趙 銳

(商洛學院 數學與計算機應用學院, 陜西 商洛 726000)

碰撞懸臂梁是一種非光滑系統(tǒng)，經常出現在工程和物理問題中.近年來，該系統(tǒng)受到了顯著的關注.文獻[1-4]給出了關于這種系統(tǒng)的一些重要的結論.由于受到碰撞的影響，使得該系統(tǒng)能產生一些有趣的非光滑動力學行為，例如一些獨特的混沌[1-3].然而在實際中，有時更需要有規(guī)律的行為，因此針對這種非光滑系統(tǒng)的混沌控制具有重要意義.

在過去的幾十年中，許多方法已經被用來實現混沌控制，例如OGY控制法[5]、反饋控制法[6]和脈沖控制法[7-8]等.后步控制法是另外一種重要的混沌控制方法[9-10]，其控制法則可以通過Lyapunov 穩(wěn)定性理論推導而得到.后步控制法已經被成功應用于對Lorenz 系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)和Lü系統(tǒng)的混沌控制[9-10].在文獻[11]中，此方法被用來對碰撞振動系統(tǒng)進行混沌控制，控制的策略是根據系統(tǒng)的輸出來設計控制器.后步控制技術不僅可以驅動混沌吸引子成為穩(wěn)態(tài)，同時還可以將其控制到期望的軌道.

筆者使用后步控制策略對碰撞懸臂梁系統(tǒng)進行混沌控制，將系統(tǒng)的輸出在其定義域范圍內控制到任意期望的軌道.首先給出系統(tǒng)的控制策略，并得出相應的控制器，然后進行數值模擬，驗證該策略的有效性.

1 基于后步控制法的碰撞懸臂梁系統(tǒng)混沌控制

考慮圖1所示的碰撞懸臂梁系統(tǒng)

長方體的質量為m，懸臂梁的長度和彎曲彈性系數分別為l和EI，彈簧的彈性系數為k，長方體與彈性支撐面的距離為g，在F(t)=F0cosωt的激勵下，長方體的位移為x.該系統(tǒng)的動力學方程可表示為[1-2]

(1)

其中，H(x)是如下的Heaviside函數

(2)

為了方便下面的討論，以如下的無量綱形式重寫方程為[1]

(3)

由文獻[1-4]知，PWL和PWN系統(tǒng)都可以容易地產生混沌吸引子.將分別針對PWL和PWN系統(tǒng)使用后步策略設計控制器，將系統(tǒng)的的輸出控制到期望的軌道.

1.1 分段線性(PWL)系統(tǒng)的控制首先，把PWL系統(tǒng)重新表示為以下形式

(4)

為了控制該系統(tǒng)，在系統(tǒng)(4)的第二個方程中加入控制器u1，可以得到一個可控制的系統(tǒng)，即

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

顯然，令ξ>0且

(11)

可使 (10) 負定.

(12)

(13)

同時，V2在系統(tǒng)(13)上的時間導數為

(14)

令ξ>0且

(15)

可使方程 (14) 負定.

因此得到受控PWL系統(tǒng)的控制器為

(16)

在此條件下，系統(tǒng)(9)和(13)在初值(0,0)處穩(wěn)定，即PWL系統(tǒng)的輸出被穩(wěn)定在r(τ).

1.2 分段非線性(PWN)系統(tǒng)的控制將PWN系統(tǒng)改寫為

(17)

對系統(tǒng)(17)的第二個方程增加一個控制器u2，可得如下的受控系統(tǒng)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

令ξ>0且

(24)

便使系統(tǒng)(23) 負定.

迭代上述過程, 可以得到此條件下的控制法則, 即ξ>0且

(25)

可以給出受控PWM系統(tǒng)的控制器如下

(26)

方程(26)可以保證PWN系統(tǒng)的輸出y被控制期望的軌跡r(τ).

2 數值模擬

假設期望的軌道為r(τ)=0.5 sin(τ),當τ=80時打開由式(16)得到的控制器u1，此時PWL系統(tǒng)的輸出y如圖3所示.圖4給出了r(τ)=0.2 sin(0.5τ)，當τ=120時打開控制器，受控PWL系統(tǒng)的輸出.基于這些模擬，可以發(fā)現給出的PWL系統(tǒng)的控制規(guī)則是非常有效的.

圖2 PWL系統(tǒng)的混沌吸引子圖3 r(τ)=0.5sin(τ)時受控PWL系統(tǒng)的輸出控制到目標軌道

圖4 r(τ)=0.2sin(0.5τ)時受控PWL系統(tǒng)的輸出控制到目標軌道圖5 PWN系統(tǒng)的混沌吸引子

圖6 r(τ)=0.1sin(τ)時受控PWN系統(tǒng)的輸出控制到目標軌道圖7 r(τ)=0.05sin(0.5τ)時受控PWN 系統(tǒng)的輸出控制到目標軌道

假設期望的軌道為r(τ)=0.1 sin(τ)，當τ=80時打開由方程(17)求出的控制器u2，圖6給出了受控PWN系統(tǒng)的輸出.期望軌道r(τ)=0.05 sin(0.5τ)，當τ=120時打開控制器，受控PWL系統(tǒng)的輸出y如圖7所示. 圖6和圖7的結果驗證了關于PWN系統(tǒng)的控制規(guī)則的有效性.

3 小 結

給出了一種基于Lyapunov穩(wěn)定性理論的后步控制方法用于實現懸臂梁系統(tǒng)的混沌控制. 根據系統(tǒng)的特點，控制器被設計為分段函數，導出的控制器可以將系統(tǒng)的輸出在其定義域范圍內控制到任意期望的軌道上，數值模擬驗證了控制策略的有效性.