劉慶

數(shù)學(xué)概念反映了一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是具體和抽象的辯證統(tǒng)一，具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性。中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多不加定義的概念，比如“自然數(shù)”、“集合”、“點(diǎn)”、“直線”和“平面”等等，這些概念通常被稱為“原始概念”。通過資料查閱、整理相關(guān)試題并對(duì)學(xué)生進(jìn)行調(diào)研測(cè)試，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)平面概念存在嚴(yán)重短板[2] 。

以往對(duì)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，老師們通常直接告訴學(xué)生概念，快速進(jìn)入大量的例題講解和練習(xí)。新課標(biāo)則一直強(qiáng)調(diào)回歸數(shù)學(xué)概念，重視概念教學(xué)。何為一堂好課，“應(yīng)在先進(jìn)的教育理念指導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)問題情境，為自主學(xué)習(xí)探究創(chuàng)造條件，重視教學(xué)環(huán)境，關(guān)注學(xué)生，關(guān)注過程，讓學(xué)生參與到教學(xué)活動(dòng)中，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人”[3] 。因此，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)概念生成的過程，讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)會(huì)探索、思考概念的由來，是現(xiàn)代教學(xué)的重中之重。為真正落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，需要教師更新教育理念，改變教育方法，課堂教學(xué)中要充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，教學(xué)方式應(yīng)該“由知識(shí)的講授走向知識(shí)的生成”[4] 。

（一）第一次實(shí)踐（片段一）

以下教師簡(jiǎn)稱師，學(xué)生簡(jiǎn)稱生，全體學(xué)生簡(jiǎn)稱全體。

1.創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

（1）平面的概念

師：同學(xué)們，幾何圖形構(gòu)成了我們生活的立體世界。而這些幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面這三個(gè)基本元素組成的。點(diǎn)、線我們已經(jīng)學(xué)過了，今天我們就來學(xué)習(xí)平面。

設(shè)計(jì)意圖：以問題切入，提起學(xué)生對(duì)這節(jié)課的學(xué)習(xí)興趣。

師：在投影儀上展示鏡面、桌面、黑板面、操場(chǎng)、海平面的照片。這些都給我們以平面的印象。數(shù)學(xué)中的平面就是從這樣一些物體中抽象出來的。它是一種理想狀態(tài)下絕對(duì)的平，沒有厚度，可以向四周無限延展。平面是平;無厚;無限延展的。那這種無限延展的平面要如何表示呢？

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)與日常生活相聯(lián)系的簡(jiǎn)單問題，使學(xué)生直觀感知平面，引出平面的概念。

師：回憶一下，我們是怎樣畫直線的？ 真的是畫一條無窮長(zhǎng)的直線嗎？

全體學(xué)生：不是，是無端點(diǎn)的線段。

師：表示平面也類似。

（2）平面的基本畫法及表示

平面的基本畫法

①通常用平行四邊形來表示平面。如圖

平面的符號(hào)語言表示有：

1.用一個(gè)希臘字母α，β，γ，……來表示，如：平面α、平面β等。

2.用平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示。如：平面ABCD，平面AC，平面BD等。

②兩個(gè)平面相交時(shí)，畫出交線，被遮擋部分用虛線畫出來。

教師用PPT展示一步一步的畫法。

老師指出：在平面幾何中，凡是后引的輔助線都化成虛線，而在立體幾何中不同，凡是遮住的線都畫成虛線，凡是不被遮住的線都畫成實(shí)線。

（二）修正教學(xué)設(shè)計(jì)

在平面的概念部分，開篇引導(dǎo)語和教學(xué)與第一次相同，增設(shè)的環(huán)節(jié)是增加了問題串：

1幾何中，點(diǎn)有何特點(diǎn)？怎樣表示的？

2幾何中，直線有何特點(diǎn)？怎樣表示的？

3點(diǎn)有維度嗎？直線呢？

4點(diǎn)沒有維度，可以看作零維，直線一維，先研究點(diǎn)，再研究線。請(qǐng)大家猜測(cè)一下，下一個(gè)該研究什么幾何對(duì)象？

5你能舉出生活中哪些事物給你平面的印象嗎？

6數(shù)學(xué)中的平面是從這些物體中抽象出來的。你能結(jié)合這些實(shí)例，類比點(diǎn)和直線，歸納平面具有怎樣的特征嗎？

7類比點(diǎn)和直線說說怎樣表示平面？

修正說明：1.從學(xué)生學(xué)習(xí)方式思考，直接給出新概念平面的特征，學(xué)生是被動(dòng)的接受，死記概念，不是有意義的主動(dòng)探究，沒有體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。2.從學(xué)生發(fā)展思考，直接給出平面的特征，學(xué)生沒有經(jīng)歷知識(shí)的生成過程，不能啟迪學(xué)生思維，學(xué)生對(duì)知識(shí)、方法的同化和順應(yīng)沒有幫助。3.從教師教學(xué)設(shè)計(jì)思考，直接給出平面的特征，不符合新課標(biāo)對(duì)核心素養(yǎng)的要求。4.增設(shè)的師生問答環(huán)節(jié)，能使學(xué)生的角色轉(zhuǎn)換，由被動(dòng)的接受，變成主動(dòng)的探究，獲得成功的情感體驗(yàn)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（三）教學(xué)實(shí)錄（片段二）

1.創(chuàng)設(shè)情景，引入新課（教學(xué)實(shí)錄（一）相同，故略）

2.探索交流，導(dǎo)入概念

師：幾何中，點(diǎn)有何特點(diǎn)？怎樣表示的？

生1：點(diǎn)是無大小的，用一個(gè)實(shí)心表示。

生2：還可以用一個(gè)大寫字母表示。

師：幾何中，直線有何特點(diǎn)？怎樣表示的？

生3：直線是直的，沒有粗細(xì)，可以向兩端無限延長(zhǎng)。用一條線段表示，或者用兩個(gè)大寫字母，或者用一個(gè)小寫字母。

師：點(diǎn)有維度嗎？直線呢？

生4：點(diǎn)沒有維度，直線是一維。

師：點(diǎn)沒有維度，可以看作零維，直線一維，先研究點(diǎn)，再研究線。請(qǐng)大家猜測(cè)一下，下一個(gè)該研究什么幾何對(duì)象？

生5：二維的平面。

師：你能舉出生活中哪些事物給你平面的印象嗎？

生6：課桌面、墻面、地面、天花板。

師：數(shù)學(xué)中的平面是從這些物體中抽象出來的。你能結(jié)合這些實(shí)例，類比點(diǎn)和直線，歸納平面具有怎樣的特征嗎？

生7：平面是平的。

師：很好，這種平是理想狀態(tài)下一種絕對(duì)的平。還有嗎？類比直線，直線是可以無限延伸的，它是無窮長(zhǎng)的。

生8：平面是無窮大的。

師：對(duì)，平面是無窮大的，可以向四周無限延展。還有嗎？類比直線，直線是沒有厚度的。

生9：平面也是無厚薄的。

師：非常好，平面的特征是平、無厚薄、無限延展，即“無褶皺之痕，無厚薄之分，無大小之別”。你能類比點(diǎn)和直線說說怎樣表示平面？

生10：有圖形和字母兩種。

師：很好，下面我們學(xué)習(xí)平面的兩種表示。

（四）分析與反思

在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有些原始概念被直接回避，有些則采用描述性的方式去介紹。事實(shí)上，高中數(shù)學(xué)概念應(yīng)充分暴露和揭示數(shù)學(xué)概念發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程，通過有效的教學(xué)情境讓學(xué)生能夠準(zhǔn)確的自我建構(gòu)概念。在當(dāng)今“快餐文化”的教學(xué)模式下，很多教師都是“掐頭去尾燒中段”，很少讓學(xué)生“細(xì)嚼慢咽”，從而導(dǎo)致學(xué)生概念不清，運(yùn)用模糊[5] 。在第二次教學(xué)實(shí)踐中，教師遵循教材引導(dǎo)學(xué)生從客觀存在的現(xiàn)實(shí)模型（如平靜的海面、桌面、地面等）出發(fā)，設(shè)計(jì)問題讓學(xué)生自主類比歸納抽象出平面這一原始概念。平面基本性質(zhì)最有教學(xué)價(jià)值的職能是組織位置關(guān)系體系的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)中必須要落實(shí)四個(gè)關(guān)鍵教學(xué)策略：概括，類比，情景，組織[6] 。修正后的設(shè)計(jì)亮點(diǎn)在讓學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有的生活經(jīng)驗(yàn)和直觀感知去歸納平面的部分特點(diǎn)，較好的實(shí)現(xiàn)了由知識(shí)傳授向知識(shí)生成這一教學(xué)轉(zhuǎn)變。

（五）研究結(jié)論

第一次設(shè)計(jì)在處理平面定義的時(shí)候照本宣科，淡化概念產(chǎn)生的必要性，讓學(xué)生直接從教材的文字定義去了解平面的平、無厚度，無邊界等特征，老師在教學(xué)的時(shí)候也會(huì)認(rèn)為概念的產(chǎn)生無關(guān)緊要，一帶而過。第二次設(shè)計(jì)體現(xiàn)了啟發(fā)式教學(xué)，讓學(xué)生體驗(yàn)自主生成知識(shí)的過程。當(dāng)教師把課堂還給學(xué)生時(shí)，學(xué)生會(huì)帶給我們更大的驚喜。第二次設(shè)計(jì)增加問題串這一環(huán)節(jié)，在概念的形成中不僅培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象能力，幫助學(xué)生逐漸形成初步的空間想象能力，更是在共同探索概念的過程中滲透一些隱含的數(shù)學(xué)思想方法。

通過對(duì)兩次教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)比研究可以看出“數(shù)學(xué)概念課”情境引入有以下優(yōu)點(diǎn)：

1.第二次設(shè)計(jì)選取現(xiàn)實(shí)生活中大量的圖片，引起學(xué)生的興趣，提高學(xué)生的注意力，在輕松自然的過程中歸納出平面的特征;

2.第二次設(shè)計(jì)注重概念的探究和形成，概念的抽象和表達(dá)，能更好的提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概的運(yùn)用;

3.第二次設(shè)計(jì)不僅僅是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)平面，了解平面，運(yùn)用平面，更是需要我們老師在教學(xué)的過程中教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光來觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維來思考世界、用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)世界。

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國(guó)教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社.

[2] 張生.對(duì)平面基本性質(zhì)的幾點(diǎn)教學(xué)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（3）：18-20.

[3] 吳琳琳.“好課”從何上起——以《平面的基本性質(zhì)》的教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2015：21-22.

[4] 湯明清.基于知識(shí)生成教學(xué)的學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升——《平面的基本性質(zhì)》的教學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（12）.

[5] 張剛.依托信息技術(shù)平臺(tái) 改進(jìn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)——以指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2018（1-2）：181-182.

[6] 董濤.為什么這三個(gè)命題是公理[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（7）：4-6.