陳莘莘,刁呈巖,肖樹聰
(華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院,江西,南昌 330013)
無網(wǎng)格法[1-3]可以克服傳統(tǒng)的數(shù)值模擬方法對(duì)于單元或者網(wǎng)格的依賴性,不僅可以保證計(jì)算的精度,而且可以減小計(jì)算的難度。經(jīng)過諸多學(xué)者的研究,目前發(fā)展的無網(wǎng)格方法主要有無單元Galerkin 法[4-5]、無網(wǎng)格局部Petrov-Galerkin 法[6-7]、邊界無單元法[8]、重構(gòu)核粒子法[9-10]、二階一致無網(wǎng)格法[11-12]和自然單元法[13-14]等。其中,自然單元法在眾多無網(wǎng)格法中展示了其突出的優(yōu)點(diǎn)。自然單元法的近似函數(shù)滿足插值性,可以方便地施加本質(zhì)邊界條件,并且形函數(shù)的計(jì)算不涉及矩陣求逆以及人為參數(shù)的選擇問題。因此,自然單元法具有良好的發(fā)展前景,并且已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[15-19]。
雖然無網(wǎng)格法在處理裂紋問題上具有有限元等傳統(tǒng)數(shù)值方法不可比擬的優(yōu)越性,但仍然存在一些問題。為了較好地模擬裂紋尖端的應(yīng)力奇異性,無網(wǎng)格法主要采用了修正裂紋附近的權(quán)函數(shù)、內(nèi)部增強(qiáng)、外部增強(qiáng)以及單位分解增強(qiáng)等技術(shù)手段[20]。其中,單位分解增強(qiáng)法[21-22]的附加變量不多,并且計(jì)算精度較高?;趩挝环纸夥ㄋ枷耄绹鞅贝髮W(xué)Mones 等[23]在有限元框架內(nèi)提出了擴(kuò)展有限元法(XFEM),用以求解強(qiáng)和弱不連續(xù)問題。受XFEM 的啟發(fā),Ventura 等[24]基于單位分解法思想提出了擴(kuò)展無網(wǎng)格法(XEFG)。Shi等[25]應(yīng)用XEFG 法對(duì)不同長度和傾角的裂紋共存時(shí)的相互影響進(jìn)行了研究。Rabczuk 和Zi[26]采用XEFG 法對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)粘性裂紋擴(kuò)展問題進(jìn)行了分析。針對(duì)XEFG 法處理本質(zhì)邊界條件比較困難的缺點(diǎn),馬文濤等[27]提出了擴(kuò)展徑向點(diǎn)插值無網(wǎng)格法(XRPIM)。此外,王峰等[28]將滑動(dòng)Kriging插值法引入XEFG 法中,并將其用于含夾雜復(fù)合材料問題的求解。
鑒于自然單元法的優(yōu)越性,本文在單位分解框架下提出了擴(kuò)展自然單元法(extended natural element method, XNEM),試圖為線彈性斷裂力學(xué)問題提供更為適用的數(shù)值分析方法。該方法在自然單元法的位移模式中加入階躍函數(shù)和裂尖漸進(jìn)位移場函數(shù),并通過水平集方法(level set method, LSM)確定裂紋面和裂尖區(qū)域。典型的數(shù)值算例驗(yàn)證了本文方法的正確性和有效性。
自然單元法采用計(jì)算點(diǎn)的自然鄰接點(diǎn)、Voronoi結(jié)構(gòu)和無網(wǎng)格的方式構(gòu)造整體求解的近似位移函數(shù),不僅保證了計(jì)算精度而且簡化了數(shù)值計(jì)算的前處理過程。需要特別指出的是,自然單元法的形函數(shù)不僅滿足插值性,而且形函數(shù)的計(jì)算不涉及矩陣求逆,更沒有人為參數(shù)的選擇問題。基于單位分解思想,在自然單元法的位移模式中加入擴(kuò)展項(xiàng)表征不連續(xù)位移場和裂紋尖端奇異場的基礎(chǔ)上,本文首次提出了擴(kuò)展自然單元法。算例分析表明,擴(kuò)展自然單元法能夠較好地求解線彈性斷裂問題,具有較高的計(jì)算精度。由于近似函數(shù)滿足插值性,擴(kuò)展自然單元法較XEFG 可以更方便地施加本質(zhì)邊界條件。