福建省閩清縣第一中學 (350800) 林 婷

福建省福州高新區(qū)第一中學 (350109) 張武生

反思是指自覺地對數學認知活動進行考察、分析、總結、評價、調節(jié)的過程，是學生調控學習的基礎，是認知過程中強化自我意識、進行自我監(jiān)控、自我調節(jié)的主要形式，是培養(yǎng)“四基”形成的有效途徑.荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數學思維活動的核心和動力.”實踐表明，培養(yǎng)學生的反思能力不僅能促進學生主動學習、深度學習，提高學習效益，而且有利于提升學生的數學核心素養(yǎng).以下筆者談談在教學實踐中的幾點思考，與同行探討.

1.在概念教學中激發(fā)反思，從感性到感悟

數學概念是反映事物在數量關系和空間形式上的本質特征的思維形式，具有高度抽象性.學生要深刻理解這些概念，除了要引導學生積極參與概念的建構，還應該引導學生運用已有的知識、經驗、方法對所學的概念進行反思，多問幾個為什么.只有通過反思，才能深刻理解其內涵與外延，深化學生的知識建構，從感知到感悟，提升數學核心素養(yǎng).

案例1 人教A版數學3“古典概型”概念教學片斷

在講授完“古典概型”概念后，教師可提出以下問題引導學生反思：

反思1：請看剛上課時提出的“游戲公平性問題”：一個口袋內裝有編號為1的一個紅球和編號2、3、4的三個白球，這四個球除顏色之外完全相同.甲乙兩位同學做一個游戲：從袋中一次任意摸出2個球，若取到兩個同色球，則甲勝，否則乙勝.大家認為這個“游戲公平性問題”是古典概型嗎？為什么？

生1：“游戲公平性問題”是古典概型.基本事件有6個，是有限的；由于是“任取兩個”，因此每個基本事件的發(fā)生也是等可能的.

反思2：如圖1，向一個圓面內隨機地投射一個點，若該點落在圓內任意一點都是等可能的，這是古典概型嗎？為什么？

圖1 圖2

生2：不滿足有限性，不是古典概型.因為基本事件是圓內任意一點，有無數個.

反思3：如圖2，某同學隨機地向一靶心進行射擊，這一試驗的結果只有有限個：“命中10環(huán)”、“命中9環(huán)”、“命中8環(huán)”、“命中7環(huán)”、“命中6環(huán)”、“命中5環(huán)”和“不中環(huán)”.這是古典概型嗎？為什么？

生3：不是古典概型，滿足有限性，但不滿足等可能性.比如“命中10環(huán)”與“不中環(huán)”就不是等可能的.

師：非常好！判斷一個試驗是否為古典概型，關鍵是看它的基本事件是否滿足有限性與等可能性，二者缺一不可.

教師運用經典問題引導學生辨析、判斷，鞏固和深化對“古典概型”的理解，深化了學生的認知結構.在概念教學中，教師引導學生反思，有助于促進學生深度學習，揭示概念的本質特征，提升學生的直觀想象、數學抽象、數學建模素養(yǎng).

2.在問題的變式中引導反思，從感性到理性

培養(yǎng)學生的反思能力,就是要培養(yǎng)學生多角度分析問題、解決問題的能力.問題變式的解決有利于知識的正遷移，在課堂教學中，教師可通過一題多解、一題多變、多題一解的變式訓練,讓學生在由淺入深、多角度、多層次的問題情境中，通過對問題的多維分析,反思各種變式所共有的本質特征,揭示問題的條件與結論之間的內在聯系及其蘊涵的規(guī)律，培養(yǎng)理性思維能力，提升數學核心素養(yǎng).

圖3

解決了本題后，師生共同歸納出題目與結論所包含的三個要素：(1)三個定點A、B、D；(2)三條動直線MN、AM、BN；(3)三個動點T、M、N.為了培養(yǎng)學生思維的靈活性，教師繼續(xù)引導學生進行反思：

學生全身心地投入問題的反思中，有的學生反思解題過程，提出了如下問題：

教師設計思維含量高的問題，引導學生從“變”的現象中揭示“不變”的本質，從“不變”的本質中反思“變”的規(guī)律，達到了講一題通一類的目的，有效地促進了學生深度學習，提升了學生的數學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

3.在講評課中落實反思，從膚淺到深刻

現代建構主義理論認為：數學學習不是一種“授予—吸收”的過程，而是學習者主動的建構活動.對平時學習上的易錯問題，盡管教師反復講評，對學生還是于事無補，以后仍“舊病復發(fā)”.其主要原因是這種平鋪直敘的講評往往使得有錯誤的學生沒有弄清問題的實質，而處于一種“淺認識”的階段，無法留下深刻的印象.因此在課堂教學中，教師要善于創(chuàng)設“有意錯誤”情境，讓學生嘗試錯誤，引導其反思，自我發(fā)現思維中存在的矛盾，自我糾錯.這樣有助于學生跨越學習高原，積累數學活動經驗，實現思維升華，提升數學核心素養(yǎng).

B.周期為π的偶函數

D.周期為π的非奇非偶函數

這是我校高三單元考的一道試題，得分率極低.學生有以下兩種錯解.

教師沒有直接指出錯因，而是引導學生反思.通過反思，學生認識到定義域會影響函數的奇偶性，也會影響函數的周期性.函數f(x)的圖象如圖4所示，周期應該是π，故選D.

圖4

師：函數的定義域是函數三要素之一，忽視函數的定義域易導致解題失誤.

為了使學生有效克服知識理解上的偏差，教師進一步引導學生反思.

反思：忽視函數的定義域可能導致哪些錯誤？

利用學生的錯解作為反面教材，對已完成的思維過程進行批判性的思考，反思自我思維癥結和認知缺陷，并通過思維對比，豁然貫通某個關節(jié)點，能有效地培養(yǎng)學生思維的嚴謹性與批判性，提高自我監(jiān)控能力，促進深度學習，提升數學運算、邏輯推理等數學核心素養(yǎng).

4.在單元復習中增強反思，從經驗到素養(yǎng)

單元復習是數學課堂教學不可或缺的一個環(huán)節(jié).學生對知識的理解，需要通過復習得以鞏固.反思能挖掘知識之間的內在聯系，促進知識的同化和遷移.因此培養(yǎng)學生的單元反思習慣是促進學生深度學習、提升學生核心素養(yǎng)的保證.

在單元復習中，教師要引導學生將本單元的概念、定理、公式、法則進行總結，構建本章的知識網絡；引導學生揭示相似概念、定理、公式之間的不同結構與本質區(qū)別；引導學生對做錯的作業(yè)、測試題進行反思，并且有針對性地設計、設疑練習、改錯練習.

同時，教師還應引導學生反思如下問題：⑴本單元所學的知識與以前的知識有哪些聯系？⑵本單元解決了哪些問題？這些問題是如何產生的？用了什么樣的研究方法？⑶本單元學習了哪些數學思想方法？

讓學生在學完一個單元之后，為學生搭建一個交流思想與理念的平臺，能促進學生的深度思考，使學習收到“書越讀越薄，概念越學越清，知識越來越精”的功效.

毋容置疑，學生反思能力的培養(yǎng)不可能是朝夕之功，而是長期地、持久地逐漸提升的.因此教學必須給學生留下反思的時空，使學生通過反思超越認知層面，產生對自我數學認知的再認知，從而促進深度學習，讓數學核心素養(yǎng)落地生根.