沒(méi)有3D打印機(jī)怎么辦？其實(shí)只用一張紙，也能創(chuàng)造大千世界——

大家還記得以前大臉兔介紹過(guò)的折紙達(dá)人劉通嗎？區(qū)區(qū)一張方形紙，不剪不裁不拼貼，卻能被他折出萬(wàn)千造型。他是怎么做到的？如果栗子君說(shuō)是“算”出來(lái)的，你信嗎？

強(qiáng)大的折紙幾何學(xué)

拆開(kāi)一件折紙作品，將其還原為一張紙，可以看到紙上布滿一條條折痕，構(gòu)成許多幾何圖形。這其中蘊(yùn)含著大量數(shù)學(xué)概念和原理，例如你學(xué)過(guò)的相似、軸對(duì)稱、點(diǎn)對(duì)稱、全等、比例，以及將來(lái)可能要學(xué)的迭代、遞歸等等。

據(jù)說(shuō)在8世紀(jì)中期，阿拉伯人就懂得運(yùn)用幾何知識(shí)來(lái)折紙，同時(shí)他們也用折紙來(lái)研究幾何問(wèn)題。到19世紀(jì)，歐洲人也開(kāi)始將折紙用于數(shù)學(xué)和科學(xué)研究。

折著折著，人們發(fā)現(xiàn)，折紙能解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題比想象的多得多。在幾何作圖方面，折紙甚至能甩尺規(guī)作圖幾條街，許多任務(wù)，比如作正七邊形、三等分任意角、求2的立方根等，尺規(guī)作圖沒(méi)法完成的，折紙都能搞定。至于將一張紙等分成13、15、17……份，對(duì)劉通這樣的折紙玩家來(lái)說(shuō)，不過(guò)是基礎(chǔ)的入門(mén)技能。

這還不算，還有更猛的——跟劉通同為世界頂級(jí)折紙大師的美國(guó)大叔羅伯特·朗，竟然開(kāi)發(fā)出兩個(gè)折紙軟件Tree Make和Reference Finder。依靠7條折紙公理，這兩個(gè)軟件可以計(jì)算出用戶想要的任何造型的折痕展開(kāi)圖，以及正確的折疊順序！

什么公理這么逆天？不用說(shuō)，它就是咱們今天的教學(xué)重點(diǎn)——

藤田—羽鳥(niǎo)公理

中國(guó)人發(fā)明的折紙，自隋朝傳入日本后就立刻受到熱烈追捧，最后還成了日本的國(guó)粹。上世紀(jì)70年代，日本人又把眼光投向了折紙中的數(shù)理問(wèn)題，掀起一股經(jīng)久不衰的研究熱潮。其中影響最深遠(yuǎn)的成果，大概就是“藤田—羽鳥(niǎo)公理”。

這一組公理共7條，其中6條由日裔意大利數(shù)學(xué)家藤田文章于1991年提出。藤田指出了折紙過(guò)程中的6種基本操作，用來(lái)定義紙張如何折疊。10年后，另一位數(shù)學(xué)家羽鳥(niǎo)公士郎又補(bǔ)充了一種操作。于是這7種操作被合稱為“藤田—羽鳥(niǎo)公理”。經(jīng)羅伯特·朗證明，它們涵蓋了折紙過(guò)程中的全部折法。下面我們來(lái)看看7條公理的具體內(nèi)容。

公理1：已知A、B兩點(diǎn)，可以折出一條經(jīng)過(guò)A、B的折痕。

本操作非常好理解，即相當(dāng)于過(guò)任意兩點(diǎn)作一條直線。

公理2：已知A、B兩點(diǎn)，可以將點(diǎn)A折疊到點(diǎn)B上去。

這一操作也很簡(jiǎn)單，即相當(dāng)于作出已知兩點(diǎn)的連線的垂直平分線。

公理3：已知a、b兩條直線，可以把直線a折到直線b上去。

在本操作中，只要直線a、b不平行，那么折痕就相當(dāng)于是它們所形成的夾角的角平分線。

公理4：已知點(diǎn)A和直線a，可以沿著一條過(guò)點(diǎn)A的折痕，把直線a折到自身上。

不難看出，這一操作相當(dāng)于過(guò)點(diǎn)A作直線a的垂線。

以上4個(gè)操作非常簡(jiǎn)單，但你可別小看它們，會(huì)用的話已足以解決一些難題了，比如——n等分任意線段！先以三等分線段為例，步驟如下。

①取一張長(zhǎng)方形紙（比例隨意），記為矩形ABCD，將點(diǎn)A折到點(diǎn)C上，點(diǎn)B折到點(diǎn)D上，折痕交于點(diǎn)E。

②過(guò)點(diǎn)E將邊AB折到自身上，折痕與邊AB、CD分別交于點(diǎn)F、G。

③過(guò)C、F兩點(diǎn)進(jìn)行折疊，折痕CF交BD于點(diǎn)H。

④過(guò)點(diǎn)H將邊AB折到自身上，折痕JI交邊AB于點(diǎn)I。點(diǎn)I即邊AB的三等分點(diǎn)。

證明也不難，都是學(xué)過(guò)的知識(shí)，大概思路如下。（溫馨提示：幾何頭大的同學(xué)可以跳過(guò)，不過(guò)栗子君建議還是看看，因?yàn)檎娴暮苡腥ぃ?/p>

更厲害的是，若重復(fù)步驟③和④，經(jīng)C、I兩點(diǎn)折疊，折痕交BD于點(diǎn)K，再過(guò)點(diǎn)K將邊AB折到自身上，得到的點(diǎn)即邊AB的四等分點(diǎn);繼續(xù)以上過(guò)程，可將AB五等分、六等分……

怎么樣？見(jiàn)識(shí)到公理的威力了吧？然而有趣的還在后面。

公理5：已知A、B兩點(diǎn)和直線a，可以沿著一條過(guò)點(diǎn)B的折痕，把點(diǎn)A折到直線a上。

在大多數(shù)情況下，過(guò)一個(gè)點(diǎn)有兩條能把點(diǎn)A折到直線a上的折痕，即這一操作可以有兩個(gè)解。

公理6：已知A、B兩點(diǎn)和a、b兩條直線，可以把點(diǎn)A、B分別折到直線a、b上。

這個(gè)操作更猛，最多可以有3個(gè)解。等上高中學(xué)了解析幾何，你會(huì)知道其意義有多重大——這就相當(dāng)于解一個(gè)三次方程！

也正因?yàn)槿绱?，折紙操作才變得靈活無(wú)比，功能無(wú)比強(qiáng)大。相比之下，尺規(guī)作圖最多只能有兩個(gè)解，自然難望其項(xiàng)背了。

公理7：已知點(diǎn)A和a、b兩條直線，可以沿著一條垂直于直線b的折痕，把點(diǎn)A折到直線a上。

這一操作，相當(dāng)于過(guò)點(diǎn)A作直線b的平行線，交直線a于點(diǎn)A'，折痕垂直平分線段AA'。

折紙，用劉通的話來(lái)形容，是一種“分配的藝術(shù)”——它不像繪畫(huà)、雕塑等是通過(guò)加減法來(lái)造型，而永遠(yuǎn)必須在“1”張紙上進(jìn)行構(gòu)想和創(chuàng)作，“一次成型”。所以折紙必須進(jìn)行科學(xué)的計(jì)算和分配。以上7條公理，為精密計(jì)算折紙操作提供了可能，在其基礎(chǔ)上，全世界的折紙極客們各顯神通，開(kāi)發(fā)出千千萬(wàn)萬(wàn)種玩法。

下面咱們一起來(lái)體驗(yàn)幾種炫酷的玩法?？欤瑴?zhǔn)備好，讓栗子君看見(jiàn)你的雙手——

更多操作猛如虎

玩法一：n等分任意線段。

這是一種比前面介紹的更簡(jiǎn)單的折法。先以七等分為例。

①取任意一張紙，對(duì)折、再對(duì)折、再對(duì)折，得到將紙八等分的折痕。

②過(guò)右下角的頂點(diǎn)將底邊往上折，使得左下角的頂點(diǎn)落在左起第1條折痕上。

③將折起的底邊對(duì)準(zhǔn)其他折痕一一折疊。

④打開(kāi)，得到的折痕將底邊等分成了7份。

簡(jiǎn)單不？自己試試將紙五、十一、十三、十七等分吧。

玩法二：三等分任意銳角。

①取一張長(zhǎng)方形紙，記為矩形ABCD。在邊CD上任取一點(diǎn)E，∠EAB即為要三等分的角。

②在邊AD上任取一點(diǎn)F，過(guò)該點(diǎn)將邊AD折到自身上，折痕為FG。

③將邊AB折到線段FG上，折痕為HI。

④將點(diǎn)A折到線段HI上，同時(shí)點(diǎn)F折到線段AE上，此時(shí)點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H'。將紙打開(kāi)后再經(jīng)點(diǎn)A和點(diǎn)H'進(jìn)行折疊，折痕AH'即為∠EAB的三等分線。

會(huì)分了沒(méi)？如果要三等分的是鈍角，又該如何分呢？

玩法三：三浦折疊。

該折法由日本人三浦公亮發(fā)明，它之所以大大的有名，是由于解決了困擾工程師們?cè)S久的衛(wèi)星太陽(yáng)能電池板的收納問(wèn)題，堪稱折紙助力科研的典范。其強(qiáng)悍之處在于可將物體折成原大的幾十分之一，然后實(shí)現(xiàn)秒開(kāi)秒合。折疊方法非常有趣，咱們看圖說(shuō)明。

好玩嗎？哼哼，以上不過(guò)是折紙學(xué)問(wèn)中的滄海一粟。你能玩出什么新創(chuàng)意呢？要不然先從看折痕圖復(fù)原大師作品做起好了。

最后送上劉通最著名兩個(gè)作品的折痕圖，就算懶得動(dòng)手折，涂上色掛到墻上欣賞也美美的啦。