摘?要：一元二次方程在初中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，然而對(duì)于很多初中生來(lái)說(shuō)，一遇到應(yīng)用題就會(huì)選擇放棄，左右為難，不知從何下手。文章旨在總結(jié)解決應(yīng)用題的方法，如何正確高效的解決問(wèn)題，希望通過(guò)文章可以幫助那些曾經(jīng)害怕應(yīng)用題的學(xué)生梳理歸納，得出自己的一套解題思路，正確的解答與一元二次方程有關(guān)的大題，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平。

關(guān)鍵詞：一元二次方程;梳理歸納;應(yīng)用題型

一、 背景

一元二次方程是學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，近年來(lái)都有考查，常以應(yīng)用題或者綜合題的形式出現(xiàn)，不管是在平時(shí)的期末測(cè)試還是最后的中考都占有一定的比例，如果是期末考試一般與一元二次方程有關(guān)的分?jǐn)?shù)占總分?jǐn)?shù)的20%～30%左右，如果是中考，占得分值5～10分左右。所以說(shuō)，掌握好一元二次方程的解法并能正確的運(yùn)用到應(yīng)用題里面是一件必須做好的事情，尤其是在考試當(dāng)中，不允許學(xué)生抱有僥幸心理，只有平時(shí)學(xué)習(xí)認(rèn)真，知識(shí)點(diǎn)加題型高效掌握才能確保萬(wàn)無(wú)一失，由此利用知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決應(yīng)用題中的問(wèn)題是一項(xiàng)值得研究的事情。

二、 解法分析

（一）一元二次方程的概念

方程中只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的方程式。必須同時(shí)滿足這兩個(gè)條件的方程式才是一元二次方程。

（二）內(nèi)容

1. 特點(diǎn)：（1）有且只有一個(gè)未知數(shù);（2）該未知數(shù)最高次為2;（3）整式方程。

課堂上教師給出幾個(gè)方程形式，讓同學(xué)們判斷是否為一元二次方程，就根據(jù)上面的條件進(jìn)行判斷。

2. 一般形式：ax2+bx+c=0

其中a，b，c均為常數(shù)，且a不可以等于0。

3. 一般解法：分為四種，分別為直接開(kāi)方法、配方法、公式法、分解因式法。

4. 判斷一元二次方程根的方法

根據(jù)判斷式b2-4ac來(lái)判斷，當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，說(shuō)明該方程有兩個(gè)不相同的實(shí)根，當(dāng)b2-4ac=0時(shí)方程的兩個(gè)實(shí)根相等，這種情況下一般舍去其中一個(gè)，也就是說(shuō)只有一個(gè)實(shí)數(shù)根。b2-4ac<0不存在實(shí)數(shù)根。

（三）一元二次方程的幾種基本解法

1. 直接開(kāi)方法

給定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程，題目要求使用直接開(kāi)方的解法解出方程的根，這種解法的一般步驟：如果左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式，右邊為一個(gè)常數(shù)，那么直接對(duì)等式兩邊進(jìn)行開(kāi)方，然后通過(guò)移項(xiàng)得出方程的解，如果左邊只含有與未知數(shù)有關(guān)的項(xiàng)，右邊只含有常數(shù)項(xiàng)，那么需要先對(duì)左邊的項(xiàng)進(jìn)行配方，其實(shí)比較麻煩的是配方的過(guò)程，因?yàn)轭}目要求使用開(kāi)方的辦法所以也只能這樣做，配方是左右兩邊同時(shí)加上或者減少一個(gè)常數(shù)，使得左邊的等式可以配成一個(gè)平方的形式，后面的步驟同上。

2. 公式法

使用公式法解一元二次方程的第一步試求b2-4ac的值，如果該值小于0，那說(shuō)明該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，不用求;如果該值等于0，說(shuō)明方程有兩個(gè)相同的根，即求其中一個(gè)根即可;如果該值大于0，說(shuō)明該方程的根有兩個(gè)而且兩個(gè)的數(shù)值不相同，所以兩個(gè)都需要求出。將方程化為一元二次方程的一般形式，將右邊的常數(shù)項(xiàng)移到左邊然后對(duì)應(yīng)一元二次方程的一般形式分別找出a，b，

c。然后根據(jù)x=-b±b2-4ac2a，分別將a，b，c的值帶入并解得x的值。

3. 因式分解法

因式分解是解數(shù)學(xué)方程的一個(gè)重要方法，不僅適用于一元二次方程，還適用于比如二次函數(shù)，特殊的反比例函數(shù)等，分解因式中包含了很多數(shù)學(xué)思想，比如說(shuō)整體轉(zhuǎn)化思想，對(duì)比思想，數(shù)形結(jié)合思想還有分類(lèi)思想，其中轉(zhuǎn)化思想所表達(dá)的是將較為復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單學(xué)生易于理解的方法。一般如果題目要求使用因式分解法解題會(huì)給出等式左邊兩個(gè)一元一次方程的形式，右邊為一個(gè)常數(shù)，比如（x+3）（x-6）=-8這種形式，第一步將方程轉(zhuǎn)化為左邊為一個(gè)一元二次三項(xiàng)式，右邊為0，然后將左邊分解因式，右邊不變?yōu)?，然后令左邊的兩個(gè)式子分別為0，得到的兩個(gè)x的值即為方程的兩個(gè)根。

4. 配方法

將式子的一部分通過(guò)變化化為完全平方式的方法，其重要思想是尋找隱含條件，這個(gè)思想也是解題的重要手段。配方法把題目給出的多項(xiàng)式化為a，b，c為系數(shù)的一般形式，就像一元二次方程的一般形式。與上面的方法的不同之處在于該方法需要將等式左邊的常數(shù)項(xiàng)移到右邊，然后根據(jù)左邊的系數(shù)的大小，同時(shí)在左右兩邊要么加一個(gè)數(shù)要么減一個(gè)數(shù)，使得左邊能配成一個(gè)完全平方公式的形式。然后變化為用分解因式解決問(wèn)題。

學(xué)生在做題的過(guò)程中要注意題目要求，有些題目規(guī)定一定要使用某種特定方法解題，雖然用另外的方法會(huì)更簡(jiǎn)單一些，但是如果遇到比較嚴(yán)格的教師的時(shí)候可能只能得到一個(gè)正確答案的分?jǐn)?shù)，所以，首先要做的是認(rèn)真審題。

5. 解應(yīng)用題的一般步驟

第一步：找到題目的已知量，一般先把它寫(xiě)在題目的旁邊，這叫做把重要信息提取出來(lái)，還要找到未知量，用字母表示未知量，一般情況下我們都設(shè)未知量為x。

第二步：找到能概述該題已知與未知量的含義的相等關(guān)系。

第三步：根據(jù)第二步找到的那個(gè)對(duì)等關(guān)系列舉方程，然后簡(jiǎn)化方程即化簡(jiǎn)，使得等式右邊為0。

第四步：解方程，求x的值。

第五步：檢查。檢查所求是否符合題目要求，如果不符合則需要舍棄，因?yàn)橛械臅r(shí)候一元二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。最后進(jìn)行題目的答過(guò)程。

三、 經(jīng)典的題型與方法歸納

（一）數(shù)字問(wèn)題

一般數(shù)目關(guān)系問(wèn)題：一般數(shù)目關(guān)系問(wèn)題不太復(fù)雜，就是需要學(xué)生掌握簡(jiǎn)單基本的運(yùn)算，比如加、減、乘、除、和、差、積、商、大小、倍數(shù)等，也就是數(shù)學(xué)中所說(shuō)的運(yùn)算律以及運(yùn)算順序，然后根據(jù)題意列舉方程，題目會(huì)給出相應(yīng)的參數(shù)，根據(jù)參數(shù)列舉方程。

（二）利潤(rùn)問(wèn)題

例題如下：

某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)800件T恤。第一個(gè)月以單價(jià)80元銷(xiāo)售，售出了200件;第二個(gè)月如果單價(jià)不變，預(yù)計(jì)仍可售出200件，商場(chǎng)為增加銷(xiāo)售量，決定降價(jià)銷(xiāo)售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出10件，但最低單價(jià)應(yīng)高于購(gòu)進(jìn)的價(jià)格;第二個(gè)月結(jié)束后，批發(fā)商將對(duì)剩余的T恤一性清倉(cāng)，清倉(cāng)時(shí)單價(jià)為40元。設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低x元。如果商場(chǎng)希望通過(guò)銷(xiāo)售這批T恤獲利9000元，那么第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是多少元？

解析：根據(jù)題意可以得出幾個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，第一個(gè)月的單價(jià)為80元，銷(xiāo)售量為200件，開(kāi)始清倉(cāng)時(shí)的單價(jià)為40，根據(jù)描述可以確定第二個(gè)月的單價(jià)為（80-x）元，銷(xiāo)售量為（200+10x）件，而清倉(cāng)時(shí)銷(xiāo)售量為（800-200-（200+10x））件。

解：根據(jù)以上的分析，可以得到方程80×200+（80-x）（200+10x）+40[800-200-（200+10x）]-50×800=9000

通過(guò)整理，解得x2-20x+100=0，解方程的x1=x2=10，當(dāng)x=10時(shí)，80-x=70>50

答：所以第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是70元。

四、 總結(jié)

該類(lèi)問(wèn)題也可以用二元一次方程求得，轉(zhuǎn)化為求x與y之間的關(guān)系，求最值，方法有很多，但是題目給出了未知數(shù)x，表明要求使用一元二次方程求解，求解過(guò)程中需要根據(jù)第一個(gè)月題目所給出的參數(shù)和題目的變更途徑找到x與已知的各參數(shù)之間的關(guān)系，即得到第二個(gè)月的單價(jià)與銷(xiāo)售量，得到第二個(gè)月的參數(shù)后還需要找到題目的問(wèn)題，然后聯(lián)系起各參數(shù)建立一個(gè)等式即上面的等式，最后化簡(jiǎn)求得第二個(gè)月的單價(jià)。

（一）增長(zhǎng)率問(wèn)題

例題如下：

市第四中學(xué)初三年級(jí)初一開(kāi)學(xué)時(shí)就參加課程改革試驗(yàn)，重視學(xué)生能力培養(yǎng)。初一階段就有48人在市級(jí)以上各項(xiàng)活動(dòng)中得獎(jiǎng)，之后逐年增加，到三年級(jí)結(jié)束共有183人次在市級(jí)以上得獎(jiǎng).求這兩年中得獎(jiǎng)人次的平均年增長(zhǎng)率。

解：183=48+48（1+x）+48（1+x）2解得x=-13/4（舍）或1/4，平均年增長(zhǎng)率=25%。

（二）幾何面積問(wèn)題（化零為整）

舉例如下：

如圖1所示，某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)為40m，寬為26m的矩矩形場(chǎng)地ABCD上修建三條同樣寬的道路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草，若使每一塊草坪的面積都是144m2，則道路的寬是多少米？

分析：

將圖1所示中的三條道路分別向上和向左、向右平移圖2的位置，若設(shè)寬為xm，則草坪的總面積為（40-2x）（26-x）m2所列方程為（40-2x）（26-x）=144×6;

解法：設(shè)道路的寬為xm，則根據(jù)題意，得（40-2x）（26-x）=144×6解得x1=44（舍去），x2=2。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：虎永泊，甘肅省臨夏回族自治州，甘肅省和政縣第五中學(xué)。