陳水生,宋元,桂水榮,羅浩

(華東交通大學土木建筑學院,江西南昌 330013)

0 引言

處于工作狀況中的橋梁結構,將承受自身的靜載和行駛車輛的動載作用.當車輛以一定的速度行駛于橋面時,車輛自身有振動,這會引起橋梁結構產(chǎn)生振動,而這又影響著車輛的振動,這種車輛與橋梁間的相互作用即為車橋耦合振動.

當前公路橋梁交通流量日益增大,車輛行駛排列復雜多樣,相較于單車作用,公路橋梁在多車激勵作用下的振動更為劇烈,對橋梁的使用年限和車輛行駛的舒適性有很大影響.目前,對于車橋耦合振動問題的研究大多以單車道荷載作用下橋梁為研究對象,并未考慮不同車道上橫向車輛之間的相互影響[1-3].經(jīng)薇等[4]選用1/4車輛模型,分別從時域和頻域分析了縱向多車作用下二維簡支梁的振動響應,并提出在研究車橋耦合振動問題時考慮多車荷載是有必要的.喬東欽等[5]利用LS-DYNA軟件建立車橋模型,分析了單車荷載位于橫向不同位置時的橋梁振動響應,并通過試驗結果進行驗證.Zou等國外學者采用數(shù)值積分、解析法等對平面簡支梁及空間橋梁模型在單車激勵下的振動響應也進行了廣泛而深入的研究[6-11].但是,以上研究對多車激勵作用下的車橋耦合振動響應,尤其是橫向多車情況下的振動響應研究還不夠充分.現(xiàn)運營的公路橋梁大多數(shù)為兩個或兩個以上車道,各車道上的車輛不但直接對橋梁振動產(chǎn)生激勵,各車輛之間也會相互影響.因此,研究多排車輛工況下的車橋耦合振動問題更貼近實際,有利于橋梁結構的合理設計與運營維修.

據(jù)此,本研究模擬整車模型行駛于一座4 m×25 m的預應力混凝土連續(xù)箱梁橋,采用模態(tài)綜合分析方法,推導路面不平整激勵作用下的多車車橋耦合振動方程.基于Newmak-β算法編制Matlab求解程序,運行獲得橋梁振動響應,對比分析在單車、橫向并排兩車和縱向前后兩車3種工況下各種因素對橋梁振動響應的影響.

1 多車車橋耦合振動分析方法

1.1 建立多車車輛振動方程

本研究對象為三軸自卸汽車,根據(jù)車輛的動力特性,將其簡化為9自由度的三維模型.令i=1～6代表車輪1～6,共n輛車,則mni為第n輛車第i個車輪的懸架質量,csni和ksni分別為懸架彈簧阻尼和剛度系數(shù),ctni和ktni分別為車輪阻尼和剛度系數(shù),zni和zoni分別為懸架位移和車輪與橋面接觸處的橋面位移,mhbn為車體質量,Irn為車體側傾轉動慣量,φn為車體側傾角,Ihbn為車體俯仰轉動慣量,θbn為車體俯仰角,zbn為車體的豎向位移[12].車輛模型如圖1、2所示.

圖1 縱向多車模型Fig.1 Longitudinal multi-vehicle model

圖2 橫向多車模型Fig.2 horizontal multi-vehicle model

根據(jù)達朗貝爾原理,建立多車車輛振動方程

將方程組(1)改寫為矩陣形式為

式中：Mv、Cv、Kv分別為多車車輛系統(tǒng)的質量、阻尼、剛度矩陣,均為(9 n×9 n)的方陣,其中n為車輛數(shù)目；Fv為車輛的慣性荷載矩陣,Z為車輛各自由度矩陣,均為(9 n×1)的列向量.

1.2 建立橋梁振動方程

橋梁振動方程可通過有限元分析得到

式中：Mb、Cb、Kb分別為橋梁的質量、阻尼、剛度矩陣；Fb為車輛作用于橋梁的荷載列向量；U為橋梁單元節(jié)點位移列向量.通過振型分解法,對其進行規(guī)格化,則(3)式改寫為

1.3 模擬路面不平整

采用諧波疊加法模擬路面不平整,其表達式為

式中：Aj為每段頻率對應的不平整度幅值；x為車輛行駛方向位移；nmid,j為每段空間頻率的中值；θj為均勻分布在[0,2π]上相互獨立的隨機變量；m為空間頻率的劃分段數(shù).國家標準《機械振動道路路面譜測量數(shù)據(jù)報告(GB/T 7031—2005)》[13]根據(jù)路面功率譜密度把路面按不平度分為A～H級.

1.4 建立多車車橋耦合振動方程

橋梁所受車輛荷載為

式中：Fint、Fg分別為車輛沖擊力和重力.

假定橋面與車輪不分離,橋梁所受第i個車輪的沖擊力為

式中：Δi為車輪與橋面相對垂向位移；zi、ri和wi分別為車輪位移；不平整幅值和橋面位移；Nk和wk分別為板單元節(jié)點k的插值函數(shù)和位移；NN為節(jié)點數(shù).

通過車輪與橋面接觸處的位移協(xié)調(diào)條件和相互作用力的平衡條件,聯(lián)立方程(2)、(4)、(6)和(7),得到多車車橋耦合系統(tǒng)的振動方程為

式中：Mbv(t)、Cbv(t)、Kbv(t)分別為多車車橋耦合系統(tǒng)的廣義質量、阻尼、剛度矩陣,它們均為(r+9n)×(r+9n)的方陣,且隨車輛在橋上位置的改變而改變；Fbv(x,t)為系統(tǒng)的廣義荷載列向量,它也隨車輛在橋上位置的改變而改變；δ為橋梁的模態(tài)廣義坐標和車輛各自由度組成的列向量[14].

式(10)是一個線性時變方程,求解該方程時,在每一時間步Δt內(nèi)近似認為各矩陣為常矩陣,引入Newmak-β逐步積分法,于各個積分步長Δt的起點和終點建立動力平衡條件,并編制相應的Matlab計算程序進行求解.

2 算例分析

2.1 橋梁有限元模型及車輛模型

本研究以一座4 m×25 m的預應力混凝土連續(xù)梁橋為研究對象建立有限元模型.4片預制箱梁橫向排列,總寬度為13 m,梁高為1.4 m,橋面板和橋面鋪裝分別采用現(xiàn)澆C50混凝土和瀝青混凝土,厚度均為0.1 m.橋梁橫斷面如圖3所示.

橋梁的三維有限元模型通過ANSYS予以建立,其中,主梁采用Solid 73單元模擬,鋪裝層和橫隔板采用shell63單元模擬,以混凝土為主要截面材料的主梁通過將截面剛度進行換算來考慮鋼筋的影響.根據(jù)已有研究,在利用模態(tài)綜合法時,采用橋梁的前10階模態(tài)和自振頻率即可得到較好的結果.因此,通過模態(tài)分析,提取其前10階振型和自振頻率,并將其導入Matlab進行數(shù)值模擬計算.橋梁有限元模型如圖4所示.

圖3 橋梁橫斷面圖(單位：mm)Fig.3 Cross section of the bridge(unit：mm)

圖4 橋梁有限元模型Fig.4 Finite element model of the bridge

車輛模型為三維整車模型,采用文獻[15]的車輛結構尺寸及動力特性參數(shù).由于橋跨對稱布置,以下算例均采用前兩跨的計算結果進行分析.

2.2 多車對橋梁動力響應的影響

為研究多車對橋梁動力響應的影響,設計單車、橫向并排兩車和縱向前后兩車3種工況進行對比分析.單車和縱向兩車工況中的車輛均布置在橋面中心,橫向兩車工況中的車輛布置在橋面中心兩側,其中,縱向間距和橫向間距分別為5.0 m和1.3 m.給定車輛速度為25 m·s-1,路面等級為B級.工況示意圖如圖5所示.3種工況下的橋梁第一跨和第二跨跨中中梁豎向振動曲線如圖6所示.

圖5 工況示意圖(單位：mm)Fig.5 Condition of vehicle loads(unit：mm)

圖6 不同工況下的橋梁跨中中梁豎向振動曲線Fig.6 Vertical vibration curve of middle beam with different working conditions

圖6 中的橫坐標表示車輛前軸距起點的距離,特別地,對于縱向兩車工況,表示前車前軸距起點的距離.結合表1所列不同工況下的各跨最大動位移可以看出,橫向兩車工況下的跨中位移響應最大值最大,單車工況下的跨中位移響應最大值最??；橫向兩車工況和縱向兩車工況下的跨中位移響應最大值分別約為單車工況下結果的2.0倍和1.6倍.

表1 不同工況下的各跨最大動位移Tab.1 Maximum dynamic displacement of each span under different working conditions

2.3 車輛速度對沖擊系數(shù)的影響

為研究車輛速度對橋梁第一、二兩跨跨中沖擊系數(shù)的影響,仍采用2.2節(jié)中的3種車輛布置形式.給定車速變化范圍為10～40 m·s-1,步長為1 m,每種車速下車輛均勻速行駛；路面等級為B級.3種工況下第一跨和第二跨沖擊系數(shù)隨車速的變化曲線如圖7所示.兩車工況與單車工況下沖擊系數(shù)比值列于表2.

圖7 不同車輛速度下的沖擊系數(shù)Fig.7 Impact coefficients with different speed of vehicle

表2 兩車工況與單車工況下沖擊系數(shù)比值Tab.2 Ratios of impact coefficient under two-vehicle working condition to that under single-vehicle working condition

從圖7和表2結果可以看出：不論何種工況,隨著車速的增大,沖擊系數(shù)均不單調(diào)增大；相較于單車工況下的沖擊系數(shù)曲線,橫向兩車工況下的曲線變化情況與之類似,比值最大不超過1.3,最小不低于0.4；而縱向兩車工況下的曲線則繞其來回波動,比值最大達到43.887 0,最小僅為0.037 1.由于橫向排列的兩輛車,其各自對橋梁同一位置產(chǎn)生的振動是同步的,與之相反,縱向排列的兩輛車,其各自對橋梁同一位置產(chǎn)生的振動是非同步的,且會彼此加強或減弱,因而產(chǎn)生了上述的不同結果.

另外,即使車速和車輛的布載形式相同,不同橋跨的沖擊系數(shù)卻并不相同,由于橋跨是連續(xù)的,某一橋跨的振動會傳遞到相鄰的橋跨,對車輛的振動效應產(chǎn)生一定的影響,故不同橋跨對同一種車輛沖擊效應產(chǎn)生的振動也不相同.

2.4 車輛間距對沖擊系數(shù)的影響

為研究車輛橫向間距對第一、二跨跨中沖擊系數(shù)的影響,令兩車沿橋面中心對稱布置,給定車速25m·s-1,路面等級B級,橫向間距從1.3 m以1 m為步長增至7.3 m.沖擊系數(shù)隨車輛間距的變化曲線如圖8所示.跨中位移響應隨間距的變化曲線如圖9所示.

圖8 不同車輛間距下的沖擊系數(shù)(橫向兩車工況)Fig.8 Impact coefficients with different vehicle spacing(horizontal two-vehicle condition)

圖9 不同車輛間距下的振動響應(橫向兩車工況)Fig.9 Vibration response with different vehicle spacing(horizontal two-vehicle condition)

可以看出：隨著橫向兩車車輛間距的增大,跨中沖擊系數(shù)呈上升趨勢,而與之相反,最大靜位移和最大動位移響應則呈下降態(tài)勢.可以理解,所研究位置離荷載作用處越近,其位移響應越大,即相比距荷載較遠的主梁,荷載距其較近的主梁作用效果更加明顯,所以隨著荷載逐漸遠離主梁,最大靜位移和最大動位移會越來越小.但沖擊系數(shù)的變化卻恰恰相反,即荷載離主梁位置越近,相應的沖擊系數(shù)反而越小.

現(xiàn)將縱向兩車工況中的車輛縱向間距設為單一變量,給定車速25 m·s-1,路面等級為B級,以研究車輛縱向間距對第一、二跨跨中沖擊系數(shù)的影響,結果如圖10、11所示.

圖10 不同車輛間距下的沖擊系數(shù)(縱向兩車工況)Fig.10 Impact coefficients with different vehicle spacing(longitudinal two-vehicle condition)

圖11 不同車輛間距下的振動響應(縱向兩車工況)Fig.11 Vibration response with different vehicle spacing(longitudinal two-vehicle condition)

從以上結果可以看出：當車輛間距小于12 m時,隨著車輛間距的增大,第一跨跨中振動響應逐漸減小,而其沖擊系數(shù)曲線則繞同車速單車工況的沖擊系數(shù)變化曲線振蕩；當車輛間距大于12 m時,最大靜位移和最大動位移趨于定值,沖擊系數(shù)逐漸逼近單車工況下的沖擊系數(shù).對于第二跨,當車輛間距小于20 m時,隨著車輛間距的增大,跨中振動響應呈下降態(tài)勢,當車輛間距在20～36 m時,振動響應略有增大,當車輛間距達到36 m時,振動響應不再變化；相應地,其沖擊系數(shù)曲線先在單車工況的沖擊系數(shù)之上來回波動,之后逐漸趨于定值.

當車輛間距不超過某一定值時,前后兩車對橋梁同一位置的振動響應會因彼此不同步而產(chǎn)生削弱或加強,由于橋面是連續(xù)的,因此即使兩車由于間距增大,所在橋跨不同,一定范圍內(nèi)仍會產(chǎn)生上述的影響,且研究的位置距車輛起點越遠,兩車能夠彼此影響的車距范圍越大,因此沖擊系數(shù)會來回波動；而由于兩車的共同作用,最大靜位移和最大動位移均大于單車時的結果；隨著間距進一步增大,前后兩車的相互影響程度逐漸減小而趨于單車工況,相應地,沖擊系數(shù)及位移響應均逐漸逼近單車工況下的值.

2.5 路面不平整度對沖擊系數(shù)的影響

為研究路面不平整度對沖擊系數(shù)的影響,依舊采用2.2節(jié)3種工況中的車輛布置.給定車速25 m·s-1,路面等級分別為光滑、A級、B級和C級,對比分析3種工況下路面不平整度對第一、二跨跨中沖擊系數(shù)的影響.不同路況下的沖擊系數(shù)曲線如圖12所示.

圖12 不同路況下的沖擊系數(shù)Fig.12 Impact coefficients with different road conditions

從圖12中可以看出：隨著路況變差,3種工況下的沖擊系數(shù)均逐漸增大,且單車和橫向兩車工況的沖擊系數(shù)隨路面等級的變化規(guī)律相似,而縱向兩車工況的沖擊系數(shù)曲線根據(jù)所研究橋跨不同,或整體小于其他兩種工況的結果,或整體大于其他兩種工況的結果.由此可見,路面質量的好壞會對車輛的沖擊效應產(chǎn)生很大影響.

3 結語

在路面不平整激勵的影響下,建立多車車橋耦合振動方程,采用振型分解法并結合Newmak-β算法求解連續(xù)梁橋的振動響應,對比分析在單車、橫向兩車和縱向兩車3種工況下各種因素對橋梁振動響應的影響,可得出以下結論.

1)兩車工況下的橋梁各跨跨中最大動位移比單車工況下的最大動位移大.與單車工況類似,兩車工況下的沖擊系數(shù)并不隨車輛速度的增大而單調(diào)增大,橫向兩車工況下的沖擊系數(shù)與單車工況下的沖擊系數(shù)接近,且為單車工況結果的0.4～1.3倍.縱向兩車工況下的沖擊系數(shù)圍繞單車工況下的沖擊系數(shù)上下波動,且為單車工況結果的0.037～43.887倍.

2)橫向兩車工況下的沖擊系數(shù)隨車輛間距的增大呈上升趨勢,縱向兩車工況下的沖擊系數(shù)隨車輛間距的增大而上下波動并逐漸趨于定值.橋梁位移響應隨車輛間距的增大而減小.

3)隨著路況變差,單車和兩車工況下沖擊系數(shù)的取值均逐漸增大,且單車和橫向兩車工況下的沖擊系數(shù)變化規(guī)律相似.

4)車輛對橋梁的沖擊效應不僅與車輛速度有關,還與所研究的橋跨、車輛間距、路面不平整度等因素有關.