占青義，謝向東

(1.福建農(nóng)林大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，福建 福州 350002；2.寧德師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，福建 寧德 352100)

大數(shù)據(jù)時(shí)代已經(jīng)到來(lái)，它深刻影響著人們的日常：擴(kuò)大人類科學(xué)的范圍，推動(dòng)人類知識(shí)的增長(zhǎng)，引領(lǐng)新的經(jīng)濟(jì)繁榮。黨的十九大報(bào)告明確提出：要推動(dòng)大數(shù)據(jù)與實(shí)體經(jīng)濟(jì)的深度融合[1]。正如大數(shù)據(jù)領(lǐng)域的權(quán)威專家舍恩伯特曾說(shuō)：“大數(shù)據(jù)是一種價(jià)值觀，方法論”。

實(shí)變函數(shù)論是當(dāng)今高校數(shù)學(xué)及有關(guān)專業(yè)的一門專業(yè)核心課程，已經(jīng)成為現(xiàn)代分析不可缺少的理論基礎(chǔ)。然而不幸的是,這門課程的名聲似乎欠佳。不少學(xué)過(guò)實(shí)變函數(shù)的學(xué)生,除了留下“抽象，晦澀，難懂”的印象外，收獲不多。一種為分析數(shù)學(xué)帶來(lái)如此簡(jiǎn)化的理論，竟然被當(dāng)作一種復(fù)雜得令人難以理解與接受的東西，這值得我們深思。事實(shí)上，實(shí)變函數(shù)論的課程教學(xué)在主要內(nèi)容的選擇與組織，關(guān)鍵定義的比較，主要結(jié)論的類比與推廣3方面面臨現(xiàn)實(shí)困難。

一方面,實(shí)變函數(shù)論的許多概念有一定的抽象性，許多重要結(jié)論異常深刻，而為得到這些結(jié)論所需要的理論知識(shí)準(zhǔn)備與推演當(dāng)然也不簡(jiǎn)單。因此，問(wèn)題在于：實(shí)變函數(shù)論的基本內(nèi)容應(yīng)當(dāng)以何種形式提供給初學(xué)者，又以何種方式讓學(xué)生更好地理解與掌握這些重要的結(jié)論，做到舉一反三。另一方面，很多定理比較晦澀，不知道其主要含義，應(yīng)用起來(lái)比較困難。為此，作者從特例的角度，對(duì)一些經(jīng)典結(jié)論進(jìn)行說(shuō)明[2-6]。

據(jù)我們所知：無(wú)論是測(cè)度還是Lebesgue積分的基本概念，都免不了某些復(fù)雜的構(gòu)造過(guò)程。這些對(duì)于訓(xùn)練有素的分析數(shù)學(xué)研究者固然不難，但對(duì)初學(xué)的本科生而言，卻令人望而生畏。有關(guān)測(cè)度與Lebesgue積分的基本結(jié)果，其描述也不困難，但具體到如何靈活方便的應(yīng)用，也有很大的發(fā)展空間。

本文就《實(shí)變函數(shù)論》教學(xué)中可能會(huì)遇到的問(wèn)題，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從大數(shù)據(jù)的角度，探討一些關(guān)鍵概念與定義的比較，對(duì)一些經(jīng)典定理進(jìn)行特例分析，使得學(xué)生能夠較快地進(jìn)入《實(shí)變函數(shù)論》的核心領(lǐng)域，事半功倍地掌握這門分析課程。

1 運(yùn)用大數(shù)據(jù)技術(shù)優(yōu)化實(shí)變函數(shù)的內(nèi)容選擇

大數(shù)據(jù)的核心思想之一是基于對(duì)海量數(shù)據(jù)的挖掘與存貯，分析形成觀察，從而推動(dòng)事物更進(jìn)一步的發(fā)展?，F(xiàn)階段，探索運(yùn)用大數(shù)據(jù)技術(shù)優(yōu)化實(shí)變函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容，是時(shí)代發(fā)展的必然要求。

1.1 主要定義的選擇與比較

首先，通過(guò)對(duì)整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中所生成的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可以提取學(xué)生面臨的主要問(wèn)題，從而有針對(duì)性地進(jìn)行內(nèi)容選擇。實(shí)變函數(shù)是以集合作為研究對(duì)象，在集合上定義測(cè)度，再建立了可測(cè)函數(shù)的概念，從而定義Lebesgue積分。

在集合論中，Cantor三分集合是一個(gè)很重要的反例。其構(gòu)造就很有特色，與其類似的有四分集合。其構(gòu)造如下：將閉區(qū)間[0，1]刪去居中的長(zhǎng)度為0.25的開(kāi)區(qū)間，剩下兩個(gè)閉區(qū)間，在每個(gè)閉區(qū)間中，再刪去居中的長(zhǎng)度為的開(kāi)區(qū)間，如此繼續(xù)下去。所有永遠(yuǎn)刪不去的點(diǎn)所作成的點(diǎn)集記為E,即為四分集。這兩個(gè)實(shí)例說(shuō)明：P分集是可以實(shí)際構(gòu)造出來(lái)的，同時(shí)這種集合是可以用數(shù)具體表達(dá)的。

在測(cè)度論中，外測(cè)度與測(cè)度是一對(duì)很容易被學(xué)生混淆的概念。其實(shí)，在19世紀(jì)最先出現(xiàn)外容度的概念,隨后C.Jordan建立了可測(cè)集的容度定義[2]，而后在1914年由F.Riesz升華了測(cè)度論的思想[3],直接從積分出發(fā)，導(dǎo)出了整個(gè)測(cè)度理論。同時(shí)，C.Caratheodory進(jìn)一步發(fā)展了外測(cè)度理論，導(dǎo)致了測(cè)度的完備化[4]。由此可見(jiàn)：測(cè)度與外測(cè)度是兩個(gè)互相關(guān)聯(lián)的概念。簡(jiǎn)單地說(shuō)：通過(guò)包含一個(gè)集合的任意開(kāi)集的體積的下確界，定義了集合的外測(cè)度；通過(guò)外測(cè)度與Caratheodory條件(滿足外測(cè)度的可數(shù)可加性)[5-6]，定義了一個(gè)集合的Lebesgue測(cè)度。

可測(cè)函數(shù)是一個(gè)讓人費(fèi)解的定義，其證明更是體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分析的一般思路。這里，主要用到了簡(jiǎn)單函數(shù)，示性函數(shù)與一般函數(shù)。具體說(shuō)來(lái)，先證明這個(gè)結(jié)論在簡(jiǎn)單函數(shù)上是否成立，然后推廣到示性函數(shù)[5]。最后證明在一般函數(shù)上該結(jié)論是否成立。這在Lebesgue積分的定義過(guò)程中，有非常精彩的應(yīng)用。

1.2 與其他積分學(xué)的比較

雖然Lebesgue積分有許多優(yōu)點(diǎn)，但不能否認(rèn)，Lebesgue積分本身仍然有不足之處。我們把它與其他經(jīng)典的積分學(xué)，如隨機(jī)積分，進(jìn)行比較。

1.Lebesgue積分與Riemann積分的主要區(qū)別[7-9]：其一，定義的方式不同，導(dǎo)致了可積函數(shù)的類型不同：Lebesgue積分的可積函數(shù)的范圍擴(kuò)大，使得可積函數(shù)從連續(xù)函數(shù)推廣到可測(cè)函數(shù)；其二，Lebesgue積分降低了積分與極限交換順序的條件；其三，Lebesgue積分的可測(cè)函數(shù)空間是完備的，而Riemann積分的可測(cè)函數(shù)空間是不完備的?？梢钥闯?，Lebesgue積分是Riemann積分的一種推廣。

2.Lebesgue積分與隨機(jī)積分的一些區(qū)別[10]：其一，定義的方式不同：前者定義在一般的可積函數(shù)空間，而后者定義在概率空間上，且定義方式與Riemann積分類似，因而可積函數(shù)的類型也不同。其二，定義的種類不同：前者只有一種定義方式，而根據(jù)對(duì)隨機(jī)項(xiàng)的Riemann和的不同定義方式[11-12],后者目前常用的有兩種定義：Ito積分與Stratonovich積分。

總之,可在這這些突出問(wèn)題上，爭(zhēng)取有一個(gè)較清晰的比較。首先,對(duì)于基本概念，簡(jiǎn)化或者回避一些復(fù)雜的構(gòu)造，盡可能地與Riemann積分進(jìn)行比較，找出其中的異同點(diǎn)，改善教學(xué)過(guò)程中學(xué)生的感受，提高學(xué)生的接受效率。并從教學(xué)過(guò)程的大數(shù)據(jù)分析中，得到其他需要強(qiáng)化的知識(shí)點(diǎn)。

2 運(yùn)用大數(shù)據(jù)技術(shù)優(yōu)化實(shí)變函數(shù)的主要結(jié)論

可以積極利用教學(xué)大數(shù)據(jù)，從多維度優(yōu)化課程的主要結(jié)論，同時(shí)可以持續(xù)地，實(shí)時(shí)地為我們提供第一手資料，及時(shí)調(diào)整教學(xué)方式方法。根據(jù)學(xué)生在線學(xué)習(xí)時(shí)的作業(yè)，討論，提問(wèn)，資料查詢等學(xué)習(xí)行為大數(shù)據(jù)，得到了如下一些主要結(jié)論的優(yōu)化方案。

2.1 關(guān)鍵假設(shè)不能省略的

命題1.Lebesgue定理中，mE＜+∞的條件不能去掉。

以下這個(gè)特例驗(yàn)證了命題1成立。

例1：取函數(shù)列

2.2 重積分與累次積分的關(guān)系

Fubini定理得到了比Riemann積分論中要求更少的結(jié)論。以下一些實(shí)例說(shuō)明Fubini定理在應(yīng)用上更簡(jiǎn)便。

Fubini定理有一個(gè)推論如下[2]：

命題2.若f（x,y）在Rp+q=Rp+Rq上可積，則

其中,n=p+q，p,q,均為正整數(shù)。

命題2的逆否命題同樣是真命題。

命題3.若至少有一個(gè)不存在,或者都存在但不相等,則f（x,y）在Rp+q=Rp+Rq上積分不存在。

以下例2說(shuō)明：用命題3驗(yàn)證比用定義驗(yàn)證要更簡(jiǎn)潔。

例2：如果，x∈（0,1），y∈（0,1）,則f（x,y）在E1={（x,y）;0＜x＜1,0＜y＜1}上是不可積的。

證明：(1)可以用定義證明是不可積的。

事實(shí)上，如果令E=（0，1）×（0，1），A1={（x,y）∈E1,,則對(duì)任意的（x,y）∈A1,總有。于是可得

因此，f（x,y）在E1上積分無(wú)界。同樣可以證明：f（x,y）在E1上不可積。這與Fubini定理并不矛盾。

(2)利用命題3很方便驗(yàn)證結(jié)論是成立的。其實(shí)很容易計(jì)算出：

2.3 累次積分的存在與相等，與函數(shù)的可積性沒(méi)有必然聯(lián)系

命題2的逆命題為：

命題4.若都存在而且相等,則f（x,y）在Rp+q=Rp+Rq上不一定可積。

以下例3說(shuō)明：函數(shù)的累次積分存在且相等，函數(shù)有可能是不可積的。

例3：如果

則f（x,y）在E2={（x,y）;-1≤x≤1,-1≤y≤1}上是不可積的，但兩個(gè)累次積分都存在且相等。

證明：反證。假設(shè)f（x,y）在E2上是可積的。則f（x,y）在E2的子集A2=[0,1]×[0,1]上也是可積的。從而應(yīng)該存在有限積分。但是，當(dāng)x≠0時(shí)，我們可得而函數(shù)F（x）在[0,1]上不可積。從而與假設(shè)矛盾。

以下例4說(shuō)明：函數(shù)的累次積分存在且相等，函數(shù)有可能是可積的。

例4：如果,則f（x,y）在E3=[-1,1]×[-1,1]上是可積的,且兩個(gè)累次積分都存在且相等。

3 結(jié)語(yǔ)

實(shí)變函數(shù)是現(xiàn)代分析的基礎(chǔ)，學(xué)生在從古典數(shù)學(xué)到這種以集合論與測(cè)度論為基礎(chǔ)的分析學(xué)，肯定會(huì)遇到很多困難。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展,各種學(xué)習(xí)形式不斷出現(xiàn)。實(shí)變函數(shù)作為一門古老的理論學(xué)科，應(yīng)該依托大數(shù)據(jù)技術(shù)，通過(guò)數(shù)據(jù)挖據(jù)與分析，深入找到自身面臨的問(wèn)題，精準(zhǔn)地找到對(duì)策。

當(dāng)前，高校課程大數(shù)據(jù)建設(shè)在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)方面還有很大的提升空間，如數(shù)據(jù)的收集與整理大都依賴人工方式。如何充分利用大數(shù)據(jù)技術(shù)，切實(shí)提高實(shí)變變函數(shù)的教學(xué)效果，是教學(xué)改革的一項(xiàng)浩大的工程。