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        由一道余姚市教師大比武試題引發(fā)的思考

        2020-07-22 08:11:42史日能
        數(shù)理化解題研究 2020年19期
        關鍵詞:大比武余姚市極小值

        傅 絨 史日能

        (1.浙江省余姚市夢麟中學 315400;2.浙江省余姚市第七中學 315400)

        本人有幸參加了余姚市第二屆青年教師大比武,該活動意在提高青年教師的教學能力,進一步推進師資隊伍建設.無論是準備過程還是比賽過程都是一種自我的提高與成長,從中可以發(fā)現(xiàn)不足、查漏補缺,收獲頗豐.比如在參加筆試時,第九道選擇題就讓我印象深刻.

        一、問題的提出

        第9道選擇題是:函數(shù)y=f(x)在點x=x0處取得極大值,則必有( ).

        A.f′(x0)=0 B.f″(x0)<0

        C.f′(x0)=0且f″(x0)<0 D.f′(x0)=0或不存在

        分析如果函數(shù)y=f(x)在x0可導,且在點x=x0處取得極大值,則必有f′(x0)=0;如果函數(shù)y=f(x)在x0不可導,但也有可能在點x=x0處取得極大值,例如函數(shù)y=f(x)=-|x|,由函數(shù)的圖象可知在x=0處不可導,但有極大值.所以該題應選D.

        疑惑:函數(shù)的二階導數(shù)與函數(shù)的極值有什么關系呢?

        二、問題的解決

        人教版選修1-1里對函數(shù)極值的定義是:函數(shù)y=f(x)在點x=a的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其它點的函數(shù)值都小,f′(a)=0;而且在點x=a附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0.類似地,函數(shù)y=f(x)在點x=b的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其它點的函數(shù)值都大,f′(b)=0;而且在點x=b附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0.我們把點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值;點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)的極大值.極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點,極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.這是用函數(shù)的一階導數(shù)來定義函數(shù)的極值,那么函數(shù)的二階導數(shù)與它的極值又有什么關系呢?下面來研究它們的內(nèi)在聯(lián)系:

        假設f″(x0)存在且不為0,x0是函數(shù)y=f(x)的極值點,則f′(x0)=0,由導數(shù)的定義可知:

        三、結(jié)論的得出

        如果f″(x0)存在且不為0,x0是函數(shù)y=f(x)的極值點,若f″(x0)>0,則點x=x0是函數(shù)的極小值點,函數(shù)y=f(x)在x=x0處有極小值;若f″(x0)<0,則點x=x0是函數(shù)的極大值點,函數(shù)y=f(x)在x=x0處有極大值.

        四、結(jié)論的應用

        那么現(xiàn)在我們又多了一種求函數(shù)極值點的方法,下面我們用這種方法來解決一些常見的極值問題.

        (1) 函數(shù)y=(x2-1)3+1的極值點是( ).

        A.極大值點x=-1 B.極大值點x=0

        C.極小值點x=0 D.極小值點x=1

        解y′=3(x2-1)2·2x,令y′=0,得x=±1,0,y″=30x4-36x2+6.∵y″|x=-1=0,y″|x=1=0,y″|x=0=6>0,∴選C.

        (3)2010年天津理科21題的第Ⅰ問是:已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.下面來解決這個函數(shù)的極值問題

        顯然用以上方法來求極值點與書本上提供的方法要來得簡單方便,但是這種方法也不是萬能的.對于某些復雜函數(shù),如果出現(xiàn)f″(x0)=0的情況就不適用了,例如函數(shù)f(x)=x4(x-1)3.用函數(shù)的二階導數(shù)來求極值點的方法適用于函數(shù)f″(x0)存在且不為0的時候.

        通過對這道題目的思考使我對函數(shù)極值有了更深入與廣泛的了解.正如克萊因所說的:“挑選好一個確定的研究對象,鍥而不舍,你可能永遠達不到終點,但是一路上準可以發(fā)現(xiàn)一些有趣的東西.”

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