廣東省汕頭市澄海華僑中學(xué) (515800) 潘敬貞

廣東省東莞市麻涌中學(xué) (523000) 駱妃景

廣東省佛山市順德區(qū)第一中學(xué) (528300) 楊承根

1.引言

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》明確提出六大核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算是六大核心素養(yǎng)之一.數(shù)學(xué)運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基石，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段.具備一定的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力是獲取數(shù)學(xué)知識(shí)、有效參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基本要求.數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的高低直接影響著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果，甚至是制約著學(xué)生深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要因素.近年來(lái)，高考題對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查也擺在重要的位置，數(shù)學(xué)運(yùn)算的重要性不言而喻.因此，在平日的課堂教學(xué)中如何利用教學(xué)內(nèi)容為載體，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，是每一位一線數(shù)學(xué)老師都面臨的一個(gè)重要課題.數(shù)學(xué)運(yùn)算，首先要明晰運(yùn)算對(duì)象，理清求解思路，再設(shè)計(jì)運(yùn)算思路并動(dòng)手實(shí)踐，再優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程，最后反思小結(jié)、積累經(jīng)驗(yàn)提升運(yùn)算素養(yǎng)水平.本文以解析幾何中面積問(wèn)題為載體，從明晰運(yùn)算對(duì)象，理清求解思路，設(shè)計(jì)運(yùn)算思路，學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，變式訓(xùn)練等角度開(kāi)展教學(xué)實(shí)踐，旨在培育學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，最后提幾點(diǎn)教學(xué)思考供同行參考、交流.

2.解析幾何中面積問(wèn)題

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是考查運(yùn)算推理能力和運(yùn)算求解能力的絕佳素材，同時(shí)也是培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的沃土.解析幾何中面積問(wèn)題的求解重點(diǎn)考查運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，主要涉及平面幾何的性質(zhì)，直線方程，韋達(dá)定理，點(diǎn)到直線的距離公式，分類討論等解析幾何的核心內(nèi)容以及利用基本不等式或函數(shù)單調(diào)性求最值，在此過(guò)程中運(yùn)算推理尤為關(guān)鍵.近年來(lái)，解析幾何中有關(guān)面積問(wèn)題(三角形和四邊形的面積)一直是高考命題的熱點(diǎn)，常以壓軸題的形式出現(xiàn).

三角形面積問(wèn)題是解析幾何中的基礎(chǔ)問(wèn)題，相對(duì)復(fù)雜問(wèn)題基礎(chǔ)問(wèn)題的研究對(duì)象更加清晰，解題思路更加明確，更有利于訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維、培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)，所以認(rèn)為解析幾何中的面積問(wèn)題(三角形和四邊形的面積)是培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的絕佳載體.

3.教學(xué)實(shí)錄

3.1 明晰運(yùn)算對(duì)象，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維

師：大家一起思考、討論一下ΔAOB的面積的求法.

師：很好，其他同學(xué)有不同的想法嗎？

生2：依題意可得橢圓C的焦點(diǎn)F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，直線l:y=x-1經(jīng)過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)F2(1,0)，所以ΔAOB分割為同底(OF2)的兩個(gè)三角形(ΔAOF2與ΔBOF2)面積之和.

師：非常棒！還有嗎？

生3：設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)為P，所以ΔAOB分割為同底(OP)的兩個(gè)三角形(ΔOBP與ΔAOP)面積之和.

師：非常棒！

設(shè)計(jì)意圖:直接已知一個(gè)較為簡(jiǎn)單的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程和直線相交，要求兩個(gè)交點(diǎn)(A,B)和坐標(biāo)原點(diǎn)O的連線所圍成三角形(ΔAOB)的面積，這是一個(gè)很簡(jiǎn)單很基礎(chǔ)的問(wèn)題，絕大部分學(xué)生都能參與思考和解答的問(wèn)題，保證了學(xué)生的參與度.同時(shí)也有利于學(xué)生研究問(wèn)題對(duì)象，學(xué)生間的交流，探索求解思路有更多的思想共鳴，更有利于交互想法，能很好的營(yíng)造一個(gè)和諧的學(xué)習(xí)氛圍.讓學(xué)生有更多的思考和交流機(jī)會(huì)，有利于理清問(wèn)題求解的思路和訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

3.2 設(shè)計(jì)運(yùn)算思路，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

師：對(duì)于ΔAOB的面積求解同學(xué)們提供了三種解決思路，三種思路大家都動(dòng)手試求解一下.

(大概過(guò)了10分鐘左右，學(xué)生展示求解過(guò)程)

師：大家展示一下解答過(guò)程，誰(shuí)先來(lái)展示以邊AB為底，以點(diǎn)O到直線AB的距d為高的求解過(guò)程.

師：這位做的很好，其他同學(xué)有不同的求法嗎？

生5：我是聯(lián)立解方程求出A,B兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AB的長(zhǎng)度.

師：聯(lián)立直線與曲線方程消元后得到的一元二次方程容易解的，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)也不失為好選擇，所以我們解題時(shí)如果能夠根據(jù)題意和自己的長(zhǎng)項(xiàng)選擇合適的方法，可優(yōu)化運(yùn)算，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高解題效率.

師：誰(shuí)來(lái)展示一下ΔAOB分割為同底的兩個(gè)三角形面積之和.

生6：我是將ΔAOB分割為同底(OF2)的兩個(gè)三角形(ΔAOF2與ΔBOF2)面積之和.

生7：我是先設(shè)直線AB與y軸的交點(diǎn)為P，再將ΔAOB分割為同底(OP)的兩個(gè)三角形(ΔOBP與ΔAOP)面積之和.

師：非常棒，這兩個(gè)思路的本質(zhì)是一樣的，他們的解答過(guò)程都很簡(jiǎn)潔，更能優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程，是很不錯(cuò)的方法.有時(shí)還可以利用分割法即把所求的三角形面積分成兩三角形面積之差，但分割法解決此類面積問(wèn)題僅限于直線過(guò)定點(diǎn)，且三角形的頂點(diǎn)中，有一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)已知.這三種解答思路都是解決此類三角形面積問(wèn)題的通性通法，大家要熟練者三種思路的特點(diǎn)，在不同的問(wèn)題情境中選擇合適的求解思路和解答策略.

設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)進(jìn)行實(shí)踐體會(huì)，對(duì)自己的想法和他人的好解法要親自動(dòng)手獲取最真實(shí)的體驗(yàn)，同時(shí)在展示求解過(guò)程實(shí)現(xiàn)相互學(xué)習(xí)、相互提升的目的.

3.3 變式訓(xùn)練，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

師：請(qǐng)大家動(dòng)手求解變式1.

生8：因?yàn)橐阎本€l過(guò)F1，所以只需求出直線l的斜率就能利用點(diǎn)斜式得到其方程.根據(jù)問(wèn)題1的解題經(jīng)驗(yàn)，利用分割法求ΔABF2的面積.

師：非常棒，這位同學(xué)在設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程時(shí)很細(xì)心，先考慮直線斜率不存在的情況，這是很多同學(xué)容易遺漏的，還有其他解法嗎？

師：學(xué)以致用，非常好，用分割法求面積，并反設(shè)直線方程簡(jiǎn)化解答過(guò)程，大大減少了運(yùn)算量，有效回避討論直線的斜率是否存在，這是我們必須要熟練掌握的方法，這位同學(xué)非常善于靈活運(yùn)用學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，選擇最優(yōu)化的解題思路值得我們?yōu)樗c(diǎn)贊！

設(shè)計(jì)意圖:在問(wèn)題1的基礎(chǔ)上，做適當(dāng)?shù)淖兪剑寣W(xué)生根據(jù)三角形的面積求法列有關(guān)方程并求解，進(jìn)一步深化對(duì)三角形面積問(wèn)題的理解以及理清解題思路，鞏固所學(xué)知識(shí).同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧求過(guò)x軸上的定點(diǎn)的直線方程的兩種常用方法，深刻體會(huì)兩種方法的優(yōu)劣，培育學(xué)生優(yōu)化運(yùn)算的意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展，并為下面更一般化的變式解答作鋪墊.

變式2 設(shè)橢圓C的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，已知過(guò)點(diǎn)F1的直線l與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，求ΔAOB面積的最大值，并求出此時(shí)直線l的方程.

師：已經(jīng)非常很棒了.解析幾何中，面積最值問(wèn)題是考題中的熱點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，這位同學(xué)能做到這里已經(jīng)很棒了，解答的思路清晰明了，能圍繞目標(biāo)合理轉(zhuǎn)化，反設(shè)直線方程，有效的優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程，利用分割法將三角形的面積構(gòu)造自變量為m的函數(shù)，我們?yōu)檫@位同學(xué)點(diǎn)贊.那接下來(lái)怎樣求S(m)的最大值呢？哪位同學(xué)來(lái)挑戰(zhàn)一下？

生11：我利用換元法，利用基本不等式最后取不到等號(hào)，所以利用函數(shù)單調(diào)性求S(m)的最大值.

師：很好，非常很棒！換元法是一種非常重要的方法，換元法有效的將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉且簡(jiǎn)單的問(wèn)題進(jìn)行解決，這位同學(xué)的解法就這樣，很巧妙的將問(wèn)題解決了.同時(shí)，這位同學(xué)很細(xì)心，在利用基本不等式求解時(shí)要注意等號(hào)成立這一重要條件，大家可以學(xué)習(xí)借鑒.

設(shè)計(jì)意圖:變式2以三角形面積最值為研究對(duì)象，提升了問(wèn)題的復(fù)雜性，增加求解難度，將課堂的學(xué)習(xí)推向高潮，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)水平的提升，提高處理問(wèn)題和解決問(wèn)題能力等.

師：變式3對(duì)問(wèn)題1中的橢圓進(jìn)行一般化，探究一般性的結(jié)論.在變式4是在變式3的基礎(chǔ)上，把直線l變?yōu)榕c橢圓相交的任意直線，這樣就更具一般化，由于時(shí)間關(guān)系，大家回去可以自行探究，下一節(jié)課我們?cè)僮屚瑢W(xué)來(lái)展示探究結(jié)果.

設(shè)計(jì)意圖:更具一般化的探究，尤其是涉及字母運(yùn)算，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是極大的挑戰(zhàn)，同時(shí)也是綜合提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的好素材.考慮課堂的時(shí)間成本，同時(shí)又可以讓不同層次的學(xué)生得到充分的發(fā)展，因此給出變式3和變式4供他們課后探究、思考.下一節(jié)課通過(guò)展示探究成果激發(fā)學(xué)生的求知欲，全面發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

變式5 (2008·全國(guó)Ⅱ理21)如圖1，設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2，0)，B(0，1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線y=kx(k>0)與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．

圖1

(Ⅰ)略；(Ⅱ)求四邊形AEBF面積的最大值．

師：有關(guān)四邊形面積最值問(wèn)題，通常利用分割法轉(zhuǎn)化為三角形面積最值問(wèn)題，如果四邊形的對(duì)角線相互垂直，其面積為兩條對(duì)角線長(zhǎng)度的積的一半，然后將面積最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離最值問(wèn)題，如2016年高考全國(guó)Ⅰ卷理20題.本題給我們的啟示是：解決一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題可以通過(guò)合理的轉(zhuǎn)化為一個(gè)基本的問(wèn)題，問(wèn)題是相互聯(lián)系的.大家在審題時(shí)要善于剖絲剝繭，發(fā)現(xiàn)題目中的“蛛絲馬跡”，然后將其聯(lián)系起來(lái)作為解題的線索，最后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化基本問(wèn)題加以解決.

設(shè)計(jì)意圖:為了讓學(xué)生多題歸一，進(jìn)一步鞏固上述研究方法和解題策略，將變式問(wèn)題延伸到求兩條直線與橢圓相交的四個(gè)交點(diǎn)所圍成的四邊形面積，因此得到變式5.通過(guò)對(duì)變式5的分析與解答，可讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題之間盤(pán)根錯(cuò)節(jié)的關(guān)系，加強(qiáng)知識(shí)橫向聯(lián)系，把散落的考題連成線、鋪成面、織成網(wǎng)，凸顯問(wèn)題本質(zhì)，讓學(xué)生在“變”中理解“不變”的本質(zhì)，進(jìn)一步提高運(yùn)算能力、處理問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

3.4 高考鏈接

(Ⅰ)求E的方程；(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)ΔOPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.

(Ⅰ)求M的方程；(Ⅱ)C,D是M上的兩點(diǎn)，若四邊形ABCD的對(duì)角線AB⊥CD，求四邊形ABCD面積的最大值.

4.(2016·課標(biāo)卷Ⅰ理20)設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C,D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E．

(Ⅰ)證明|EA|+|EB|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M,N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．

(Ⅰ)求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；(Ⅱ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.(ⅰ)證明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面積的最大值.

設(shè)計(jì)意圖:高考題是命題專家的智慧結(jié)晶，高考題不僅有很好的選拔功能，同時(shí)也有很好的教學(xué)功能，是教與學(xué)的好素材.因此有效利用、激活真題，針對(duì)訓(xùn)練，鞏固所學(xué)，增強(qiáng)信心，訓(xùn)練思維，培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平.

4.教學(xué)思考

4.1 課堂是思想交流、思維提升的場(chǎng)所

古人云：學(xué)而不思則罔.其實(shí)數(shù)學(xué)的教學(xué)就是數(shù)學(xué)思維的活動(dòng).45分鐘，時(shí)間寶貴，要盡量進(jìn)行更高級(jí)更有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng).教師的思考、教師的講解代替不了學(xué)生的思維，因此，教師要精心設(shè)計(jì)，科學(xué)引導(dǎo)學(xué)生，營(yíng)造和諧的學(xué)習(xí)的氛圍讓學(xué)生有更多安靜思考和持續(xù)的思考的機(jī)會(huì)，讓更多學(xué)生的想法得到充分的表達(dá)，讓學(xué)生在探討問(wèn)題解決的思路與求解策略中思維得到訓(xùn)練，解決問(wèn)題的智慧得到增長(zhǎng).課堂上，教師要做好充分準(zhǔn)備，要相信學(xué)生，教師要多傾聽(tīng)學(xué)生的想法，學(xué)生更是要學(xué)會(huì)傾聽(tīng)老師和同學(xué)的觀點(diǎn)和含義，最終要讓“學(xué)生成是課堂的主體，教師是課堂的主導(dǎo)”真正落到實(shí)處.

本節(jié)課，首先給出一個(gè)核心但又很基礎(chǔ)、較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題作為切入點(diǎn)，針對(duì)三角形的面積問(wèn)題，讓學(xué)生充分思考、表達(dá)自己的想法，每個(gè)解題思路學(xué)生都能體會(huì)、有共鳴，課堂氛圍輕松、和諧，學(xué)生思維活躍，老師的話語(yǔ)不多，但取得實(shí)實(shí)在在的效果.

4.2 節(jié)奏慢一點(diǎn)，讓學(xué)生多一點(diǎn)動(dòng)手實(shí)踐和展示的機(jī)會(huì)

古人亦云：思而不學(xué)則殆.教師的解答，個(gè)別優(yōu)等生的展示，提升不了全體學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，最終只能靠學(xué)生自己通過(guò)努力實(shí)踐得到提升.人們常說(shuō)，百聽(tīng)不如一見(jiàn)，百見(jiàn)不如一摸.“思”是“學(xué)”的出發(fā)點(diǎn)，“學(xué)”是“思”的落腳點(diǎn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理想狀態(tài)應(yīng)該是自己主動(dòng)去思考問(wèn)題并動(dòng)手推理實(shí)踐.只有親身經(jīng)歷，動(dòng)手實(shí)踐才是最真實(shí)的體驗(yàn).知識(shí)的理解只有在運(yùn)用中深化，數(shù)學(xué)能力只有在解決問(wèn)題的過(guò)程中得以提升，因此在明晰運(yùn)算對(duì)象、理清解題思路的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自己動(dòng)手解問(wèn)題非常必要，非常關(guān)鍵.因此在教學(xué)過(guò)程中，節(jié)奏可以慢一點(diǎn)，讓學(xué)生有更多思考的時(shí)間，有更多實(shí)踐體驗(yàn)和展示的機(jī)會(huì).解題思路雖然相同，但求解題策略也有所不同，通過(guò)展示、分享求解過(guò)程達(dá)到相互學(xué)習(xí)相互提升的目的.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不經(jīng)歷“山重水復(fù)疑無(wú)路”后的苦苦思索，怎能獲得“柳暗花明又一村”的豁然開(kāi)朗與心曠神怡，只親歷解題實(shí)踐的人方可體會(huì)個(gè)中的酸甜苦辣，以及之后的回味無(wú)窮.

本節(jié)課，在理清解題思路之后，對(duì)每個(gè)解題思路每個(gè)學(xué)生都要?jiǎng)邮纸獯?，解析幾何解答多?dòng)手，完整的解答很重要，對(duì)自己的想法或他人的好解法只有動(dòng)手實(shí)踐的體驗(yàn)才最真實(shí).運(yùn)算能力只有在解答中得到提升，在分享、交流中，優(yōu)化解答策略，增長(zhǎng)解題智慧.

4.3 學(xué)數(shù)學(xué)，需要持續(xù)思考

教師要保證學(xué)生有安靜、獨(dú)立和長(zhǎng)時(shí)思考的機(jī)會(huì)，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳省身先生認(rèn)為：數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物．首先要自己能夠主動(dòng)思考，然后與他人交換想法，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)有很好的效果…．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只有“為伊消得人憔悴，衣帶漸寬終不悔”的精神方能獲得“慕然回首，那人卻在燈火闌珊處”的體驗(yàn).

本節(jié)課的各個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)生都有充分的時(shí)間思考和表達(dá)、展示的機(jī)會(huì).變式3和變式4是對(duì)問(wèn)題1進(jìn)行一般化的拓展，考慮課堂時(shí)間成本和思考的延續(xù)性，讓學(xué)生課后動(dòng)手探究，高考鏈接也是為學(xué)生提供在不同問(wèn)題情境中思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，訓(xùn)練思維和提升素養(yǎng)的機(jī)會(huì).

5.結(jié)語(yǔ)

高考解析幾何解答題的成功求解運(yùn)算能力是關(guān)鍵.提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平并非一日之功，需要持續(xù)思考、勤于動(dòng)手實(shí)踐.基于核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)是以知識(shí)為載體，以培育和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)為課堂教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn).基于核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)，需要教師充分了解學(xué)生，悉學(xué)生的成長(zhǎng)規(guī)律，了解學(xué)生思維習(xí)慣，了解所教學(xué)生的認(rèn)知區(qū)和最近發(fā)展區(qū)，選編出符合學(xué)生需要的課堂教學(xué)問(wèn)題和變式題，還要求教師有較高的課堂駕馭能力等.基于核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)向教師提出了更高的要求，我們只有不斷地學(xué)習(xí)，了解教育教學(xué)前沿理論知識(shí)，深刻理解課改精神，熟悉課程標(biāo)準(zhǔn)與教材內(nèi)容，熟悉高考命題規(guī)律，掌握命題技能，勤于實(shí)踐善于反思，才能真正的有效開(kāi)展“基于核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)”教學(xué)實(shí)踐，培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方可落地生根.