◇ 山東 邱桂艷

函數(shù)圖象在高中數(shù)學(xué)解題中有著十分廣泛的應(yīng)用.在高中數(shù)學(xué)中對(duì)函數(shù)圖象有兩方面的要求，一方面是能根據(jù)函數(shù)的圖象知道函數(shù)的基本性質(zhì)，另一方面是能應(yīng)用函數(shù)圖象來(lái)解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題.在高中數(shù)學(xué)解題中，應(yīng)用函數(shù)圖象可以簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)題，將數(shù)量關(guān)系和圖象巧妙結(jié)合，不僅能幫助學(xué)生快速高效地完成各種復(fù)雜的題型，也能更好地幫助學(xué)生們理順各個(gè)條件之間的關(guān)系，提高做題效率.

1 應(yīng)用于數(shù)學(xué)填空題和選擇題

在數(shù)學(xué)題中，填空題和選擇題是兩種常見(jiàn)的題型，這類題已知條件較少，主要考查學(xué)生對(duì)某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，通過(guò)函數(shù)圖象能幫助學(xué)生快速找到解題的關(guān)鍵.

例1現(xiàn)給出方程式sinx=sin2x，如果x 的定義域?yàn)椋?，2π），則上述方程一共有（ ）個(gè)解.

A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)

解析

如果不利用函數(shù)圖象進(jìn)行解題，則解題步驟如下：sin2x=2sinxcosx=sinx，如果sinx=0，那么x=π.如果sinx≠0，則2cosx=1，即一共有3個(gè)解.這種解題思路不僅復(fù)雜，計(jì)算較多，而且在解題的過(guò)程中也很可能忽略了（0，2π）這一條件，從而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.利用函數(shù)圖象進(jìn)行解題時(shí)，將sinx 和sin2x 的圖象畫(huà)出來(lái)，可以得出當(dāng)x 在（0，2π）這一區(qū)間內(nèi)，一共有三個(gè)解，這種解題方式不僅簡(jiǎn)單快速，其準(zhǔn)確性也高.因此，在解這類題時(shí)，要盡量通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象的方式來(lái)簡(jiǎn)化題目，節(jié)省計(jì)算時(shí)間，提高做題準(zhǔn)確率.

例2函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），其圖象見(jiàn)圖1，那么在b2-4ac＞0，4a+b＞0，a-b+c＞0，a+b+c＞0這幾個(gè)公式里面，正確的有個(gè).

圖1

解析

這一題也可以利用函數(shù)圖象來(lái)進(jìn)行解答.從函數(shù)圖象中可以知道，拋物線和x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，因此b2-4ac＞0.同時(shí)考慮拋物線的對(duì)稱性質(zhì)和其對(duì)稱軸處于1和2之間，所以，將該不等式進(jìn)行變換可以得到b＞-4a，所以4a+b＞0.若x=-1，則a-b+c＞0.若x=1，則a+b+c＜0.

2 應(yīng)用于抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決

除了在填空題和選擇題中應(yīng)用函數(shù)圖象，在面對(duì)一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)也要全面分析，積極應(yīng)用函數(shù)圖象來(lái)解題.從整體來(lái)看，函數(shù)圖象可以用來(lái)解決函數(shù)值域、近似值等問(wèn)題.利用函數(shù)圖象求解上述問(wèn)題，可以將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，提高做題效率.

例3給出下列不等式：，求式中x 的取值范圍.

解析

在針對(duì)題目中有絕對(duì)值的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生常常會(huì)出現(xiàn)因?yàn)楹雎詶l件或者是計(jì)算錯(cuò)誤造成最終答案錯(cuò)誤的問(wèn)題.如果在解決這類題的時(shí)候采用函數(shù)圖象的方式，將可能出現(xiàn)的情況通過(guò)函數(shù)圖象表現(xiàn)出來(lái)，能有效避免漏解、錯(cuò)解.在此題中，我們可以將題目中的不等式轉(zhuǎn)換成＜0，令y=.當(dāng)2x+3=0或者x-5=0時(shí)，即或者x=5.得出上述結(jié)果之后，可以將x 軸分成三個(gè)部分，在三個(gè)區(qū)間內(nèi)畫(huà)出三個(gè)一次函數(shù)圖象，找到這些圖象和x 軸的交點(diǎn)，便可以得出x 的取值范圍.

例4求解不等式

解析

可以看出整個(gè)式子比較復(fù)雜，而且涉及x 的三次方的問(wèn)題，如果直接求解不僅需要大量的時(shí)間，而且很難得出正確的答案.對(duì)此，可以應(yīng)用函數(shù)圖象解題，將上式進(jìn)行變形，得到x3+5x，又因?yàn)樗圆坏仁娇梢曰癁榭梢栽O(shè)函數(shù)為f（x）=x3+5x，函數(shù)為在定義域R 內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，不等式又可以化為f（x），所以原不等式就等價(jià)于，對(duì)上述不等式求解得-1＜x＜1或x＜-2.

例5求方程lgx=3-x 的近似解.

解析

將上述方程化為lgx-3+x=0，令函數(shù)f（x）=lgx-3+x，借助計(jì)算器計(jì)算得到f（2）≈-0.70，f（3）≈0.48，有f（2）f（3）＜0，所以方程在區(qū)間（2，3）只有1個(gè)解.接著用二分法計(jì)算，取（2，3）的中間值2.5，利用計(jì)算器計(jì)算得f（2.5）≈-0.10，然后再取（2.5，3）的中間值2.75，利用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算得f（2.75）≈0.19，有f（2.5）f（2.75）＜0，所以可知x0∈（2.5，2.75），同理可以得到x0∈（2.5，2.625），x0∈（2.5625，2.625），因?yàn)?.625-2.5625=0.0625＜0.1，所以方程的近似解的取值為2.5625.

3 應(yīng)用于比較大小和找零點(diǎn)

在學(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候，學(xué)生要熟練掌握常見(jiàn)的幾種函數(shù)類型的性質(zhì)和圖象，這對(duì)于解決比較大小、求零點(diǎn)等類型的題目十分重要，可以進(jìn)一步提高學(xué)生的做題效率和質(zhì)量.

例6如果有不等式loga2＜logb2＜0，則a，b 可以滿足下列哪個(gè)關(guān)系（ ）.

A.1＜a＜b B.1＜b＜a C.0＜a＜b＜1 D.0＜b＜a＜1

解析

如果學(xué)生知道對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)并且能畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，這類題就變得非常容易了.因?yàn)閘oga2＜logb2＜0=loga1，所以0＜a＜1，0＜b＜1.又因?yàn)閘oga2＜logb2，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以知道a＞b，所以0＜b＜a＜1.

例7函數(shù)x 在［0，+∞）內(nèi)（ ）.

A.沒(méi)有零點(diǎn) B.有且僅有1個(gè)零點(diǎn)C.有且僅有2個(gè)零點(diǎn) D.有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)

解析

所給函數(shù)中涉及兩類函數(shù)，如果直接求解幾乎解不出來(lái).因此，在求解時(shí)可以采用函數(shù)圖象的方式，令-cosx=0，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出y=和y=cosx 的圖象，兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)個(gè)數(shù)，最終答案為B.

圖2

綜上所述，高中數(shù)學(xué)的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容可以概括為兩個(gè)字：“數(shù)”和“形”，在高中數(shù)學(xué)中，很多數(shù)量關(guān)系都可以通過(guò)函數(shù)圖象表現(xiàn)出來(lái)，在此基礎(chǔ)上形成的數(shù)形結(jié)合思想已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)的一種主要解題思路.學(xué)生在做數(shù)學(xué)題時(shí)掌握好上述思想，能有效提高數(shù)學(xué)成績(jī).