楊錦肖

（連江縣琯頭中心小學，福建 連江 350500）

一、追問本質：按比例分配因何而教？

為什么要進行按比例分配教學？對一個新知識的學情分析是數(shù)學教學的起步工作，只有準確把握新知的內(nèi)涵才能科學把脈數(shù)學學科素養(yǎng)，以確保核心素養(yǎng)在知識學習中有效浸潤。思索這個問題，需要從兩個維度切入。

維度一，按比例分配問題新在哪里？一是問題的結構是新的，用比來呈現(xiàn)幾個數(shù)量之間的關系，這個信息呈現(xiàn)點是新的；二是解題的思路是新的，“基于比的意義，轉化關鍵信息，巧借運算意義解決問題”也就是將“比”轉化成份數(shù)、分數(shù)等，再用除法或分數(shù)乘法等解決問題。這種“轉化信息”的思路是新的，由此可見，“轉化思想”是推動這類問題解題策略生成的內(nèi)核，學習這個知識過程勢必需要感悟轉化思想，進一步積淀數(shù)學抽象能力，從而提高數(shù)學核心素養(yǎng)。

維度二，為什么有按比例分配這種方式？“分配勞動成果與經(jīng)商贏余是人類生活中的永恒課題。”這個課題是與人們生活息息相關的，這種思考方式與經(jīng)驗也是在生活中產(chǎn)生的。所以，追逐按比例分配的本源，可以讓學生更好感受到這種數(shù)學模型的特殊價值，體會到按比例分配的意義，讓學生充分感受到數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系。

二、追尋本源：按比例分配因“此”而教

基于按比例分配問題的本質分析，可以感受到這類問題的強烈生活性與特別的數(shù)學味。這類問題有深厚的生活基礎，那教學自然需要充分挖掘這個基礎，引領學生去利用按比例分配生活原型建構新知。

那如何引領學生追逐到這個本源？需要回歸到分配的現(xiàn)實情境，讓學習基于經(jīng)驗、突破經(jīng)驗、創(chuàng)造經(jīng)驗。需要在分配的需要性上做文章，讓學生體會按比例分配的生活性，同時緊緊抓住關鍵信息實現(xiàn)多維溝通，讓學生理解按比例分配的解題方法，讓教學“因此”而生動透亮。

1.情境活動，產(chǎn)生問題

（1）情境一：平均分問題

師：同學們，在一次數(shù)學競賽中，五（3）班與（4）班均獲團體一等獎，學校決定獎勵140 個桔子，你認為怎樣分配這些桔子合理？

（2）情境二：引出按一定比分配問題

師：在這次數(shù)學競賽中，六（1）班與六（5）班分別獲團體一等獎和二等獎，學校也決定獎勵140 個桔子給他們，你認為應該怎樣分配這些桔子合理？

上述兩個情境素材相似，貼近學生生活實際。前后兩個不同情境，讓學生產(chǎn)生強烈的矛盾沖突，怎樣分配不一樣的獎別？當然，學生會基于生活經(jīng)驗形成“一個多一個少”的思路，但這種思路不具代表性。所以，教師特意跟進了兩組素材“14 個桔子”“1400 個桔子”按這樣的思路如何分配？促使學生去思考80 與60 的關系，進而產(chǎn)生8、6 與800、600 的分配結果，這個過程讓學生有意識地關注分配結果，去觸碰比例關系，但此時，比例的概念還比較模糊。最后，教師再次追問“三次分配都按什么標準分？”徹底點燃學生心底的那團“火”，挖出“比”這一分配標準，從而產(chǎn)生按比例分配這種新方式。

2.交流探索，解決問題

（1）畫圖分析，初識結構特點

出示例題：數(shù)學競賽中，六年級1 班與5 班分別獲得一等獎與二等獎，學校決定將140 個桔子作為獎品，按3：2 獎勵給兩個班，他們分別可得幾個桔子？

學生畫圖分析理解題意。

教師基于學生的畫圖分析，在黑板上畫圖表示題意：

（2）小組互助，探索解答方法

“按3：2 分配”，類似這樣的按比例分配問題的標志性信息，解決問題關鍵是要實現(xiàn)對“比”的轉化分析。用畫圖的方式去分析題意，可以突出對關鍵信息的解讀，引起學生對問題結構的關注。同時，圖示可以突出比的意義，數(shù)形結合幫助學生理解比，實現(xiàn)與分數(shù)有意義的溝通。

圖示分析后學生進行獨立思考及小組交流互助，可以促使學生基于原來的除法、分數(shù)乘法等知識經(jīng)驗解決問題，再基于小組活動進行方法溝通，實現(xiàn)相互幫助。

（3）集中互助，完善解答方法

方法一：3+2=5 140÷5=28（個） 28×3=84（個）28×2=56（個）

師：請問，5 是什么意思？第一個算式求什么？140 為什么除以5？

……

方法三：設每份是x 個，那么1 班是3x 個，5 班是2x 個。

3x+2x=140

5x=140

x=28

1 班：28×3=84（個） 5 班：28×2=56（個）

在小組交流中，學生對方法已經(jīng)有了初步的感知，但缺乏全面的理解。集中交流就是為了突出對每種方法的意義分析，幫助學生理解掌握解答方法。通過學生展示、教師追問的方式展開交流，可以突出學生的主體性，同時發(fā)揮教師的主導作用，在關鍵點上追問，引導學生真正理解每種方法的意義。特別是三種方法的對比，讓孤立的方法實現(xiàn)了聯(lián)系，促進學生對這類問題的意義把握。

3.嘗試練習，深化理解

圖書館新進450 本圖書，按4∶5 分配給兩個年級，分別可以分到幾本？

…………

溝通平均分與按比例分配的關系是本課的目標之一，借助試一試題目變換信息呈現(xiàn)平均分，過程比較自然?！?∶5”這樣一個特殊比，能迅速引起學生的思考熱情，可以看成10 份來解決，也可化簡為1∶1 解決，那就是平均分。在這樣的自主判斷與對話中，學生對平均分與按比例分配理解更深入，明白兩者的相通處，從而重新建構了對分配的認識，達成了教學目標。

三、追逐本真：按比例分配因“經(jīng)驗”而生長

追問本質、追逐本源，讓教學不再停留于技能的機械移植，而是讓學生經(jīng)歷學習過程。

1.激活經(jīng)驗，支撐學習。教學充分關注激活學生已有的知識經(jīng)驗，讓已有經(jīng)驗支撐學習。一是平均分的經(jīng)驗?！鞍呀圩营剟罱o兩個同為一等獎的班級”這個素材快速激活了學生平均分經(jīng)驗，也是日常分配的既有經(jīng)驗。二是比的意義?！爱媹D表示3：2”這個過程讓學生回顧了比的意義，也為實現(xiàn)比與分數(shù)、份數(shù)的轉化做了積極準備。三是求每份數(shù)的方法。在獨立嘗試過程中，學生主動遷移，利用歸一法、分數(shù)乘法、方程等已有方法嘗試解決問題。三組素材（活動）讓三個核心經(jīng)驗得以激活，讓后續(xù)的沖突生成、意義理解有了充分的心理準備。

2.挑戰(zhàn)經(jīng)驗，引發(fā)學習?！敖圩臃纸o兩個獎別不一樣的班級如何分？”這個新問題讓學生對平均分經(jīng)驗產(chǎn)生了懷疑，產(chǎn)生了挑戰(zhàn)經(jīng)驗的欲望，為學生“發(fā)現(xiàn)”按比例分配方式創(chuàng)造了機會。這是本課最關鍵的經(jīng)驗挑戰(zhàn)點。同時，解決例題過程中，學生基于舊經(jīng)驗運用除法、分數(shù)乘法等方法順利解決了新問題?！斑@些方法有相同處嗎？”這個問題引發(fā)學生對三種舊方法的思考，再次去經(jīng)歷挑戰(zhàn)經(jīng)驗的過程，創(chuàng)造了發(fā)現(xiàn)解決按比例分配問題需要“求每份數(shù)”這一核心經(jīng)驗的機會，這是解題方法層面重要的經(jīng)驗挑戰(zhàn)點。

3.創(chuàng)新經(jīng)驗，提升學習。經(jīng)歷創(chuàng)造“按一個比分配”過程是讓學生體會按比例分配的意義。為此，教學中特意構筑了一組結構化的素材——按兩個層次分桔子。

層次一是“140 個桔子分給同是一等獎的兩個班級”和“140 個桔子分給一個是一等獎一個是二等獎兩個班級”，第一個素材激活學生平均分經(jīng)驗，第二個素材引發(fā)平均分不公平的矛盾沖突，把學生帶進了尋找“按比例分配”的新活動。

層次二是在解決“140 個桔子分給一、二等獎兩個班級如何分？”時，以現(xiàn)場追問的方式補充呈現(xiàn)了兩組素材“按這樣的分配方法14 個桔子如何分？”“1400 個桔子呢？”當學生說“140 個桔子分別分80 個和60 個時，學生的經(jīng)驗是“一等獎多一點、二等獎少點”這樣一個模糊的標準。緊跟的問題——按這樣的分配方法14 個桔子如何分——這樣的分配方法是什么？學生不得不重新思考剛才“多一點與少點”的具體標準。

“14 個桔子”這個新素材給學生重新思考提供了腳手架，所以學生很快找到了“8 個與6 個”這個結果，當然這個結果的形成不排除是縱向思考（就是140 變成14 是除以10，所以80 也要除以10）。所以，馬上跟進第三個問題——1400 個桔子呢？讓學生再次修正自己的經(jīng)驗，同時也形成了三組數(shù)據(jù)——80個、60 個，8 個、6 個，800 個、600 個，這樣三組數(shù)據(jù)排列在黑板上也就為孩子再次審視“按什么標準分配”，發(fā)現(xiàn)“按4：3”分配創(chuàng)造了機會。

這個過程，學生經(jīng)歷了“多一點與少一點”“同時乘或除以一個相同數(shù)”“都按4：3 這個比分”這樣三次對經(jīng)驗的不斷修正創(chuàng)造過程，也讓學生深刻體會到按比例分配這種新分配方式的價值。

按比例分配是一種公平分配思想，與傳統(tǒng)平均分有聯(lián)系嗎？這個問題是學習過程中需要幫忙學生破解的。在最初因平均分而不公平的矛盾體驗中，學生勢必會對平均分有一些誤解。所以，教學中特意用一個趣味活動“按5∶5 分配，分別能分到幾本？”要求學生快速完成。在帶有競賽味道的氛圍中，學生中出現(xiàn)了除以2 的計算方法，討論中學生明白了平均分實質就是按1：1 分配，從而將平均分經(jīng)驗與按比例分配經(jīng)驗融會貫通，實現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)的提升。