陳紹榮，朱行濤，徐 舜，沈建國(guó)

（陸軍工程大學(xué)通信士官學(xué)校，重慶 400035）

0 引言

在實(shí)時(shí)信號(hào)處理中，通常用FFT的算法來(lái)完成線(xiàn)性卷和運(yùn)算，因此需要對(duì)長(zhǎng)序列進(jìn)行分段，其分段方法有無(wú)重疊等長(zhǎng)度分段和重疊等長(zhǎng)度分段，對(duì)應(yīng)的兩種計(jì)算線(xiàn)性卷和的方法，分別是重疊相加法和重疊保留法。著作[1-3]用圖解的方式導(dǎo)出了重疊相加法和重疊保留法，既不嚴(yán)謹(jǐn)又不便于理解。本文基于著作[4]，利用矩形窗函數(shù)對(duì)序列的分段進(jìn)行了描述，給出了一種導(dǎo)出重疊相加法和重疊保留法的簡(jiǎn)易方法，揭示了兩種方法的聯(lián)系和區(qū)別。解決了兩種方法在實(shí)時(shí)信號(hào)處理中的信號(hào)拼接問(wèn)題，給出了重疊保留法在快速計(jì)算自相關(guān)函數(shù)方面的應(yīng)用。

1 圓周卷和代替線(xiàn)性卷和的條件

設(shè)矩形窗函數(shù)為：

式中，ε(n)為單位階躍序列。

利用矩形窗函數(shù)，起點(diǎn)為n1（n1為整數(shù)），長(zhǎng)度為N1的有限長(zhǎng)序列x1(n)可表示為：

同理，起點(diǎn)為n2（n2為整數(shù)），長(zhǎng)度為N2的有限長(zhǎng)序列x2(n)可表示為：

有限長(zhǎng)序列x1(n)和x2(n)的線(xiàn)性卷和yl(n)表示為：

考慮到式（2）、式（3）及式（4），則有：

考慮到式（5）及式（6），則有：

由式（7）可知，線(xiàn)性卷和yl(n)的序列長(zhǎng)度為：

結(jié)論1：

兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線(xiàn)性卷和yl(n)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列，該有限長(zhǎng)序列始于兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的始點(diǎn)之和，止于兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的終點(diǎn)之和，其序列長(zhǎng)度為兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的長(zhǎng)度相加再減1。

利用矩形窗函數(shù)，考慮到式（7）及式（8），則線(xiàn)性卷和yl(n)可以表示為：

設(shè)周期為N的周期沖激序列為：

在式（2）及式（3）描述的有限長(zhǎng)序列x1(n)及x2(n)之后，分別補(bǔ)上N-N1及N-N2個(gè)零值點(diǎn)，再延拓成周期為N的周期序列，即：

由兩個(gè)周期序列的周期卷和的定義，并考慮到周期序列在一周期內(nèi)的求和與起始位無(wú)關(guān)及式（11），則兩個(gè)周期序列的周期卷和可以表示為：

結(jié)論2：

兩個(gè)周期序列作周期卷和等價(jià)于一個(gè)周期序列任一周期內(nèi)的序列和另一個(gè)周期序作線(xiàn)性卷和，也等價(jià)于對(duì)兩個(gè)周期序列任一周期內(nèi)的序列的線(xiàn)性卷和作同周期的周期延拓。

將兩個(gè)有限長(zhǎng)序列x1(n)及x2(n)之后，先分別補(bǔ)上N-N1及N-N2個(gè)零值點(diǎn)，得到了兩個(gè)長(zhǎng)度為N的序列，再分別作周期為N的周期延拓，得到了周期為N的周期序列的周期卷和取主值，即取區(qū)間[0,N-1]對(duì)應(yīng)的值，定義為N點(diǎn)序列x1(n)及x2(n)的N點(diǎn)圓周卷和y(n)。

考慮到兩個(gè)N點(diǎn)序列的N點(diǎn)圓周卷和的定義及式（13），則N點(diǎn)序列x1(n)及x2(n)的N點(diǎn)圓周卷和y(n)可以表示為：

結(jié)論3：

兩個(gè)N點(diǎn)序列作N點(diǎn)圓周卷和，等價(jià)于兩個(gè)N點(diǎn)序列的線(xiàn)性卷和作N點(diǎn)的周期延拓，再取其主值序列。

考慮到式（15）及式（9），若滿(mǎn)足條件：

則有：

特別地

若滿(mǎn)足條件：

則有：

若滿(mǎn)足條件：

則有：

結(jié)論4：

若序列x1(n)=x1(n)RN1(n)，x2(n)=x2(n)RN2(n)，當(dāng)N=N1+N2-1 時(shí)，則滿(mǎn)足式（21）的條件，那么可用序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)圓周卷和y(n)來(lái)代替序列x1(n)和x2(n)的線(xiàn)性卷和yl(n)。

若序列x1(n)=x1(n)RN1(n)，x2(n)=x2(n)RN2(n)，當(dāng) 式（21）的條件得不到滿(mǎn)足時(shí)，由式（14）可知，將序列x1(n)和x2(n)的線(xiàn)性卷和yl(n)作周期延拓，即yl(n)*δN(n)=yl(n)RN1+N2-1(n)*δN(n)，那么，每周內(nèi)將出現(xiàn)重疊。雖然增加點(diǎn)數(shù)N可避免序列x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)圓周卷和y(n)出現(xiàn)重疊，但是使用FFT來(lái)計(jì)算N點(diǎn)圓周卷和y(n)時(shí)，將會(huì)增加運(yùn)算量。

由于序列x(n)通過(guò)單位沖激響應(yīng)為h(n)的LSI離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(n)可以表示成yzs(n)=x(n)*h(n)，有時(shí)序列x(n)可能會(huì)很長(zhǎng)，如果將序列x(n)存儲(chǔ)完畢后，再做線(xiàn)性卷和將產(chǎn)生兩個(gè)問(wèn)題：一是要求計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)量過(guò)大，二是要等待序列x(n)的輸入時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，即使h(n)是有限長(zhǎng)的，也不能實(shí)現(xiàn)信號(hào)的“實(shí)時(shí)處理”。為了解決這一問(wèn)題，如果h(n)的長(zhǎng)度為N2，選取長(zhǎng)度N1，保證M為最小的正整數(shù)時(shí)，滿(mǎn)足條件N=N1+N2-1=2M，將長(zhǎng)度為L(zhǎng)的輸入序列x(n)按等長(zhǎng)度N1進(jìn)行分段，則第i段的序列可以表示為xi(n)=x(n)RN1(n-iN1)，i=0,1,2,…,，其中表示大于或等于L/N1的正整數(shù)。將序列xi(n)及h(n)做線(xiàn)性卷和運(yùn)算得到序列yi(n)，然后將各段序列yi(n)按一定的規(guī)則相加，即可得到完整的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(n)，這樣做有可能實(shí)現(xiàn)信號(hào)的實(shí)時(shí)處理。

將長(zhǎng)序列分成短序列做線(xiàn)性卷和有兩種方法，一是重疊相加法，二是重疊保留法。

2 重疊相加法

設(shè)序列x(n)=x(n)RL(n)，h(n)=h(n)RN2(n)，L和N2為正整數(shù)，并且L＞＞N2。

選取長(zhǎng)度N1，保證M為最小正整數(shù)時(shí)，滿(mǎn)足條件N=N1+N2-1=2M，將序列x(n)按等長(zhǎng)度N1分段，則有：

式中：

考慮到式（23）及式（24），則有：

由 于N=N1+N2-1=2M，h(n)=h(n)RN2(n)，xi(n+iN1)=x(n+iN1)RN1(n)，由結(jié)論4 可知，可用序列x(n+iN1)RN1(n)和h(n)RN2(n)的N點(diǎn)圓周卷和來(lái)代替線(xiàn)性卷和。那么，式（25）中的yi(n)可表示為：

考慮到式（26），則可以利用FFT來(lái)計(jì)算LSI離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(n)，其實(shí)現(xiàn)步驟為：

（1）計(jì)算N 點(diǎn)FFT

（2）計(jì)算N 點(diǎn)FFT

（3）相乘

（4）計(jì)算N 點(diǎn)IFFT

（5）將各段yi(n)按式（25）相加，即按式（25）完成LSI 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)信號(hào)的拼接。

討論：

由結(jié)論1 可知，第i段xi(n)和h(n)RN2(n)的線(xiàn)性卷和yi(n-iN1)=xi(n)*h(n)RN2(n)和h(n)RN2(n)中的變量n的取值范圍為：

由結(jié)論1 可知，第i-1 段xi-1(n)和h(n)RN2(n)的線(xiàn)性卷和y(i-1)[n-(i-1)N1]=xi-1(n)*h(n)RN2(n)中的變量n的取值范圍為：

由式（31）及式（32）可知，第i-1 段的線(xiàn)性卷和y(i-1)[n-(i-1)N1]的末端與第i段的線(xiàn)性卷和yi(n-iN1)的前端將出現(xiàn)重疊，其重疊的長(zhǎng)度為：

結(jié)論5：

由式（33）可知，按式（25）的重疊相加法來(lái)計(jì)算LSI 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，相鄰段的線(xiàn)性卷和將出現(xiàn)N2-1 點(diǎn)的重疊相加運(yùn)算，故得名重疊相加法。

考慮到h(n)=h(n)RN2(n)，則有：

于是：

式中，i=1,2,…,。

由式（35）可知，yzs(iN1)由xi(n)的首位數(shù)據(jù)xi(iN1)=x(iN1)及首位之前的N2-1 個(gè)點(diǎn)的輸入數(shù)據(jù)x(m)(m=iN1-N2+1,iN1-N2+2,…,iN1-1)

共同確定。

結(jié)論6：

用對(duì)輸入x(n)等長(zhǎng)度N1分段的線(xiàn)性卷和來(lái)計(jì)算LSI 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，出現(xiàn)重疊相加運(yùn)算的本質(zhì)是第i段首位之前的N2-1 點(diǎn)的輸入數(shù)據(jù)x(m)，對(duì)第i段前N2-1 點(diǎn)的線(xiàn)性卷和有影響。

3 重疊保留法

由于用對(duì)x(n)等長(zhǎng)度N1分段的線(xiàn)性卷和來(lái)計(jì)算LSI 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，出現(xiàn)了重疊相加運(yùn)算，為了避免重疊相加運(yùn)算，可以將第i段首位之前的N2-1 點(diǎn)輸入數(shù)據(jù)x(n)保留下來(lái)與第i段的序列xi(n) 依次銜接起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)度為N=N1+N2-1 的 新 序 列pi(n)(i=1,2,…,，考慮到x(n)=x(n)RL(n)，只須在x0(n)=x(n)RN1(n)段的前端補(bǔ)上N2-1 個(gè)零值點(diǎn)，便可構(gòu)成新序列p0(n)，這樣各段pi(n)均為N1+N2-1 點(diǎn)的序列。即：

式中，i=1,2,…,。

考慮到式（36）及式（37），則長(zhǎng)度為N1+N2-1 的序列pi(n)和LSI 離散時(shí)間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(n)的線(xiàn)性卷和yli(n)(i=0,1,2,…,，可以表示為：

下面確定n在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，才能使yli(n)=yzs(n)。

對(duì)比式（38）和式（34）可知，為使線(xiàn)性卷和yli(n)=yzs(n)，則要求：

式中，m為整數(shù)。

顯然，若滿(mǎn)足條件：

則式（39）恒成立。

即，若滿(mǎn)足條件：

則式（39）恒成立。

由式（38）和式（34）可知，mmin=n-(N2-1)，mmax=n。

于是式（41）可以表示為：

解得：

由式（43）可知，其區(qū)間長(zhǎng)度為：

考慮到式（43）及式（44），則有：

考慮到式（45），則有：

分析表明，將各段pi(n)和LSI 離散時(shí)間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(n)的線(xiàn)性卷和yli(n)，按式（46）逐段銜接（或拼接）起來(lái)，就得到了LSI 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(n)。

下面的任務(wù)是考察是否可用圓周卷和來(lái)替代線(xiàn)性卷和yli(n)。

考慮到h(n)=h(n)RN2(n)，式（36）及式（37），并注意到N=N1+N2-1=2M，由結(jié)論1 可知，pi(n)和LSI 離散時(shí)間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)h(n)的線(xiàn)性卷和yli(n)(i=0,1,2,…,，可以表示為：

于是：

即：

考慮到式（49），由結(jié)論3 可知，pi(n+iN1)和h(n)的N點(diǎn)圓周卷和yi(n+iN1)可以表示為：

由式（50）可得：

考慮到式（51），則式（46）可以寫(xiě)成：

考慮到式（50），則可以利用FFT來(lái)計(jì)算LSI離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(n)，其實(shí)現(xiàn)步驟為：

（1）計(jì)算N 點(diǎn)FFT

（2）基于式（36）及式（37），計(jì)算N 點(diǎn)FFT

（3）相乘

（4）計(jì)算N 點(diǎn)IFFT

（5）將各段yi(n+iN1)按式（52）逐段銜接（或拼接）起來(lái)，就得到了LSI 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(n)。

由式（36）及式（37）可知，將第i段首位之前的N2-1 點(diǎn)輸入數(shù)據(jù)x(n)保留下來(lái)，與第i段xi(n)依次銜接起來(lái)構(gòu)成了pi(n)，從而使pi-1(n)的末端與pi(n)的前端N2-1 點(diǎn)的數(shù)據(jù)相同，即pi-1(n)與pi(n)之間有N2-1 點(diǎn)的數(shù)據(jù)重疊，故得名重疊保留法。由式（50）可知，pi(n+iN1)和h(n)的N點(diǎn)圓周卷和yi(n+iN1)末端出現(xiàn)了N2-1 點(diǎn)的重疊數(shù)據(jù)，由式（51）可知，將pi(n+iN1)和h(n)的N點(diǎn)圓周卷和yi(n+iN1)末端N2-1 點(diǎn)的重疊數(shù)據(jù)舍去，才保證了pi(n+iN1)和h(n)的圓周卷和等于線(xiàn)性卷和，故又得名重疊舍去法。

4 重疊保留法在快速計(jì)算自相關(guān)方面的應(yīng)用

設(shè)序列x(n)=x(n)RL(n)，先將x(n)按長(zhǎng)度N2分段，則第j段可以表示為：

式中，j=0,1,2,…,。

于是：

現(xiàn)在，構(gòu)成各段pi(n)均為N=N1+N2-1=2M點(diǎn)的序列，即：

式中，i=1,2,…,。

令：

考慮到式（57），則式（61）可以表示為：

式（62）表明，hj(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為N2點(diǎn)的序列，并且滿(mǎn)足hj(n)=hj(n)RN2(n)。

考慮到序列自相關(guān)函數(shù)的定義及式（58），則序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)Rx(n)可以表示為：

令：

則有：

考慮到式（61），則式（65）可以寫(xiě)成：

式中，i=0,1,2,…,-1。

由于式（66）與式（47）同形，考慮到式（52），則有：

式 中，Rpixj[n+iN1-jN2-(N2-1)]為pi(n+iN1) 和hj(n)的N點(diǎn)圓周卷和。

考慮到式（66），由結(jié)論3 可知：

考慮到式（67），則有：

將式（69）代入式（63），可得序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)Rx(n)，即：

考慮到式（68），則可以利用FFT 來(lái)計(jì)算序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)Rx(n)，其實(shí)現(xiàn)步驟為：

（1）基于式（59）及式（60），計(jì)算N 點(diǎn)FFT

（2）基于式（61），計(jì)算N 點(diǎn)FFT

（3）相乘

（4）計(jì)算N 點(diǎn)IFFT

（5）將各段Rpixj[n+iN1-jN2-(N2-1)]，按式（70）相加，即完成自相關(guān)函數(shù)的拼接，就得到了自相關(guān)函數(shù)Rx(n)。

5 結(jié)語(yǔ)

本文利用矩形窗函數(shù)對(duì)輸入序列的等長(zhǎng)度N1分段進(jìn)行了描述，分析了用對(duì)輸入x(n)等長(zhǎng)度N1分段的線(xiàn)性卷和來(lái)計(jì)算LSI 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)，出現(xiàn)重疊相加運(yùn)算的原因。不僅給出了一種導(dǎo)出重疊相加法和重疊保留法的簡(jiǎn)易方法，而且揭示了重疊相加法和重疊保留法的聯(lián)系和區(qū)別。解決了兩種方法在實(shí)時(shí)信號(hào)處理中的信號(hào)拼接問(wèn)題，最后給出了重疊保留法在快速計(jì)算自相關(guān)函數(shù)方面的應(yīng)用。