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        巧借平面幾何知識,快速解答高考試題

        2020-07-21 10:09:20河南申治國
        高中數(shù)理化 2020年8期
        關(guān)鍵詞:背景高職

        ◇ 河南 申治國

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》頒布以來就成為命題的依據(jù),2020年取消考試大綱,而高考考查的內(nèi)容也不再僅限于高中課本知識,故本文通過幾個有平面幾何背景的高考題,說明巧借平面幾何知識,可以快速解答部分高考試題.

        1 平面向量背景

        具有平面向量背景的高考題,有時借助平面幾何知識可以實現(xiàn)快速解答.

        圖1

        快速解法1如圖2,過點D 作DF∥CE 交AB 于點F.由D 是BC 的中點,可知F是BE 的中點.由BE=2EA,可得AE=EF,故AO=OD,下同常規(guī)解法.

        圖2

        快速解法2由梅涅勞斯(Menelaus)定理可知,由已知可得,故AO=OD,下同常規(guī)解法.

        快速解法1通過構(gòu)造輔助線借助平面幾何結(jié)論推理,使問題順利解答.快速解法2借助梅涅勞斯定理,避免了構(gòu)造輔助線.

        2 解析幾何背景

        在解析幾何背景的高考題中如果涉及平面幾何圖形,借助平面幾何知識往往可以快速解題.

        常規(guī)解法由,可知BF1⊥BF2,連接OA,則由可知點A 是BF1的中點,又O 是F1F2的中點,故OA∥BF2.雙曲線的漸近線方程是,故可知

        設(shè)|BF1|=bt,|BF2|=at,由

        又b2+a2=c2,故t=2.在△BF1F2中,可知B的縱坐標(biāo)為,則橫坐標(biāo)為,由kBF2=,故c2=4a2,雙曲線的離心率

        快速解法如圖3,由OA 為△BF1F2的中位線且OA ⊥BF1,所 以O(shè)B =OF1,因 此∠F1OA =∠BOA.根據(jù)兩漸近線關(guān)于y 軸對稱,故∠F1OA =∠F2OB,所以∠F2OB=60°,則

        圖3

        根據(jù)圖形直接可得雙曲線的一條漸近線的傾斜角是60°,使問題的解答顯得更加自然流暢.

        常規(guī)解法由題意|OM|=|OF|=c=2,設(shè)右焦點為F′,P(x,y),則|PF′|=2|OM|=4,(x-2)2+y2=16與方程聯(lián)立,可解得(舍),點P 在橢圓上且在x 軸的上方,故求得所以利用兩點的斜率公式可求得直線PF 的斜率是.

        快速解法設(shè)右焦點為F′,利用橢圓定義可得|PF′|=|FF′|=4,|PF|=2,在等腰△PFF′中,利用勾股定理可得底邊PF 上的高是,而tan∠PFF′=即為所求直線PF 的斜率.

        通過轉(zhuǎn)化為求等腰三角形底角的正切,避免了相對復(fù)雜的解方程組運算.

        3 解三角形背景

        解三角形問題,可以利用正弦定理、余弦定理和三角變換公式等高中知識解答,但若充分借助平面幾何知識,有時可以更快地使問題獲解.

        常規(guī)解法由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,可得c=,a=.由面積公式S=2acsinB,可得S=.

        快速解法如圖4,根據(jù)已知條件,聯(lián)想初中平面幾何中最常見的直角三角形(一副三角板中的一個),利用圖形的唯一性可知b=6=,故c=,則所求面積

        經(jīng)濟全球化的發(fā)展,出國旅游也變得越來越普遍,代購行業(yè)也越來越繁榮。在此背景下,提高英語能力尤其是口語能力口語更好地滿足社會發(fā)展的需求,因此,在高職院校的英語教學(xué)中,需要正視自己與本科院校學(xué)生英語水平的差距,高職院校英語綜合能力較弱,在表達能力上更是有所不足,因此,在這個大背景下,高職院校學(xué)生英語能力無法滿足社會日益發(fā)展的需求矛盾,傳統(tǒng)的教學(xué)模式重視教師的主導(dǎo)作用側(cè)重于教,現(xiàn)代化教學(xué)模式側(cè)重學(xué)生的主體地位,而混合式教學(xué)的新鮮元素的應(yīng)用在課堂上,可以打破限制英語口語能力的發(fā)展的因素,積極引導(dǎo)學(xué)生英語課堂的參與積極性,促進英語口語交流的可能性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)英語的自主性與積極性。

        直覺推理和邏輯推理同樣重要,本題通過聯(lián)想平面幾何基本圖形,實現(xiàn)了問題的更快解答.

        圖4

        4 三角函數(shù)背景

        不論是初中以直角三角形為背景定義的銳角三角函數(shù),還是高中借助坐標(biāo)系和單位圓定義的任意角的三角函數(shù),借助平面幾何知識都可以使有些三角函數(shù)問題快速獲解.

        A.4β+4cosβ B.4β+4sinβ

        C.2β+2cosβ D.2β+2sinβ

        圖5

        常規(guī)解法設(shè)圓心為O,根據(jù)∠APB=β,可知AB 所對圓心角∠AOB=2β,故扇形AOB 的面積為,由題意,要使陰影部分面積最大,則P 到AB 的距離最大,此時PO 與AB 垂直,故陰影部分面積最大值S=4β-S△AOB+S△PAB,而S△AOB=4sinβcosβ,S△PAB=4sinβ+4sinβcosβ,故陰影部分面積最大值S=4β+4sinβ,故選B.

        快速解法按照極限思想,若,則陰影區(qū)域為半圓加等腰直角三角形時面積最大,可求得面積是2π+4,可以排除A,C和D,只有B符合條件.

        借助極限位置和平面幾何知識排除錯誤選項,實現(xiàn)了出奇制勝.

        綜上所述,扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是實現(xiàn)高考題快速解答的前提,因此,在備戰(zhàn)高考時,全面復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識是十分必要的,其中包括初中的數(shù)學(xué)知識,巧用初中知識,可以快速解答部分高考題.

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