王 凱，朱國甫，翟鵬程

（1、廣東省建筑科學研究院集團股份有限公司 廣州510500；2、武漢理工大學 武漢430070）

0 引言

樁基礎根據材料、施工設備、施工工藝不同分為較多種類型，不同類型的樁基礎受力性狀各不相同，承載能力也會有較大的差異?，F有的樁基礎以豎向承載力為主，部分項目需要考慮水平荷載作用，目前尚無明確水平承載力的設計與分析方法，設計人員一般要進行大量繁雜的計算，才能給出一個較好的樁基礎設計方案［1-6］。

1 考慮斜樁的群樁基礎設計與計算

1.1 本設計計算方法的基本假設

本文在做考慮斜樁的群樁基礎設計與分析時，做如下簡化假設:

⑴承臺為剛性，樁與承臺的連接為剛接；

⑵樁身截面不變；

⑶承臺受力產生的轉角θ 很小，可近似假設為:cosθ ≌1，sinθ ≌0；

⑷地基為服從虎克定律的彈性體，地基和樁之間的地基反力與樁上該點的位移成正比；

⑸樁的軸向與側向上的受力、位移相互不影響，各自獨立考慮；

⑹地基土層為各向同性。在同一深度處，樁側的橫向地基反力系數是相同的。

1.2 群樁基礎設計的步驟

樁基礎由基樁與承臺組成，將樁基礎考慮為一個結構整體，在受到外力作用時就會產生變形，各基樁的荷載根據樁基礎各組成部分的剛度與基樁的位置來分配，最后各基樁再根據分配得到的荷載進行受理與變形計算。樁基礎的設計與分析按圖1所示的步驟進行［7］。

1.3 樁結構物的微分方程及樁頭剛度計算

1.3.1 樁頭剛度K1～K4的計算

如圖2 所示:假設一根豎直的樁，樁頭在原地面，取地面樁軸中心處為坐標軸的原點O，取樁的中心軸為x軸，深度方向為坐標軸的正方向，與樁中心軸相垂直的方向與y 軸，取水平力的作用方向為坐標軸的正方向。

圖1 樁基礎設計一般步驟Fig.1 The Design Procedure of Pile Foundation

其中:

式中:k0、m、c為土層參數。

圖2 樁的坐標系及單元體力的平衡Fig.2 Coordinate System of Pile and Force Balance of Unit Body

當樁頭受到外部荷載作用，樁頭產生的位移為x0，轉角為θ0，根據樁頭的剛度的定義則有:

對式⑴采用有限差分法，根據樁身的連續(xù)性方程及樁頭、樁尖的邊界條件（樁尖邊界條件分為固定、自由、鉸接）聯合求解可得樁身上任意一點的位移及轉角，可求得樁頭的剛度K1～K4。

1.3.2 樁頭軸向剛度Kv的計算

假設一根豎直的樁，樁頭在原地面，取地面樁軸中心處為坐標軸的原點O，沿深度方向為正方向，如圖3 所示。樁頂軸中心受到軸向力N0的作用后，在樁尖和樁周表面就產生反力。記樁周表面任意點的軸向反力為，是深度x和這一點樁的軸向位移v的函數，即：。

取樁的微元體dx，由樁軸向力的平衡可得:

圖3 樁的軸向位移與單元體受力平衡Fig.3 Axial Displacement of Pile and Force Balance of Unit Body

根據樁頭及樁尖的邊界條件以及樁在各層土之間的連續(xù)條件，可求得樁身上任意一點的豎向位移及樁頭軸向剛度Kv:

式中:h為樁地面以上高度；ξ 為軸向荷載系數；l0為樁在地面以下的深度；E 為樁的彈性模量；A 為樁身截面積；kb為樁尖豎向地基反力系數；A0為樁尖受力面積。

1.3.3 樁頭抗扭剛度KD的計算

當樁頭受繞樁軸的扭矩作用時，樁頭會產生繞樁軸的扭轉角。如果樁身沒有分布扭矩的作用，樁尖固定，則由材料力學可知樁的抗扭剛度系數為:

式中:G 為樁的剪切模量；J 為扭轉慣性矩；lp為樁的抗扭長度。

1.4 群樁基礎的荷載分配

將樁基礎假設為空間結構物，取空間任意一點為原點，豎直向下為y軸，在水平面內以右手坐標系構成x軸和z軸，組成空間結構坐標系如圖4a所示。

在樁基礎中，將每個基樁視為一根桿件，每個桿端結點有6 個自由度，即沿3 個軸的位移u、v、w 和繞3個軸的轉角θx、θy、θz，取三維樁結構物中任意樁i 的樁頭節(jié)點（xi，yi，zi），其樁頭受力Pi在坐標軸方向的分量為Hxi、Vyi、Hzi，樁頭彎矩為Mxi、Myi、Mzi。使力（Hxi，Vyi，Hzi）的正方向與結構坐標系的坐標軸正向一致，力矩（Mxi、Myi、Mzi）用下標表示各自的坐標軸，按右手法則，取螺旋前進的回轉方向為正。記樁i的樁頭節(jié)點位移ui在坐標軸方向上的分量為ui、vi、wi，節(jié)點的轉角為θxi、θyi、θzi，取與外力的正向一致為正。以（xi，yi，zi）為原點，樁軸方向為yi'軸，在水平面內取zi'軸，同yi'，zi'所構成的平面相垂直的方向為xi'軸，建立樁桿件的局部坐標系xi'，yi'，zi'。樁頭的力及位移，在局部坐標系中的分量分別為Pi'=（Hxi'，Vyi'，Hzi'，Mxi'，Myi'，Mzi'）T及ui'=（ui'，vi'，wi'，θxi'，θyi'，θzi'）T，正向與結構坐標系定義相同。如圖4b、圖4c所示。

記第i根樁的樁軸所在的豎直平面內樁的傾斜角為φi，豎直面與結構坐標系的x 軸的夾角為ψi，如圖4d所示。

圖4 樁結構物的坐標系Fig.4 Coordinate System of Pile Foundation

對于三維樁結構物，取承臺的重心上為結構坐標系的原點。記作用在原點的外力為P0=（X0，Y0，Z0，Mx0，My0，Mz0）T，原點O的位移為u0=（u0，v0，w0，α0，β0，γ0）T，正向與結構坐標系的正向一致。根據空間的幾何關系與樁頭剛度的意義，可得以下矩陣變換:

式中:K1i、K2i、K3i、K4i、KVi、KDi為第i根樁的樁頭剛度系數。式⑺可化簡可為:

其中:

由式⑼可以求解得到u0。再按照ui?ui'?Pi'的順序可以求得承臺下每根樁分配得到的荷載Pi'。最后按單樁分析的方法計算每根樁的內力與位移。

2 群樁基礎設計與分析程序

關于群樁基礎的設計與分析理論，前文已介紹了設計與分析的方法。如果在樁基礎的設計與計算的過程中采用人工計算的方法，將會占用大量的人力時間，故需將這些設計與分析轉換成計算機語言，開發(fā)出用戶界面友好的應用程序，達到程序化求解的目的。首先，要明確計算流程，將工程分析設計的實際問題抽象為計算模型，編寫計算框圖。其次，根據計算機求解的具體問題，選取合適的計算機語言與開發(fā)平臺，設計一個合理的界面，建立樁土模型，并進行計算。最后將計算的結果整理后以圖表的方式輸出。下面簡要介紹程序的實現與功能。

2.1 程序的開發(fā)及功能特色

群樁基礎設計與分析程序采用面向對象的方法，以Visual C++6.0 為平臺，具有數據與圖形結合的人機對話界面，加載了BC++與VC++數值分析計算類庫［8］進行輔助計算，完成了群樁基礎的設計與分析的復雜計算。本程序界面為Windows 標準界面。主窗口采用tab控件，便于6個子對話框切換［9］。

2.2 程序結構及使用簡介

群樁基礎設計與分析程序主要由前處理部分、核心計算部分、后處理部分組成。在主頁、樁基礎的布置、土層條件、荷載條件、邊界與樁身材料條件5 個子對話框中建立三維樁土模型。

在計算與分析對話框中，進行承臺的空間位移、樁基剛度、承載力、荷載分配及受力與變形計算，如圖5所示。

程序的后處理主要將計算的數據結果存儲并以圖表格式輸出。本程序計算了每根基樁沿樁軸方向的水平位移、彎矩、剪力及橫向地基反力，并將計算結果以text 文本輸出，如圖6 所示。計算結果也以圖形輸出，繪制每根基樁的水平位移、彎矩、剪力、橫向地基反力的受力曲線，如圖7 所示。直觀地判斷每根樁的水平位移、彎矩、剪力、橫向地基反力的最大值及其深度。

圖5 樁基礎的計算與分析Fig.5 Calculation and Analysis of Pile Foundation

圖6 樁基礎受力與變形計算結果Fig.6 Bearing and Deformation of Piles Foundation

圖7 樁基礎受力與變形曲線Fig.7 The Curves of Piles Foundation

3 算例及工程應用

Poulos 等人［10-15］做了一些樁基礎的試驗與計算。在如圖8 所示的算例中，樁基礎為6 樁承臺的群樁，樁端位于兩層土中。土層性質如表1 所示。樁采用C30 的混凝土預制樁，直徑為0.6 m，其彈性模量為3 107 kPa。承臺受豎直荷載為4 000 kN，水平荷載為550 kN。

采用本文方法計算時，各層土地基反力系數的參數取值如表2所示。

用張法、m 法和c 法分別分析了前排樁傾角取值為0°、7.5°、15°時的樁土模型。計算結果與文獻計算的結果對比如圖9所示。

圖8 樁基礎設計Fig.8 The Design of Pile Foundation

表1 土層性質Tab.1 The Soil Layer Property of Pile Foundation

表2 各層土地基反力系數的推薦值Tab.2 Parameters for Modulus of Subgrade Reaction

圖9 帶斜樁的群樁算例Fig.9 An Example of Group Piles with Inclined Piles

通過對比計算結果對比分析可知:

⑴基于線性彈性模型的梁柱原理假設計算結果與經典算例的結果有較好的一致性；

⑵不同線彈性理論的地基系數假設（張法、m 法及c法）對樁頭位移、彎矩影響較小；

⑶通過不同角度的斜樁布置對比分析可知，在不考慮豎向力影響的時候，斜樁可以提高水平承載力，減小水平位移。

4 結語

本文將樁與承臺看作為一個整體結構物，特別是考慮到樁基礎中存在斜樁的情況，通過線彈性的假設原理，依靠樁基礎中各基樁的剛度計算得到各基樁的荷載分配與位移，并采用有限差分法計算每根樁在不同深度的受力與位移。最后通過不同傾角、不同橫向地基反力系數的計算結果與經典算例對比分析可知，本文的設計與分析方法有較好的準確性。

為了將設計人員從較繁重的設計與計算中解脫出來，提高設計效率，減少計算錯誤，開發(fā)了對應的設計與分析程序，通過直觀的建立三維樁土模型，計算各樁的受力與位移情況，并能直觀方便修改樁土模型，通過變剛度原理調整各基樁的受力與變形，從而優(yōu)化設計方案，具有很好的工程實用性。