甘 柳，楊 波

(1.江西財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院， 江西 南昌 330013；2.金融發(fā)展與風(fēng)險(xiǎn)防范研究中心，江西 南昌 330013；3.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，上海 200433)

1 引言

20世紀(jì)90年代以來，企業(yè)股權(quán)分散特征越來越不明顯，股權(quán)集中和控制股東主導(dǎo)的現(xiàn)象逐漸普遍。自La Porta等[1-3]的研究工作以來，公司金融理論中代理問題的研究重點(diǎn)便從管理層與投資者間的代理沖突逐步轉(zhuǎn)移到控制股東與外部中小投資者間的代理沖突。控制股東主導(dǎo)的一個(gè)后果就是形成控制權(quán)私利[1-4](Private Benefits of Control)，侵占中小投資者利益，扭曲企業(yè)決策。另外，作為新興經(jīng)濟(jì)體的中國(guó)，大股東控制權(quán)私利問題也較為突出，引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注[5-7]。

在理論研究方面，針對(duì)控制股東侵占行為的研究多從公司治理角度展開，重點(diǎn)探討公司治理如何影響或者抑制控制股東侵占行為的內(nèi)在機(jī)理，較少探討控制股東的侵占行為對(duì)企業(yè)投資決策的作用機(jī)理。首次利用實(shí)物期權(quán)方法進(jìn)行控制權(quán)私利的研究是Morellec和Wang[8]，Morellec等采用實(shí)物期權(quán)方法建立內(nèi)生動(dòng)態(tài)模型，研究控制股東的投融資決策問題，發(fā)現(xiàn)控制股東侵占行為會(huì)導(dǎo)致企業(yè)提前投資并在新項(xiàng)目融資中減少債務(wù)規(guī)模。Albuquerue和Wang[9]在Q理論框架下發(fā)展了基于動(dòng)態(tài)隨機(jī)一般均衡的定價(jià)模型，研究投資者保護(hù)對(duì)企業(yè)投資的影響。Wen Chunhui等[10]將實(shí)物投資理論整合到非完備市場(chǎng)模型，發(fā)現(xiàn)控制股東通過權(quán)衡謀取私利的行為和自身面臨的不可分散化風(fēng)險(xiǎn)，來加速或延遲投資決策。吳育輝和吳世農(nóng)[11]在單一代理關(guān)系和雙重代理關(guān)系下研究了影響控制股東掏空行為的主要因素。宋小寶[12]在實(shí)物期權(quán)框架下分析了控制股東代理沖突對(duì)企業(yè)投資和負(fù)債融資代理成本的影響。蔡珍紅和冉戎[13]構(gòu)建擴(kuò)張期權(quán)模型，研究控制權(quán)私利對(duì)企業(yè)投資扭曲的影響。顧乃康等[14]基于實(shí)物期權(quán)模型對(duì)積極控制股東與消極控制股東的企業(yè)投資與融資策略的扭曲進(jìn)行研究。夏鑫和楊金強(qiáng)[15]從市場(chǎng)非完備的視角研究控股股東控制權(quán)、現(xiàn)金流權(quán)以及兩權(quán)分離程度對(duì)公司價(jià)值和資本結(jié)構(gòu)選擇的影響。吳冬梅和莊新田[16]以減持限售股份為前提條件，建立起兩期的控股股東跨期投資理論模型，分析現(xiàn)金流權(quán)比例、限售股減持比例等變量的影響。

然而，上述理論文獻(xiàn)的梳理發(fā)現(xiàn)，學(xué)者在研究假設(shè)上沿用新古典金融理論個(gè)體時(shí)間偏好一致的假設(shè)。實(shí)際上，試驗(yàn)研究表明個(gè)體時(shí)間偏好并非總是一致的[17-19]。相關(guān)企業(yè)財(cái)務(wù)決策理論研究(如Marín-Solano 和Navas[20]，Liu Yang和Yang Jinqiang[21]，Grenadier和Wang[22]，Ylmaz[23]，鄒自然等[24]，Chen Shumin等[25]，李仲飛等[26]，羅鵬飛等[27])也指出，決策者時(shí)間偏好不一致對(duì)企業(yè)決策具有顯著影響。因此，在理性假設(shè)下討論控制股東的侵占行為并提出的相應(yīng)公司治理建議，從現(xiàn)實(shí)角度是不理想的，甚至可能適得其反。本文基于這一出發(fā)點(diǎn)，引入控制股東的時(shí)間偏好不一致，基于實(shí)物期權(quán)模型來探析控制股東的私利行為、最優(yōu)股權(quán)持有以及投資決策。

本文貢獻(xiàn)在：第一，引入時(shí)間偏好不一致，內(nèi)生化控制股東的股權(quán)結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建控制股東的投資時(shí)機(jī)、投資項(xiàng)目規(guī)模以及退出時(shí)機(jī)的動(dòng)態(tài)模型。與本文最為相關(guān)的文獻(xiàn)是Gan Liu等[28]，該文獻(xiàn)重點(diǎn)研究時(shí)間偏好不一致下管理者的投資與融資決策，但沒有考慮控制股東的最優(yōu)股權(quán)結(jié)構(gòu)，也未從內(nèi)生股權(quán)角度分析控制股東的侵占行為。第二，本文在理論上首次揭示了時(shí)間偏好不一致程度對(duì)控制股東最優(yōu)股權(quán)數(shù)量的影響，在此基礎(chǔ)上探析了控制股東利用控制權(quán)扭曲公司決策侵占外部投資者利益的內(nèi)在作用機(jī)制，并進(jìn)一步分析投資者保護(hù)程度的影響。這些為企業(yè)治理提供新的視角。

2 模型框架與基本假設(shè)

本節(jié)首先描述項(xiàng)目投資機(jī)會(huì)，然后給出控制股東和外部股東的代理沖突，描述控制股東的時(shí)間偏好，最后給出控制股東優(yōu)化目標(biāo)。

2.1 項(xiàng)目投資機(jī)會(huì)

假定控制股東擁有一個(gè)項(xiàng)目投資機(jī)會(huì)，該機(jī)會(huì)可延遲、不可逆且收益不確定。控制股東的投資決策包括投資時(shí)機(jī)和投資規(guī)模。一旦項(xiàng)目啟動(dòng)，其生產(chǎn)規(guī)模記為q，產(chǎn)出邊際成本為w，單位規(guī)模產(chǎn)生的現(xiàn)金流{Xt:t≥0}服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，

dXt=μXtdt+σXtdZt

(1)

其中μ與σ為常數(shù)，分別表示項(xiàng)目現(xiàn)金流的期望增長(zhǎng)率和波動(dòng)率，且μ<ρ(ρ是無風(fēng)險(xiǎn)利率)用來保證項(xiàng)目未來現(xiàn)金流現(xiàn)值的有限性。{Zt:t≥0}是定義于概率空間(Ω,,t,Q)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，用來刻畫收益流的不確定性。Q為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度，{t:t≥0}為滿足通常條件的域流。于是，若當(dāng)前單位規(guī)?，F(xiàn)金流為X，則單位時(shí)間的項(xiàng)目現(xiàn)金流為∏(X)=q(X-w)。

另外，投資規(guī)模q>0會(huì)影響到項(xiàng)目的投資成本。將項(xiàng)目一次性投資的成本設(shè)為I(q)，該成本滿足條件I(0)≥0,I′(q)>0,以及I″(q)>0(I(q)嚴(yán)格下凸意味著項(xiàng)目的回報(bào)對(duì)項(xiàng)目規(guī)模是遞減的。參見文獻(xiàn)[29]等。)。項(xiàng)目啟動(dòng)后，控制股東可以在任意時(shí)刻退出，且這個(gè)退出項(xiàng)目的決策行為是不可逆的。

2.2 控制股東的私利行為

控制股東的私利行為導(dǎo)致其與中小股東的代理沖突。假定控制股東持股比例為φ(0≤φ≤1)，并直接謀取現(xiàn)金流的ζ(0≤ζ≤1)倍。故控制股東的財(cái)富由兩部分組成：一是直接持有的股權(quán)(比例為φ)；二是憑借其控制權(quán)而侵占的現(xiàn)金流(比例為ζ)。當(dāng)然，控制股東的私利行為是有成本的，依據(jù)文獻(xiàn)[8]的假設(shè)，假定控制股東的侵占成本為，

ψ(ζ)=ηζ2/2

(2)

其中，參數(shù)η>0用來刻畫投資者受保護(hù)的程度或企業(yè)治理有效性。η越大意味著投資者受保護(hù)程度越高，特別當(dāng)η→∞時(shí)，表示控制股東因成本太高而無法獲取私利。于是外部投資者得到的現(xiàn)金流為N=(1-ζ)q(X-w)，控制股東的現(xiàn)金流為

L=[φ(1-ζ)+(ζ-ψ(ζ))]q(X-w)

(3)

在任意時(shí)刻，控制股東會(huì)使其邊際獲利與邊際成本相等。對(duì)式(3)最大化不難得到最優(yōu)私利比例ζ*為，

ζ*=(1-φ)/η

(4)

通過式(4)可以將式(3)重新寫為L(zhǎng)=φ(1+ξ)q(X-w)，其中參數(shù)ξ為ξ=(1-φ)2/(2ηφ)。

2.3 控制股東的時(shí)間偏好

(5)

其中δ為折扣因子，其取值范圍為0≤δ≤1。在初始時(shí)刻，控制股東用折扣函數(shù)d0(t,u)來估計(jì)價(jià)值，當(dāng)區(qū)間1到來后，控制股東利用折扣函數(shù)d1(t,u)來估計(jì)價(jià)值，等等。參數(shù)λ和δ刻畫了控制股東偏好不一致的程度。當(dāng)λ=0或δ=1時(shí)，上述情形退化為偏好一致的情形。

本文考慮兩種類型的時(shí)間偏好不一致控制股東：成熟型和幼稚型(參見文獻(xiàn)[22])。成熟型控制股東能夠正確預(yù)見自身的時(shí)間偏好，即成熟型控制股東在未來區(qū)間的決策在未來來看是最優(yōu)的。幼稚型控制股東認(rèn)為其未來區(qū)間的決策行為會(huì)根據(jù)當(dāng)前區(qū)間決策來進(jìn)行。

2.4 控制股東價(jià)值及最優(yōu)股權(quán)問題

以上記號(hào)只是一般性說明，在模型構(gòu)建與求解部分，會(huì)根據(jù)具體問題重新定義記號(hào)。

3 模型的構(gòu)建與求解

3.1 時(shí)間偏好一致控制股東情形

命題1 如果控制股東是時(shí)間偏好一致的，則投資后控制股東的財(cái)富價(jià)值為

M*(x)=φ(1+ξ)q

(6)

(7)

控制股東投資期權(quán)價(jià)值為

(8)

(9)

證明 見附錄A。

式(6)包含兩部分：第一部分φ(1+ξ)q(x/(ρ-μ)-w/ρ)是控制股東永不退出項(xiàng)目經(jīng)營(yíng)時(shí)，其未來收益流的期望現(xiàn)值，第二部分則表示因控制股東退出項(xiàng)目經(jīng)營(yíng)而對(duì)其權(quán)益價(jià)值進(jìn)行的修正。由于運(yùn)營(yíng)成本，控制股東會(huì)選擇最優(yōu)退出時(shí)機(jī)，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)退出觸發(fā)點(diǎn)由式(7)給出。式(8)為控制股東財(cái)富的期權(quán)價(jià)值，在投資時(shí)刻控制股東需要支付成本φI(q*)。式(9)給出了最優(yōu)投資規(guī)模和最優(yōu)投資時(shí)機(jī)滿足的代數(shù)方程，該方程是時(shí)間偏好不一致下的特殊情形。

3.2 時(shí)間偏好不一致控制股東情形

3.2.1 成熟型控制股東的決策

Ms(x)=φ(1+

(10)

(11)

命題2 成熟型控制股東的最優(yōu)退出觸發(fā)為

(12)

成熟型控制股東的最優(yōu)投資觸發(fā)點(diǎn)和最優(yōu)投資規(guī)模滿足如下聯(lián)立代數(shù)方程：

(13)

證明 見附錄C。

命題2給出了成熟型控制股東的退出時(shí)機(jī)、投資時(shí)機(jī)和投資規(guī)模所滿足的代數(shù)方程，三者需要聯(lián)立求解。

3.2.2 幼稚型控制股東的決策

(14)

(15)

(16)

命題3 幼稚型控制股東的最優(yōu)退出觸發(fā)水平、最優(yōu)投資觸發(fā)水平以及最優(yōu)投資規(guī)模滿足如下聯(lián)立代數(shù)方程，

(17)

其中，MH(x)和ML(x)由(C8)和(C9)給出。

證明 見附錄C。

3.3 最優(yōu)股權(quán)結(jié)構(gòu)

(18)

(19)

其中

(20)

以及ξk=(1-φk)2/(2ηφk)。

4 數(shù)值分析

本節(jié)給出最優(yōu)股權(quán)結(jié)構(gòu)下的數(shù)值結(jié)果和比較靜態(tài)分析。為獲得更多經(jīng)濟(jì)含義，參考理論文獻(xiàn)[22]、[28]、[29]以及[30]等在數(shù)值計(jì)算部分選取的參數(shù)。首先，考慮到投資成本函數(shù)的性質(zhì)，投資成本函數(shù)選取為I(q)=I0+q4，基本投資成本選取為I0=20。另外基本參數(shù)取為：無風(fēng)險(xiǎn)利率ρ=0.06，現(xiàn)金流增長(zhǎng)率μ=0.01，波動(dòng)率σ=0.25，產(chǎn)出的邊際成本w=2，投資保護(hù)系數(shù)η=10?？刂乒蓶|時(shí)間偏好參數(shù)分別為δ=0.3以及λ=0.33。

4.1 最優(yōu)股權(quán)結(jié)構(gòu)

本小節(jié)首先給出時(shí)間偏好不一致下控制股東的最優(yōu)股權(quán)結(jié)構(gòu)的數(shù)值結(jié)果。從圖1可以看出，如果控制股東是時(shí)間偏好一致的(δ=1的情形)，其持有股權(quán)比例為1。而隨時(shí)間偏好不一致的程度增加，控制股東最優(yōu)持有股權(quán)數(shù)量急劇減少，最后在20%附近保持穩(wěn)定。這說明時(shí)間偏好不一致對(duì)控制股東評(píng)價(jià)股權(quán)價(jià)值的影響是較大的，然而即使到了δ=0的程度，控制股東還是愿意持有一個(gè)基本的股權(quán)數(shù)量。另外，與成熟型控制股東相比，幼稚型控制股東愿意持有更多的股權(quán)份額。

圖1 最優(yōu)股權(quán)份額與折扣因子的關(guān)系

圖2表明隨著項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)的增加，控制股東的最優(yōu)自留股權(quán)數(shù)量是逐漸減少的，這一點(diǎn)與直觀是相符的。

圖2 最優(yōu)股權(quán)份額與項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系

一般認(rèn)為改善投資者保護(hù)程度或者迫使控制股東提高持股比例是緩解投資扭曲的有效手段。而本文的分析發(fā)現(xiàn)，在考慮控制股東時(shí)間偏好的情形下，這一手段也不能一概而論，從圖3可以看出。隨投資者受保護(hù)程度η的增加，控制股東會(huì)減持最優(yōu)的股權(quán)數(shù)量。因此綜合考慮多方因素，才能確實(shí)提高公司治理的有效性。

圖3 最優(yōu)股權(quán)份額與投資者保護(hù)系數(shù)的關(guān)系

4.2 最優(yōu)股權(quán)下時(shí)間偏好不一致的影響

圖6 退出水平與折扣因子的關(guān)系

本文投資決策體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面，控制股東會(huì)進(jìn)行最優(yōu)投資時(shí)機(jī)的選擇，另一方面，控制股東會(huì)進(jìn)行最優(yōu)投資規(guī)模的選擇。從圖4和圖5首先可以看出最優(yōu)投資觸發(fā)水平投資規(guī)模隨折扣因子δ增加都呈現(xiàn)倒U型結(jié)構(gòu)，根據(jù)文獻(xiàn)[22]的分析，可以將時(shí)間偏好不一致對(duì)投資的影響總結(jié)為兩點(diǎn)：其一，時(shí)間偏好不一致低估投資的期權(quán)價(jià)值，從而引起提前投資并增加投資規(guī)模，其二，時(shí)間偏好不一致低估將來收益的現(xiàn)值，從而導(dǎo)致延遲投資并減少投資規(guī)模。當(dāng)偏好不一致程度較低時(shí)，第一個(gè)效應(yīng)占主導(dǎo)地位，而當(dāng)偏好不一致程度較高時(shí)，第二個(gè)效用占主導(dǎo)地位。另外關(guān)于投資時(shí)機(jī)和投資規(guī)模權(quán)衡的分析可以參見文獻(xiàn)[28]。其次注意到時(shí)間偏好一致的情形和最優(yōu)情形的投資決策是相同的，這是由于當(dāng)δ=1(時(shí)間偏好一致)的時(shí)候，控制股東的最優(yōu)股權(quán)持有比例為1(參見圖1)。

圖4 投資觸發(fā)水平與折扣因子的關(guān)系

圖5 投資規(guī)模與折扣因子的關(guān)系

文獻(xiàn)[8]指出，在時(shí)間偏好一致情形下，控制股東持有固定股權(quán)比例時(shí)，控制股東額外的私利導(dǎo)致過度投資行為。而從圖4的數(shù)值結(jié)果不難看出，在限定λ=0.33的情形下，與最優(yōu)情形相比，時(shí)間偏好不一致的控制股東在最優(yōu)股權(quán)下表現(xiàn)為延遲投資。而圖5顯示，成熟型(幼稚型)控制股東的折扣因子δ小于0.32(0.47)時(shí)，與最優(yōu)情形相比表現(xiàn)為減小最優(yōu)投資規(guī)模，大于0.32(0.47)時(shí)，表現(xiàn)為擴(kuò)大最優(yōu)投資規(guī)模。這是由于三個(gè)方面的因素在起作用，首先時(shí)間偏好不一致會(huì)影響到最優(yōu)股權(quán)結(jié)構(gòu)(參見圖1)，隨著δ增加，控制股東的股權(quán)比例增加，此時(shí)控制股東的決策越接近最優(yōu)情形。其次，在股權(quán)比例不為1的情形下，時(shí)間偏好一致股東相比最優(yōu)情形表現(xiàn)為過度投資(參見文獻(xiàn)[8])。而隨著δ增加，時(shí)間偏好不一致控制股東越接近時(shí)間偏好一致股東，此時(shí)會(huì)出現(xiàn)過度投資。最后，隨時(shí)間偏好不一致程度增加(δ減小)，時(shí)間偏好不一致股東會(huì)出現(xiàn)較嚴(yán)重的投資不足。

4.3 最優(yōu)股權(quán)下投資者保護(hù)系數(shù)的影響

在公司治理文獻(xiàn)中，投資者保護(hù)系數(shù)是重要的研究變量，投資者保護(hù)系數(shù)的大小測(cè)度了投資者受保護(hù)程度以及公司治理有效性。本小節(jié)給出最優(yōu)股權(quán)下投資者保護(hù)系數(shù)η對(duì)項(xiàng)目投資策略的影響。

首先，從圖7可以看出，時(shí)間偏好不一致控制股東的最優(yōu)投資觸發(fā)水平隨投資者保護(hù)系數(shù)η呈現(xiàn)U型關(guān)系。從4.2節(jié)的分析可以知道，從投資時(shí)機(jī)的角度來看，基本參數(shù)下控制股東表現(xiàn)為延遲投資。而隨著投資者保護(hù)系數(shù)η的增加，一定程度上會(huì)促使時(shí)間偏好不一致控制股東加速投資(向最優(yōu)投資時(shí)機(jī)靠攏)，然而這個(gè)影響是有限的。隨著η的進(jìn)一步增加，時(shí)間偏好不一致控制股東會(huì)逐漸延遲投資。

圖7 投資觸發(fā)水平與投資者保護(hù)系數(shù)的關(guān)系

其次，圖8表明時(shí)間偏好不一致控制股東的最優(yōu)投資規(guī)模隨投資者保護(hù)系數(shù)η呈現(xiàn)倒U型關(guān)系。4.2節(jié)的分析說明控制股東的投資不足表現(xiàn)為投資規(guī)模較低，而當(dāng)投資者保護(hù)系數(shù)較低時(shí)，隨著η的增加可以一定程度緩解投資規(guī)模不足(向最優(yōu)投資規(guī)?？繑n)。同樣這個(gè)影響是有限的。

圖8 投資規(guī)模與投資者保護(hù)系數(shù)的關(guān)系

總之，在控制股東可以選擇最優(yōu)股權(quán)結(jié)構(gòu)的情況下，隨著投資者保護(hù)系數(shù)的增大，一定程度上可以緩解投資決策的扭曲程度，這與傳統(tǒng)的控制權(quán)私利理論模型的結(jié)論形成對(duì)比(如文獻(xiàn)[8])。然而，隨著控制股東的投資決策偏離了最優(yōu)情形，意味著完善投資者保護(hù)對(duì)改善控制股東投資決策的扭曲是有限的。這一結(jié)論的啟示是，在完善公司治理過程中，應(yīng)當(dāng)考慮到控制股東時(shí)間偏好的特征。

5 結(jié)語(yǔ)

本文在考慮控制股東時(shí)間偏好不一致的基礎(chǔ)上，構(gòu)建控制股東私利下內(nèi)生化投資決策的動(dòng)態(tài)財(cái)務(wù)模型，給出了控制股東的最優(yōu)股權(quán)持有量。并將控制股東分為成熟型和幼稚型來分析時(shí)間偏好不一致對(duì)投資策略的扭曲。通過數(shù)值模擬，本文量化了時(shí)間偏好不一致程度以及投資者保護(hù)程度等關(guān)鍵影響因素對(duì)投資決策所產(chǎn)生的具體扭曲程度。結(jié)果表明，與時(shí)間偏好一致控制股東的過度投資行為相比，時(shí)間偏好不一致的控制股東會(huì)因偏好不一致的程度不同而出現(xiàn)過度投資或投資不足。隨著投資者保護(hù)程度的提升，對(duì)緩解時(shí)間偏好不一致控制股東的投資扭曲是有限的，這是在公司治理過程需要考慮的因素。其它條件不變時(shí)，與成熟型控制股東相比，幼稚型控制股東私利行為所引致的投資決策扭曲程度更大?？刂乒蓶|的時(shí)間異質(zhì)偏好是公司治理中不可忽略的因素，并且成熟型控制股東與幼稚型控制股東表現(xiàn)出不同企業(yè)策略。投資者受保護(hù)程度也會(huì)影響到控制股東的最優(yōu)股權(quán)數(shù)量。

本文綜合考慮了控制股東時(shí)間異質(zhì)的偏好、最優(yōu)股權(quán)結(jié)構(gòu)、控制權(quán)私利行為以及投資決策，不僅豐富了動(dòng)態(tài)的公司財(cái)務(wù)理論和代理理論的研究，也為控制權(quán)私利的實(shí)證研究提供了一些有意思理論假設(shè)。值得注意的是，本文構(gòu)建的理論模型考察了時(shí)間異質(zhì)偏好控制股東對(duì)中小股東利益侵占下的最優(yōu)股權(quán)結(jié)構(gòu)，但沒有進(jìn)一步考慮股東與債權(quán)人的代理沖突問題及其影響，這是未來可以進(jìn)一步探討的方向。

附錄A：

命題1的證明

控制股東單位時(shí)間收益流為φ(1+ξ)q(X(t)-w)，于是投資后控制股東的價(jià)值為，

(A1)

根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法(如Leland[32])可以得到M*(x)滿足如下微分方程，

0.5σ2x2M*″+μxM*′(x)-rM*+φ(1+ξ)q*(x-w)=0

(A2)

(A2)滿足如下邊界條件，

(A3)

(A4)

其中A1和A2為待定系數(shù)，對(duì)(A4)使用邊界條件(A3)可以得到式(6)。

(A5)

最優(yōu)投資規(guī)模q*滿足的方程可以通過最大化投資時(shí)刻控制股東的價(jià)值得到，

(A6)

控制股東的期權(quán)價(jià)值為

(A7)

(A8)

證畢。

附錄B

式(10)和式(14)的推導(dǎo)。

(B1)

(B2)

將式(B1)等號(hào)右邊的結(jié)果和式(B2)第二個(gè)等號(hào)右邊的結(jié)果相加，并進(jìn)一步積分可以得到

(B3)

由于式(B1)等號(hào)左邊結(jié)果和式(B2)第一個(gè)等號(hào)左邊的結(jié)果相加再乘以φ(1+ξ)q便是式(14)的第一個(gè)等號(hào)前情形，于是將(B3)乘以φ(1+ξ)q便可以得到式(14)第二個(gè)等號(hào)后的結(jié)果。

附錄C

命題2和命題3的證明。

(C1)

式(13)最優(yōu)投資規(guī)模qs滿足的代數(shù)方程可以通過最大化投資時(shí)刻控制股東的價(jià)值得到，即

(C2)

(C3)

至此給出了命題2的證明。

(C4)

(C5)

求解微分方程(C4)和(C5)還需要如下邊界條件

(C6)

微分方程(C4)和(C5)的通解如下，

(C7)

其中A、B和C為待定系數(shù)，而ML(x)和MH(x)的詳細(xì)表達(dá)式如下(C8)和(C9)給出。

(C8)

(C9)

于是，通過(C7)、(C8)和(C9)，邊界條件(C6)轉(zhuǎn)化為如下(C10)形式，

(C10)

由(C10)的前兩個(gè)等式以及后兩個(gè)等式可以分別得到，

(C11)

(C12)

用(C11)除以(C12)便可以得到式(19)。證畢。

附錄D

最優(yōu)情形：無控制權(quán)分離。