每個隊員的用力方向和力度都相同，只需滿足在圓內(nèi)呈對稱分布的隊員的用力時機和力度相同即可。即

其中n為隊員的個數(shù)，根據(jù)圓的對稱性可知第i個隊員與第個隊員成對稱分布。

4模型的結(jié)果

1）已知變量

由于球偏離豎直方向產(chǎn)生傾斜，且傾斜方向在水平面上的投影為在兩位隊員之間，且分別與兩位隊員產(chǎn)生的角度比為1：2，其角度關(guān)系如圖5

由于人數(shù)為10，因此相鄰兩個力之間的角度為36°，則該兩名隊員對繩子的拉力存在著某種關(guān)系，由三角形的正弦定理有

2）合理猜想

當球的傾斜方向在水平面上的投影指向某兩位隊員之間時，其原因可能是該隊員存在提前發(fā)力情況，其余隊員產(chǎn)生的力的大小與發(fā)力時機可視為相同，適當簡化了求解隊員的發(fā)力時機和力度的過程。

3）發(fā)力時機和力度的確定及實施效果的檢驗

以球的偏離角度B最小、球的反彈高度盡可能略大于0.4m為目標，通過Matlab程序_[2]，求解得到所有隊員的發(fā)力時機及力度，其結(jié)果如表6所示

此時球的偏離角B=0.532°，衡量該策略的實施效果的指標B修=93.42%，該指標值與1很相近，表明該策略在一定程度上的可行性較高。

參考文獻

[1] 薛艷霞，蘇振超.理論力學中等效力系的幾個性質(zhì).嘉應學院學報[J].2019.37：40-42.

[2] 司守奎，孫兆亮.數(shù)學建模與算法運用[M].北京：國防工業(yè)出版社，2015.4：430-438.