查曉民，朱 東

（1.銅陵學院 數(shù)學與計算機學院，銅陵244000；2.安徽大學 電子信息工程學院，合肥230039）

引 言

近些年來，高斯波束在各向異性材料中傳播特性一直受到持續(xù)性的關注，該研究不僅具有重要的理論價值，而且一些成果已廣泛應用于雷達散射截面、光信號處理、微波器件、天線罩、光纖的優(yōu)化設計和微帶天線等領域。1972年，ALEXOPOULOS等人［1］研究了無限長非均勻介質圓柱對高斯波束片的散射。LOCK［2］研究了無限長均勻圓柱體對入射聚焦高斯光束的散射問題。GUO等人［3］提出一種有效而精確的遞推算法來計算高斯波束垂直入射無限長多層圓柱的散射問題，并重點分析了圓柱的彩虹效應。隨著廣義洛倫茲-米理論的發(fā)展，HUANG和ZHANG等人［4-6］通過將圓柱散射場、內場和入射的高斯光束用適當?shù)膱A柱矢量波函數(shù)展開，應用電磁場邊界條件，解析地解決了高斯光束在單軸各向異性圓柱體上的散射特性。CHEN和ZHANG等人［7］提出一種精確的半解析方法來計算回旋各向異性圓柱體對在軸高斯光束的散射問題。高斯波束的研究及其性質已經非常成熟［8-14］，只有少量文獻中研究了其它高斯波束的性質［15-18］。

厄米-高斯波束是由高斯波束演化而來，具有重要的理論價值。作者在前人基礎上，重點研究了厄米-高斯波束，首先討論了電磁媒質的本構關系和分類，其次討論了厄米-高斯波束在單軸各向異性圓柱中的散射特性，最后給出了數(shù)值結果和結論。

1 電磁媒質的本構關系和分類

任意電磁媒質的本構關系可表達為：

式中，D是電位移，E是電場強度，B是磁感應強度，H是磁場強度和為手征參量張量，和分別為媒質的介電常數(shù)張量和磁導率張量。當媒質的磁導率為標量，介電常數(shù)為張量時，稱媒質為電各向異性媒質，反之為磁各向異性媒質。在直角坐標系Oxyz中，電各向異性媒質中的介電常數(shù)可表示為ε=ε1+ε2+ε3，而D與E的關系可表示為：

式中，下標 x，y，z表示電場的 3個方向分量；^x，^y，^z為電場的3個方向的單位矢量。若ε1，ε2，ε3全部相等，稱為各向同性媒質；若其中有兩個相等，稱為單軸各向異性媒質；若3個對角元素均不相等，則稱為雙軸各向異性媒質。本文中主要研究單軸各向異性媒質ε1=ε2的情形。

2 厄米-高斯波束在單軸各向異性圓柱中的散射特性

2.1 散射場和圓柱內場用圓柱矢量波函數(shù)展開

如圖1所示［4］，在直角坐標系Oxyz中有一個半徑為r0的無限長單軸各向異性圓柱體，高斯波束在自由空間且沿直角坐標系 Ox′y′z′的 z′軸正方向傳播，高斯波束的束腰半徑為w0，束腰中心與圓心O′重合。波束的傳播方向與 z軸正方向夾角為 β，在 O′x′y′z′中點O坐標為（x0，y0，z0）。隨時間變化的部分規(guī)定為exp（-iωt）。

Fig.1 The incidence of a Gaussian beam on an uniaxial anisotropic cylinder

正如參考文獻［4］中所描述的，散射場用圓柱矢量波函數(shù)展開的表達式為：

同樣參考文獻［4］中的單軸各向異性圓柱內部電磁場表示為：

（3）式 ～（6）式中，Es，Hs表示散射場中電場和磁場，Ew，Hw表示圓柱內部的電場和磁場，λ=k0sinζ，h=k0cosζ，k0為自由空間中的波數(shù)，ζ為圓柱矢量波與坐標軸z方向的夾角；E0為電場振幅，η0為波阻抗；m mλq（j），nmλq（j），lmλq（j）是圓柱矢量波函數(shù)，j=1，2，3分別對應三類貝塞爾函數(shù)；而 αm（ζ），βm（ζ），F(xiàn)m1（ζ）和 Fm2（ζ）是待求的未知系數(shù)?？梢粤頰12=ω2ε1μ0，a22=ω2ε3μ0，ε0和μ0是自由空間中的介電常數(shù)和磁導率，則式中其它參量為：k1=a1，k2=［a12a22+（a12-a22）k02cos2ζ］1/2/a1，β1，e（ζ）=γ1，e（ζ）=α2，e（ζ）=0，β2，e（ζ）=-i×，γ （ζ）=2，e

2.2 未知系數(shù)的求解

電磁場的切向分量在r=r0的邊界連續(xù)，則邊界條件可以表示為：

式中，Ei和Hi表示入射電磁波束的電場和磁場。將（3）式～（6）式代入到（7）式中，邊界條件可以寫為：

遵循投影法的一般理論步驟，分別在（8）式和（9）式兩邊點乘z^e-ih1ze-im′φ和 φ^e-ih1ze-im′φ，然后在圓柱面進行積分，可以得到未知的展開系數(shù)與Ei和Hi的關系式：

式中，ξ=λr0，ξ1=λ1r0和 ξ2=λ2r0。

2.3 厄米-高斯波束

DAVIS和BARTON給出了一種計算方法［19-20］，高斯波束TEM00（y′）或 TE模在坐標系 O′x′y′z′中電磁分量中各階近似描述可表示為：

式中，s=1/（kw0），ψ0（ξ，η，ζ）=i Q exp（-iρ2Q），Q=1/（i-2ζ），ρ2=ξ2+η2。

根據(jù)電磁場理論中的對偶關系，即在（14）式～（19）式中做如下替換：E→ -H，H→E，ε0→μ0，μ0→ε0，得到的電磁場分量仍然近似滿足麥克斯韋方程組，是高斯波束的TEM00（x′）或 TM模。

正如參考文獻［19］中提到的，厄米-高斯波束的各種模式可以通過求解TEM00（y′）或 TEM00（x′）的偏導數(shù)得到，即：

式中，ξ和 η為無量綱的參量：ξ=x′/w0，η=y′/w0，w0為高斯波束束腰半徑。

為了得到厄米-高斯波束的具體表達式，以TEM01（y′）為例，即在（20）式中令 m=0，n=1可得：

將（14）式 ～（19）式代入（22）式，即可求得TEM01（y′）模：

（23）式～（28）式即為厄米-高斯波束的具體表達式。類似可得出厄米-高斯波束的TEM10（x′）模。

圖2代表的是厄米-高斯波束TEM01（y′）的強度分布圖，圖3代表的是厄米-高斯波束TEM10（x′）的強度分布圖。圖中橫縱坐標ξ，η均是無量綱的參量。

Fig.2 The intensity distribution of the TEM10（y′） mode Hermite-Gaussian beam

Fig.3 The intensity distribution of the TEM1（0x′） mode Hermite-Gaussian beam

2.4 數(shù)值計算結果

入射的波束，其Ei和 Hi可由（23）式 ～（28）式得到，代入到（10）式～（13）式，可以得到未知展開系數(shù)αm（ζ），βm（ζ），F(xiàn)m1（ζ）和 Fm2（ζ）構成的線性方程組，從而求出這些未知系數(shù)。求出這些系數(shù)后再代入到（3）式～（6）式，進而可以求出散射場和內場。

定義歸一化內場和近場的強度分布如下：

式中，Ew，r，Ew，φ，Ew，z分別為圓柱內部場中電場的 3個分量；Ei，r，Ei，φ，Ei，z分別為入射場中電場的 3個分量；Es，r，Es，φ，Es，z分別為散射場中電場的 3個分量。

對于高斯波束入射的情形，使用的參量與模型是：單軸各向異性圓柱a1=k0，a2=k0，高斯波束的束腰半徑w0為2倍入射高斯波束的波長，圓柱的半徑為5倍入射高斯波束的波長，入射角β=π/4，z0=0。圖4表示高斯波束TE模通過單軸各向異性圓柱的歸一化內場和近場。其中對于x（wavelength）軸上的范圍，5～15表示入射場，-5～5表示圓柱的內場，-15～-5表示透射場，圖中色柱表示的物理量是無量綱的。

Fig.4 The normalized internal-field and near-field of a TE mode Gaussian beam through an uniaxial anisotropic cylinder

通過與已有方法及結果［4］比較可以發(fā)現(xiàn)，兩者實現(xiàn)了很好的吻合，這在很大程度上驗證了作者方法的正確性。

使用相同的參量和模型，可得厄米-高斯波束入射的情形，圖5和圖6分別表示厄米高斯波束TEM（x′）10模和TEM01（y′）通過單軸各向異性圓柱的歸一化內場和近場。

Fig.5 The normalized internal-field and near-field of a TEM10（x′） mode Hermite-Gaussian beam through an uniaxial anisotropic cylinder

Fig.6 The normalized internal-field and near-field of a TEM10（y′） mode Hermite-Gaussian beam through an uniaxial anisotropic cylinder

從圖5可以看出，TEM10（x′）模式厄米-高斯波束入射單軸各向異性圓柱時的反射場強度很弱。圓柱類似于凸透鏡，有一個會聚作用，所以波束在通過圓柱后的近場強度明顯增強，由入射波和反射波疊加而成的駐波現(xiàn)象也同樣在圖中表現(xiàn)的非常明顯。在圖6中，波束透過圓柱后內部場強度逐漸增強，同樣也有駐波現(xiàn)象。比較兩圖形，發(fā)現(xiàn)在相同的情況下TEM10（x′）模式厄米-高斯波束通過單軸各向異性圓柱時的近場強度比TEM01（y′）模式的強，而反射場強度弱。另一個值得注意的現(xiàn)象是，TEM10（x′）模式的厄米-高斯波束在通過單軸各向異性圓柱時有一個明顯的折射現(xiàn)象，而在TEM01（y′）模式厄米-高斯波束入射時則表現(xiàn)的不明顯。

3 結 論

主要基于單軸各向異性圓柱對厄米-高斯波束的散射特性進行研究。應用電磁場邊界條件和投影法，精確半解析地得到了單軸各向異性圓柱對厄米-高斯波束散射特性和內場以及近場的歸一化強度分布圖，分析對比了兩種不同的厄米高斯波束入射情形，發(fā)現(xiàn)波束透過圓柱后都有駐波現(xiàn)象。在相同的情況下TEM10（x′）模式厄米-高斯波束通過單軸各向異性圓柱時的近場強度比TEM01（y′）模式的強，而前者在通過單軸各向異性圓柱時折射現(xiàn)象更明顯。