李羿良 張英 陳冠宇 趙夢薇 林超

摘 要

多目標(biāo)優(yōu)化算法可以對控制系統(tǒng)的多個控制目標(biāo)進(jìn)行控制優(yōu)化，具有普適性強(qiáng)、靈活性高和優(yōu)化結(jié)果全面的優(yōu)點(diǎn)。多目標(biāo)優(yōu)化算法種類較多，不同種類的算法針對具體問題求解的適用性存在差異[1]。針對控制優(yōu)化問題的求解，對三種典型多目標(biāo)優(yōu)化算法的適用性進(jìn)行研究。選擇三項不同類型的應(yīng)用案例，分別對三種典型多目標(biāo)優(yōu)化算法的求解性能進(jìn)行試驗與分析，在此基礎(chǔ)上確定出一種最適用于控制優(yōu)化的多目標(biāo)優(yōu)化算法，可對多目標(biāo)控制優(yōu)化問題中算法的選擇提供指導(dǎo)和參考。

關(guān)鍵詞

多目標(biāo)優(yōu)化算法，控制優(yōu)化，適用性研究

中圖分類號： U463.33? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2020.19.078

0 引言

控制優(yōu)化問題的優(yōu)化目標(biāo)往往不止一個，當(dāng)多個優(yōu)化目標(biāo)之間存在沖突時，該控制優(yōu)化問題就成為多目標(biāo)優(yōu)化問題。通常多個優(yōu)化目標(biāo)難以同時達(dá)到絕對的最優(yōu)，但可以達(dá)到相互制約條件下的相對最優(yōu)，即Pareto最優(yōu)。所有Pareto最優(yōu)解的集合形成了多目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)邊界，因此求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的本質(zhì)是找到該問題的最優(yōu)邊界。理論上，采用多目標(biāo)優(yōu)化算法對多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解，可以無限逼近最優(yōu)邊界從而得到理論最優(yōu)解集。但由于多目標(biāo)優(yōu)化算法種類較多，在解決不同的優(yōu)化問題時，不同的算法之間存在較大的性能差異。適用性更好的算法可以在得到更好結(jié)果的同時節(jié)省計算時間和計算力。因此需要對不同多目標(biāo)優(yōu)化算法在控制優(yōu)化中的適用性進(jìn)行研究。根據(jù)所采用智能優(yōu)化算法的不同，可以對多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行分類。目前常用的多目標(biāo)優(yōu)化算法包括多目標(biāo)進(jìn)化算法、多目標(biāo)蟻群算法和多目標(biāo)粒子群算法[2]。為了避免算法自身缺陷對控制參數(shù)優(yōu)化帶來的不利因素，確保優(yōu)化效果，本文利用標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)和兩個典型控制優(yōu)化模型對這三種典型多目標(biāo)優(yōu)化算法分別進(jìn)行性能試驗和結(jié)果分析，在此基礎(chǔ)上確定出一種最適用于控制優(yōu)化的多目標(biāo)優(yōu)化算法。

1 三種典型多目標(biāo)優(yōu)化算法的描述[3]

1.1 多目標(biāo)優(yōu)化問題與多目標(biāo)優(yōu)化算法的一般化描述

多目標(biāo)優(yōu)化算法是一種以Pareto支配關(guān)系為基礎(chǔ)對多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解的算法。多目標(biāo)優(yōu)化算法的核心步驟是針對每一次迭代后的種群，依據(jù)Pareto支配關(guān)系尋找當(dāng)前Pareto最優(yōu)解集，然后通過智能優(yōu)化算法的更新法則對該解集進(jìn)行迭代更新，迭代完成后最新的Pareto最優(yōu)解集就是優(yōu)化問題的解。

1.2 多目標(biāo)進(jìn)化算法

多目標(biāo)進(jìn)化算法種類繁多，雖然每個種類的具體算法各不相同，但它們的基本思路是一致的：通過對種群B（t）執(zhí)行評價、選擇和變異等操作產(chǎn)生下一代種群B（t+1）;在每一代進(jìn)化過程中，首先將種群B（t）中所有的非劣解個體都復(fù)制到外部集A（t）中，然后運(yùn)用截斷算子剔除A（t）中的受支配解和一些距離較近的非劣解，以盡快得到分布均勻的下一代外部集A（t+1）;并且按照精英集中度Pe（t）從A（t+1）中選擇一定數(shù)量的優(yōu)秀個體與A（t）種群交配;在進(jìn)化結(jié)束時，將外部集中的非劣解個體作為最優(yōu)解輸出。多目標(biāo)進(jìn)化算法的一般框架如圖1所示。

本文測試的典型多目標(biāo)進(jìn)化算法采用Matlab2010b中自帶的NSGA2函數(shù)，即改進(jìn)型非劣排序遺傳算法，于2002年提出。該算法作為一種典型多目標(biāo)進(jìn)化算法，常被作為其他多目標(biāo)優(yōu)化算法的比較對象[4]。

1.3 多目標(biāo)蟻群算法

蟻群算法通過模擬蟻群通過信息素尋找目標(biāo)的方式進(jìn)行尋優(yōu)。當(dāng)一只螞蟻移動到一個新的點(diǎn)時，會根據(jù)此點(diǎn)對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值釋放信息素，同時信息素會隨著迭代步數(shù)的增長慢慢消散。蟻群的移動以搜索范圍內(nèi)各點(diǎn)積聚的信息素作為參考因素，趨向于信息素積聚較多的點(diǎn)移動。由此形成一種正反饋機(jī)制，即最優(yōu)路徑上的信息素數(shù)量越來越大，而其他路徑上的信息素數(shù)量卻會隨著迭代步數(shù)增長而消減，最終整個蟻群會找出最優(yōu)路徑，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化問題的求解[5]。

本文測試的典型多目標(biāo)蟻群算法通過Pareto支配關(guān)系來決定螞蟻釋放信息素的多少，通過全局最優(yōu)經(jīng)驗指導(dǎo)保持算法的多樣性并簡化搜索方式，通過基于最大活動范圍的行進(jìn)策略加強(qiáng)局部搜索能力。算法步驟如圖2所示。

1.4 多目標(biāo)粒子群算法

粒子群算法是由Kennedy和Eberhart于1995年受鳥類群體行為研究結(jié)果的啟發(fā)而提出的一種基于群體智能的計算技術(shù)。在粒子群算法中，每個粒子代表解空間的一個可行解，粒子在搜索空間以各自的速度飛行，飛行速度根據(jù)自身最優(yōu)位置、群體最優(yōu)位置和隨機(jī)因素進(jìn)行動態(tài)調(diào)整。多次迭代后粒子群將收斂于最終的群體最優(yōu)位置，即為最優(yōu)化問題的解。

本文測試的多目標(biāo)粒子群算法對每次迭代的結(jié)果進(jìn)行Pareto支配篩選，根據(jù)篩選結(jié)果更新外部精英集，迭代結(jié)束后外部精英集即為多目標(biāo)優(yōu)化問題的解集。算法具體步驟如圖3所示。

2 多目標(biāo)優(yōu)化算法的評價指標(biāo)

多目標(biāo)優(yōu)化算法的目標(biāo)是快速搜索逼近真實(shí)Pareto最優(yōu)前端并且在其上均勻分布，因此評價一個多目標(biāo)進(jìn)化算法的性能可以從4個方面去考慮[6]：

（1）收斂性：評價所求Pareto最優(yōu)解集到真實(shí)Pareto最優(yōu)前端的趨近程度。

（2）分布性：評價所求Pareto最優(yōu)解集在目標(biāo)空間分布的均勻程度。

（3）覆蓋性：評價兩組Pareto最優(yōu)解相互支配的程度。

（4）搜索速度：評價算法求解優(yōu)化問題的速度。

Zitzter等人[7]對多目標(biāo)優(yōu)化評估指標(biāo)進(jìn)行了分類研究。本課題中選擇了4個目前常用的評估指標(biāo)，具體為距離指標(biāo)[8]GD、分布性指標(biāo)[9]SP、覆蓋指標(biāo)[7]C和運(yùn)行時間t。

2.1 距離指標(biāo)GD