明森，楊榮榮

(中北大學(xué) 理學(xué)院,山西 太原 030051)

1 引 言

本文研究如下半線性波動(dòng)方程的初邊值問(wèn)題

(1)

近來(lái)，關(guān)于帶小初值的半線性波動(dòng)方程的Cauchy問(wèn)題

(2)

現(xiàn)對(duì)問(wèn)題(1)中的非線性指數(shù)做分類闡述.

(1)當(dāng)a=0，b=0，c>1時(shí),(1)變?yōu)?/p>

utt-Δu=|u|c

(3)

此時(shí)(3)即為(2).

(2)當(dāng)a>1，b=0，c=0時(shí)，(1)變?yōu)?/p>

utt-Δu=|ut|a

(4)

(3)當(dāng)a>1，b=0，c>1時(shí)，(1)變?yōu)?/p>

utt-Δu=|ut|a+|u|c

(5)

當(dāng)a>a0(3)，c>c0(3)時(shí),文[7]得到解u(x,t)會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)破裂及其生命跨度T(ε)滿足

T(ε)≤Cε-[a(c-1)]/k(a,c)，k(a,c)=c+1-a(c-1)

(6)

本文考慮問(wèn)題(1)解的破裂與生命跨度的上界估計(jì)，得到如下定理.

定理1設(shè)問(wèn)題(1)的解(u,ut)∈C([0,T),H1(Ωc)×L3(Ωc))，并滿足

supp(u,ut)?{(x,t)||x|≤t+R0},a+b≤3，(c-1)(1-a-b)>-2.

則解u(x,t)會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)破裂，進(jìn)而得到其生命跨度T(ε)滿足

T(ε)≤Cε-[(a+b)(c-1)]/k(a,b,c)

(7)

其中k(a,b,c)=(c-1)(1-a-b)+2，C是不依賴于ε的正常數(shù).

2 預(yù)備引理

下面給出定理1證明中需用到的一些引理.

引理1[7-8]假設(shè)p>1，α≥1，(p-1)α>q-2，如果F∈C2([0,T))且滿足

(1)F(t)≥δ(t+R0)α

其中k,δ為正常數(shù)，則F(t)將在有限時(shí)間內(nèi)破裂，且F(t)生命跨度的上界估計(jì)T(δ)滿足

(8)

其中c是與δ無(wú)關(guān)的正常數(shù).

|φ1(x)|≤C(1+|x|)-1e|x|

(9)

其中C>0為常數(shù).

而且?x∈Ωc，0<φ0(x)<1

引理4設(shè)問(wèn)題(1)中g(shù)(x)是具有緊支集的徑向光滑函數(shù)，則問(wèn)題(1)的解滿足

|u(x,t)|≥C0εr-1

(10)

因此

現(xiàn)考慮Cauchy 問(wèn)題

利用D′Alembert公式，則有

(11)

即得(10).

3 定理1的證明

證明記ψ1(x,t)=φ1(x)e-t，其中φ1(x)如引理2中所述.則有

Δψ1=ψ1，(ψ1)t=-ψ1，(ψ1)tt=ψ1

在(1)兩邊同乘以ψ1并在Ωc上積分，可得

(12)

由于Δψ1=ψ1，則有

又因?yàn)?/p>

因此

(13)

等式(13)兩邊關(guān)于t在[0,t]上積分，則有

于是

(14)

結(jié)合(13)和(14)可得

即得到

于是

(15)

利用Holder不等式，則有

(16)

(17)

利用(16)和(17)得到

即有

利用(1)，有

從而得到

則當(dāng)t充分大時(shí)有

(18)

利用Holder不等式，則有

因而

于是，得到

(19)

利用(18)和(19)及引理1，取

δ=εa+b，α=4-a-b，q=3(c-1)，p=c

即得問(wèn)題(1)解的生命跨度的上界估計(jì)滿足

其中C是不依賴于ε的正常數(shù).定理1證畢.