梁丹 于海燕 范九倫 雒僖

摘? 要： 可能性C?均值聚類（PCM）算法比傳統(tǒng)模糊C?均值聚類算法具有更好的魯棒性，但其應(yīng)用于圖像分割時沒有充分考慮圖像的局部空間信息?；赑CM算法，提出一種核空間與自適應(yīng)中值濾波相結(jié)合的改進(jìn)算法。算法利用自適應(yīng)中值濾波獲得像素的局部空間信息，并由此生成一種新的模糊因子加入到目標(biāo)函數(shù)中，然后在核空間中對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，得到最優(yōu)聚類中心和隸屬度。由實(shí)驗結(jié)果可知，所提算法對被高椒鹽噪聲污染的圖像具有較高的準(zhǔn)確性和魯棒性。

關(guān)鍵詞： 可能性C?均值聚類; 目標(biāo)函數(shù)求解; 自適應(yīng)中值濾波; 局部空間信息; 圖像分割; 實(shí)驗分析

中圖分類號： TN911.73?34; TP391? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號： 1004?373X（2020）05?0046?05

An improved kernel possibilistic C?means clustering algorithm for image segmentation

LIANG Dan1， 2， 3， YU Haiyan1， 2， 3， FAN Jiulun1， 2， 3， LUO Xi1， 2， 3

（1. School of Communication and Information Engineering， Xian University Posts and Telecommunications， Xian 710121， China;

2. Key Laboratory of Electronic Information Application Technology for Investigation， Ministry of Public Security， Xian 710121， China;

3. Shaanxi International Joint Research Center for Wireless Communication and Information Processing， Xian 710121， China）

Abstract： The possibilistic C?means （PCM） clustering algorithm has better robustness than traditional fuzzy C?means clustering algorithm， but it fails to fully consider the local spatial information of image when it is applied to image segmentation. In view of this， an improved algorithm combining kernel space and adaptive median filtering is proposed based on the PCM algorithm. In the algorithm， the adaptive median filtering is used to obtain the local spatial information of pixel， with which a new fuzzy factor is generated and added to an objective function， and then， the objective function is optimized and solved in the kernel space to obtain the optimal cluster center and the membership degree. The experimental results show that the proposed algorithm has high accuracy and robustness for images contaminated by high salt?and?pepper noise.

Keywords： possibilistic C?means clustering; objective function solution; adaptive median filtering; local spatial information; image segmentation; experiment analysis

0? 引? 言

圖像分割是圖像處理領(lǐng)域中一項重要的研究內(nèi)容，它將圖像分為不同的區(qū)域，這些區(qū)域具有相同的特點(diǎn)，如灰度級、顏色、色調(diào)、紋理等。圖像分割技術(shù)在目標(biāo)識別與跟蹤、圖像檢索以及人臉識別等領(lǐng)域具有重要價值。模糊聚類算法在圖像分割[1?6]中應(yīng)用最為廣泛，其中，模糊C?均值聚類（FCM）算法[7?8]在圖像分割中應(yīng)用最流行，它是一個著名的非監(jiān)督模糊聚類算法。FCM算法存在對噪聲敏感的缺點(diǎn)，因為有約束條件隸屬度值歸一化的限制，使得數(shù)據(jù)點(diǎn)中噪聲點(diǎn)和非噪聲點(diǎn)對聚類具有相同的影響力，導(dǎo)致噪聲點(diǎn)具有較大的隸屬度而被劃分到某一類中。為此，學(xué)者們在FCM算法的基礎(chǔ)上對隸屬度提出了很多改進(jìn)算法[9?12]，其中，可能性C?均值聚類（PCM）算法[13]放棄了對隸屬度歸一化的限制，使得噪聲數(shù)據(jù)具有較小的隸屬度值，提高了算法的魯棒性。FCM算法和PCM算法主要適合對團(tuán)狀凸數(shù)據(jù)聚類，對那些非凸數(shù)據(jù)聚類時，其聚類性能并不理想，為此文獻(xiàn)[14?15]提出了基于核空間的模糊C?均值聚類（KFCM）算法和基于核的可能性聚類（KPCM）算法，它通過核函數(shù)將樣本數(shù)據(jù)通過非線性映射至高維特征空間，對非凸數(shù)據(jù)也能夠取得較理想的聚類結(jié)果，改善了樣本的可分性，提高了算法的聚類性能。

然而，當(dāng)圖像中含有大量噪聲時，PCM算法無法得到理想的分割效果，因為它忽略了圖像的空間位置信息。目前學(xué)者們已經(jīng)在傳統(tǒng)的FCM算法中加入空間信息[16?18]，提出了大量基于FCM算法的改進(jìn)算法，改善了圖像的分割結(jié)果。但由于FCM算法對噪聲敏感，因此改進(jìn)算法也存在對噪聲敏感的缺點(diǎn)。PCM算法在一定程度上對噪聲具有魯棒性，結(jié)合空間信息的PCM算法能夠進(jìn)一步提高圖像的分割結(jié)果。

針對被高椒鹽噪聲污染的圖像，利用自適應(yīng)中值濾波算法能夠根據(jù)噪聲大小自適應(yīng)調(diào)節(jié)濾波半徑的特點(diǎn)，本文提出一種改進(jìn)的核可能性C?均值聚類圖像分割算法，提高了算法的聚類性能和有效性，進(jìn)一步解決了在強(qiáng)噪聲干擾下圖像的聚類分割效果不理想的問題。仿真實(shí)驗結(jié)果表明了本文算法的有效性。

1? 可能性C?均值聚類算法

設(shè)數(shù)據(jù)集[X]由[n]個[p]維的數(shù)據(jù)組成，數(shù)據(jù)集可表示為[X={x1，x2，…，xn}∈Rn×p]，可能性C?均值聚類算法是一種迭代聚類方法，通過最小化目標(biāo)函數(shù)對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，其目標(biāo)函數(shù)[Jm]可表示為：

[Jm（T，V）=i=1nk=1ctmkixi-vk2+k=1cηki=1n（1-tki）m] （1）

滿足約束條件：

[i=1ntki>0，k=1，2，…，c， 0≤tki≤1] （2）

式中：[n]表示數(shù)據(jù)樣本的個數(shù);[c]表示聚類個數(shù);[m]表示模糊加權(quán)指數(shù)，常取[m=2];[T=[tik]]（[i=1，2，…，n];[k=1，2，…，c]）為隸屬度矩陣，表示第[i]個樣本對第[k]個聚類中心的隸屬程度;[V=[vk]]（[k=1，2，…，c]）表示聚類中心集合;[ηk]為一正數(shù)，一般取值為：

[ηk=Ki=1ntmkixi-vk2i=1ntmki] （3）

式中[K]為一正整數(shù)，通常取[K]=1。

隸屬度[tki]和聚類中心[vk]的迭代公式為：

[tki=1+xi-vk2ηk-1m-1] （4）

[vk=i=1ntmkixii=1ntmki]? （5）

通過反復(fù)迭代式（4）～式（5），使得PCM算法收斂。

2? 圖像分割算法

2.1? 自適應(yīng)中值濾波算法

自適應(yīng)中值濾波算法[19]主要有三個目的：去除脈沖噪聲;平滑其他非脈沖噪聲;保護(hù)圖像邊緣信息。它在濾波時使用一個矩形區(qū)域的窗口[Sxy]，能夠根據(jù)噪聲強(qiáng)弱改變?yōu)V波窗半徑的大小。當(dāng)判斷濾波窗中心像素是噪聲時，自適應(yīng)中值濾波器為常規(guī)中值濾波器，即用中值代替該值;當(dāng)判斷濾波窗中心像素不是噪聲時，則不改變其當(dāng)前像素值。自適應(yīng)中值濾波器能夠得到比常規(guī)中值濾波器更好的濾波效果，因為它對噪聲概率更大的脈沖噪聲進(jìn)行平滑的同時還能更好地保持圖像細(xì)節(jié)。

自適應(yīng)中值濾波算法由兩部分組成：第一層（Leve1A）和第二層（Leve1B）。

第一層（Leve1A）：

[A1=Zmed-Zmin] （6）

[A2=Zmed-Zmax] （7）

如果[A1]>0并且[A2]<0，則轉(zhuǎn)到Leve1B，否則增加濾波窗[Sxy]的尺寸。如果濾波窗[Sxy]的大小達(dá)到[Smax]，則重復(fù)執(zhí)行Leve1A，否則把[Sxy]作為輸出。

第二層（Leve1B）：

[B1=Zxy-Zmin] （8）

[B2=Zxy-Zmax] （9）

如果[B1]>0并且[B2]<0，則把[Zxy]作為輸出值，否則把[Zmed]作為輸出值。

式中：[Zmin]表示在[Sxy]濾波窗內(nèi)灰度的最小值;[Zmax]表示在濾波窗[Sxy]內(nèi)灰度的最大值;[Zmed]表示在[Sxy]濾波窗內(nèi)灰度的中值;[Zxy]表示坐標(biāo)[（x，y）]處的灰度值;[Smax]表示[Sxy]所允許的最大窗口尺寸。

2.2? 一種改進(jìn)的核可能性C?均值聚類圖像分割算法

FLICM[17]算法在目標(biāo)函數(shù)中引入無參數(shù)模糊因子[Gki]，即引入局部空間信息，控制圖像中噪聲和細(xì)節(jié)的平衡，但是對受高強(qiáng)度噪聲污染的圖像無法達(dá)到理想分割的效果。在本文算法中，用核空間歐氏距離代替PCM中樣本與聚類中心之間的歐氏距離，引入自適應(yīng)中值濾波算法對圖像進(jìn)行濾波，并將模糊因子中的局部鄰域值替換為自適應(yīng)中值濾波的像素值，以更好地利用鄰域像素。

新的目標(biāo)函數(shù)為：

[Jm=i=1nk=1ctmkiΦ（xi）-Φ（vk）2+G′ki+ηk=1ci=1n（1-tki）m]? （10）

滿足約束條件：

[i=1ntki>0， ? ? k=1，2，…，c; 0≤tki≤1] （11）

式中：[n]表示一幅圖像的像素個數(shù);[c]表示圖像的聚類數(shù)目;[tki]表示第[i]個像素對[k]個聚類中心的隸屬度值;參數(shù)[m]表示隸屬度的加權(quán)指數(shù)，決定聚類結(jié)果的模糊程度，[m∈1，+∞]，通常[m]=2;[xi]表示原始圖像的像素;[vk]表示聚類中心;[Φ]表示高維空間的非線性映射;[G′ki]表示模糊因子;[η]為一正數(shù)。

其中，調(diào)整模糊因子為：

[G′ki=j∈Nii≠j11+dij（1-tkj）mΦ（xj）-Φ（vk）2] （12）

式中：[xj]表示經(jīng)過自適應(yīng)中值濾波后的像素;[Ni]表示中心像素為[i]的鄰域窗口;[dij]表示中心像素[i]和其所對應(yīng)鄰域窗口中的像素[j]之間的歐氏距離;[tkj]表示隸屬度。

核空間平方歐氏距離為：

[Φ（xi）-Φ（vk）2=K（xi，xi）+K（vk，vk）-2K（xi，vk）] （13）

當(dāng)取高斯核函數(shù)時，[K（x，x）=1，K（x，y）=exp-x-y2σ2]，則：

[Φ（xi）-Φ（vk）2=21-K（xi，vk）] （14）

式中[σ]表示帶寬，表示為：

[σ=1N-1i=1N（di-d）12]? （15）

式中：[d]表示像素[xi]和像素均值[x]之間的距離，[d=xi-x]，[d]的表達(dá)式為：

[d=i=1NdiN] （16）

將高斯核函數(shù)公式代入目標(biāo)函數(shù)，可將目標(biāo)函數(shù)簡化為：

[Jm（T，V）=i=1nk=1ctmki1-K（xi，vk）+G′ki+k=1cηi=1n（1-tki）m]? （17）

式中：

[G′ki=j∈Nii≠j11+dij（1-tkj）m（1-K（xj，vk））] （18）

隸屬度[tki]和聚類中心[vk]的表達(dá)式為：

[tki=1+2（1-K（xi，vk））+G′kiη-1m-1]? ?（19）

[vk=i=1ntmki（K（xi，vk））xi+A1i=1ntmki（K（xi，vk））+A2]? （20）

式中：

[A1=i=1ntmkij∈Nii≠j（1-tkj）m（K（xj，vk））xj11+dij] （21）

[A2=i=1ntmkij∈Nii≠j（1-tkj）m（K（xj，vk））11+dij] （22）

本文算法步驟為：

Step1：設(shè)置聚類類別數(shù)[c]，隸屬度加權(quán)指數(shù)[m]，迭代誤差限[ε]，最大迭代次數(shù)[T]，初始迭代次數(shù)[t]=1。

Step2：通過自適應(yīng)中值濾波算法對圖像進(jìn)行平滑處理，得到濾波后的圖像[I1]。

Step3：運(yùn)行FCM算法，把FCM得到的隸屬度劃分矩陣作為本文算法的初始隸屬度矩陣[t（0）ki]。

Step4：通過式（20），更新聚類中心[v（t）k]。

Step5：通過式（21），更新隸屬度[t（t）ki]。

Step6：當(dāng)[v（t）k-v（t+1）k<ε]或者[T>Tmax]時停止迭代，輸出隸屬度[t（t）ki]和聚類中心[v（t）k];否則，返回Step4進(jìn)行下一次迭代。

Step7：通過對最終輸出的隸屬度[t（t）ki]和聚類中心[v（t）k]產(chǎn)生分割圖像[I2]。

3? 實(shí)驗結(jié)果及分析

通過Matlab仿真軟件來驗證本文算法對人工合成圖像和自然圖像的有效性及魯棒性，并用PCM[13]，KFCM_S1[16]，KFCM_S2[16]，ARKFCM[18]，F(xiàn)LICM[17]算法作為比較算法。對所有的比較算法，設(shè)置共同參數(shù)為[m=2]，[ε=]0.000 01，局部鄰域窗口為3×3。對于KFCM_S1和KFCM_S2算法，取[a=2]。對于本文算法，設(shè)置自適應(yīng)中值濾波的最大濾波半徑為10，[η=]0.05。

實(shí)驗一：對人工圖像（synthetical，200×200）添加強(qiáng)度為0.2的椒鹽噪聲，采用6種算法對其進(jìn)行分割，分割結(jié)果如圖1所示。

從圖1中可以看出，PCM算法的分割結(jié)果最不理想，其中包含的噪聲點(diǎn)最多，這是因為PCM算法忽略了圖像中像素的空間信息，導(dǎo)致算法對噪聲敏感。KFCM_S1算法、KFCM_S2算法引入了均值濾波和中值濾波，結(jié)合了圖像像素的空間信息，并轉(zhuǎn)化到核空間。相比而言，對于含椒鹽噪聲的圖像，KFCM_S2比KFCM_S1的分割效果更好，但分割結(jié)果中仍含有噪聲，分割效果欠佳。ARKFCM引入正則化參數(shù)控制空間信息，同樣轉(zhuǎn)化到核空間，但對被噪聲影響嚴(yán)重的圖像分割效果較差。FLICM算法結(jié)合了圖像局部信息的灰度信息和空間信息，能夠更多地利用圖像中像素的空間信息，但是仍對含噪強(qiáng)度較大的圖像魯棒性較差，因此該算法的分割效果仍然不理想。本文算法通過引入自適應(yīng)中值濾波，并結(jié)合濾波后圖像像素的局部空間信息，同時使用具有魯棒性的核函數(shù)，因此得到了理想的分割效果。

采用分割精度[17]（Segmentation Accuracy，SA）作為算法性能的客觀評價指標(biāo)，可表示為：

[SA=i=1cAi?Cij=1cCj]? ?（23）

式中：[c]表示聚類個數(shù);[Ai]表示由分割算法得到屬于第[i]類的像素點(diǎn)集;[Ci]表示在標(biāo)準(zhǔn)圖像中屬于第[i]類的點(diǎn)集;SA表示正確分類的像素數(shù)占圖像像素總數(shù)的比重。

表1給出了隨著噪聲強(qiáng)度增強(qiáng)，6種不同算法分割結(jié)果的分割精度（SA）值。由表1可得，隨著噪聲強(qiáng)度的增大，其余5種算法分割精度逐步降低，但本文算法仍然能夠保持較高的分割精度。

實(shí)驗二： 圖像（#42049 321×481）添加強(qiáng)度為0.1的椒鹽噪聲和均值為0，方差為0.001的高斯噪聲，使用6種算法分別對其進(jìn)行分割，結(jié)果如圖2所示。

由圖2可以看出，PCM，KFCM_S1，KFCM_S2，ARKFCM和FLICM算法的分割結(jié)果中均含有不同程度大小的噪聲，對噪聲的抑制能力不強(qiáng)，算法的魯棒性較差，因此這5種算法對圖像#42049的分割效果不佳。而本文算法對噪聲有一定的抑制能力，具有更好的魯棒性，得到了較好的分割效果。

表2為對圖像#42049分別添加不同噪聲強(qiáng)度的混合噪聲，Mixed1，Mixed2，Mixed3分別表示均值為0，方差為0.001和強(qiáng)度為0.1，0.2，0.3的椒鹽噪聲，并采用峰值信噪比[20]（Peak Signal?to?Noise Ratio，PSNR）作為客觀評價指標(biāo)。由表2可得，隨著噪聲強(qiáng)度的增大，本文算法相比于其他5種算法具有較高的峰值信噪比，進(jìn)一步證明了本文算法的魯棒性。

實(shí)驗三：圖像cameraman（256×256）添加強(qiáng)度為0.2的椒鹽噪聲，使用6種算法分別對其進(jìn)行分割，結(jié)果如圖3所示。

由圖3和表3可明顯看出，將本文算法與PCM，KFCM_S1，KFCM_S2，F(xiàn)LICM，ARKFCM算法作比較，可明顯得出本文算法具有較好的分割結(jié)果，且隨著噪聲強(qiáng)度的增大，本文算法仍能夠保持較高的魯棒性。

4? 結(jié)? 語

本文提出一種改進(jìn)的核可能性均值聚類圖像分割算法。算法通過利用模糊因子和自適應(yīng)中值濾波獲取圖像的局部空間信息，并采用核空間歐氏距離代替?zhèn)鹘y(tǒng)的歐氏距離作為相似性度量，最后實(shí)現(xiàn)對加入椒鹽噪聲圖像的分割。通過仿真實(shí)驗表明，本文算法相比于PCM，KFCM_S1，KFCM_S2，F(xiàn)LICM，ARKFCM算法具有更好的分割效果和魯棒性。

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