李暉

（泉州第五中學(xué)，福建 泉州 362000）

解析幾何的本質(zhì)，就是用代數(shù)方法解決平面幾何問題。高中數(shù)學(xué)中，解析幾何模塊對學(xué)生提出了比較綜合的要求，也是高考對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題中，通常有兩種方法：設(shè)線法與設(shè)點(diǎn)法。教師在解幾教學(xué)中，應(yīng)注意解題方法的多中取精，著力培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)優(yōu)化方法和運(yùn)算技巧的能力。

一、設(shè)線法與設(shè)點(diǎn)法的定義與適用場景介紹

所謂“設(shè)線法”，即以“線”為源頭，設(shè)出直線方程，通過聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，利用方程思想，結(jié)合韋達(dá)定理解決問題［1］。利用這種方法可解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的許多問題：比如常見的求幾何量的范圍最值問題，定點(diǎn)定值問題等，是解析幾何問題的常規(guī)解法?！霸O(shè)點(diǎn)法”，即以“點(diǎn)為源頭”，設(shè)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)作為參數(shù)來解決問題，這種方法通常不需要聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程。比如涉及到弦的中點(diǎn)問題中常見的“點(diǎn)差法”就是“設(shè)點(diǎn)法”的典型。在近幾年的高考中，大部分的圓錐曲線解答題都可以用設(shè)線法解決，但是也有一部分題目，用“設(shè)線法”計(jì)算量過大或者無法解決，設(shè)點(diǎn)法才是最優(yōu)的解法。對“設(shè)線法”，學(xué)生經(jīng)過長期的練習(xí)，都比較熟悉，難點(diǎn)主要在于應(yīng)用數(shù)形結(jié)合對題目幾何條件的代數(shù)轉(zhuǎn)化，文章不再詳述。

二、例舉設(shè)點(diǎn)法在圓錐曲線教學(xué)的應(yīng)用

對于設(shè)點(diǎn)法，學(xué)生通常比較陌生，什么情況下采用設(shè)點(diǎn)法，設(shè)點(diǎn)后又如何推進(jìn)解題過程，筆者通過下面的例題進(jìn)行分析。

例.已知拋物線Γ:y2=4x，經(jīng)過點(diǎn)A(3,-2)的直線交拋物線Γ 于M,N兩點(diǎn)，經(jīng)過定點(diǎn)b(3,-6)和M的直線與拋物線Γ 交于另一點(diǎn)L，問直線NL是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)，否則說明理由。

解法一：設(shè)M(x0,y0)，N(x1,y1)，L(x2,y2)，則，直線MN的斜率為，則直線MN:

（注意：在計(jì)算過程中，我們還應(yīng)敏銳地觀察到如果通過兩點(diǎn)坐標(biāo)來表示直線方程的話，兩直線MN和將A(3,-2)，B(3,-6) 分別代入①②兩式得消去y0得y1y2=12，又則直線NL為。

解法二：①直線MN的斜率不存在時，A,B的橫坐標(biāo)相同，此時N,L重合，不符合題意，

②設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，L(x3,y3)，

直線MN:y+2=k(x-3)與y2=4x聯(lián)立得k2-x2-(2k2+4k+4)x+(3k+2)2=0， ∴x1x2=

將代入上式消參得x=-3，因此直線NL恒過定點(diǎn)(-3,0)。

（一）分析例題脈絡(luò)，歸納“設(shè)點(diǎn)法”適用題型特征

此題題設(shè)條件多，關(guān)系錯綜復(fù)雜，但是仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)，直線MN過A(3,-2)，ML過B(3,-6)，所以N,L兩動點(diǎn)歸根結(jié)底是隨著動點(diǎn)M的變化而變化的，從而動直線NL其實(shí)跟動點(diǎn)M密切相關(guān)，所以此題可以采用“設(shè)點(diǎn)法”，將動點(diǎn)M的坐標(biāo)設(shè)出，找出點(diǎn)N,L的坐標(biāo)與M的坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)一步表示動直線NL的方程，最后利用方程來分析定點(diǎn)問題。

實(shí)際上，通過總結(jié)近年來的一些高考試題及各地模考題，可以發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：一般地，如果我們把一道解析幾何解答題看成一個情節(jié)跌宕起伏的故事［2］，故事的起因是“曲線上的某個動點(diǎn)”，故事的發(fā)展經(jīng)過是“該動點(diǎn)的運(yùn)動引發(fā)了其他點(diǎn)、線、或者幾何量的變化”，故事的結(jié)局就是題目的結(jié)論。如果題目符合這種“動點(diǎn)起因”的特征，另外，在經(jīng)過和結(jié)局中較少涉及如弦長這類與韋達(dá)定理關(guān)系密切的幾何量的計(jì)算時，通?？梢圆捎谩霸O(shè)點(diǎn)法”。

（二）比較兩種解法，體會“設(shè)點(diǎn)法”的計(jì)算優(yōu)勢

解法一“設(shè)點(diǎn)法”解題過程中，用兩點(diǎn)M,N坐標(biāo)表示出直線MN方程，再利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足拋物線方程來化簡直線方程。并且，解題中敏銳地觀察到如果通過兩個點(diǎn)的坐標(biāo)來表示直線方程的話，兩直線MN和ML方程的表示過程完全一樣，直線方程的結(jié)構(gòu)形式也一樣?？芍苯油淼玫剑槐赜?jì)算兩次，這將大大減小計(jì)算量。

解法二“設(shè)線法”解題過程中，需要直接用到N,L兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，與兩個一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系沒有明顯的直接聯(lián)系，若用求根公式將N,L兩個點(diǎn)的坐標(biāo)分別用兩直線斜率k1,k2表示出來，再進(jìn)一步表示直線NL方程，則計(jì)算量太大，不易進(jìn)行實(shí)際操作。故在設(shè)MB方程時，將斜率用點(diǎn)M坐標(biāo)表示，進(jìn)而表示出直線MB方程，用設(shè)而不解的方法，結(jié)合韋達(dá)定理研究M,N,L三個動點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系從而研究動直線NL的方程，這樣處理雖然可以進(jìn)行操作，但是，計(jì)算量仍然太大，尤其在最后一步消參的過程中，對學(xué)生運(yùn)算能力和運(yùn)算技巧的要求太高，所以對此題而言“設(shè)線法”不是好的方法。

（三）思考解題過程，總結(jié)“設(shè)點(diǎn)法”解題模式

可以看到，在整個解題過程中，動點(diǎn)的坐標(biāo)貫穿始終。題目幾何條件的代數(shù)轉(zhuǎn)化，結(jié)論的直線方程的表示，都依賴動點(diǎn)坐標(biāo)。在用“設(shè)點(diǎn)法”解題的過程中，要始終具有目標(biāo)意識，用敏銳的觀察力，分析條件和目標(biāo)的差異，用動點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)去表示其他的點(diǎn)、線或幾何量，并要充分利用動點(diǎn)坐標(biāo)滿足曲線方程的條件，及時進(jìn)行有效地化簡調(diào)整（常用平方及xi,yi的切換），將條件不斷向目標(biāo)轉(zhuǎn)化，推進(jìn)解題過程，這是“設(shè)點(diǎn)法”的大致解題模式?？梢詫⑦@個模式總結(jié)為：設(shè)點(diǎn)——表示——化簡轉(zhuǎn)化——結(jié)論。

解析幾何最大的難點(diǎn)在于：①不知從何做起（即設(shè)點(diǎn)與設(shè)線的選擇；②計(jì)算繁瑣“永無止盡”。要突破這兩點(diǎn)就要膽大心細(xì)腳踏實(shí)地去細(xì)細(xì)品味例題，總結(jié)出自己的思路與思想［3］。下面表格對這兩種方法進(jìn)行了總結(jié)［3］：

綜上所述，高三解析幾何的復(fù)習(xí)不僅需要培養(yǎng)學(xué)生知難而進(jìn)的意志品質(zhì)，更需要總結(jié)出一套行之有效的解題思路。在解題過程中要有目標(biāo)意識，在用設(shè)點(diǎn)法或設(shè)線法求解時，要注意“主”與“輔”的關(guān)系［4］，要始終圍繞目標(biāo)和解題計(jì)劃展開求解，抓住問題的主要矛盾，抓住矛盾的主要方面。在設(shè)點(diǎn)或設(shè)線法中，若能用某個點(diǎn)的坐標(biāo)或某直線方程中的某一個或幾個變量去表示其余的點(diǎn)的坐標(biāo)或直線的方程，這樣抓住“牛鼻子”就使得定值證明、最值求解和取值范圍問題迎刃而解了。