陳潔姝, 金 鑫

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長(zhǎng)春 130012)

0 引 言

對(duì)非線(xiàn)性雙曲方程解的生命跨度分析研究目前已得到廣泛關(guān)注. 對(duì)于二階雙曲方程, 曹春玲等[1]通過(guò)構(gòu)造帶阻尼項(xiàng)的控制函數(shù), 得到了一類(lèi)具超臨界源的非線(xiàn)性黏彈性雙曲方程解的爆破時(shí)間下界估計(jì); 孫愛(ài)慧等[2]給出了具非線(xiàn)性阻尼項(xiàng)和源項(xiàng)的雙曲方程解爆破時(shí)間的下界估計(jì); 王雪等[3]通過(guò)構(gòu)造具耗散項(xiàng)的新控制函數(shù), 得到了具超臨界源非線(xiàn)性雙曲方程解爆破時(shí)間的下界估計(jì). 對(duì)于四階雙曲方程組, 文獻(xiàn)[4]利用能量估計(jì)和Sobolev嵌入定理討論了一類(lèi)四階半線(xiàn)性波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題解發(fā)生爆破的充分條件和爆破時(shí)間的下界估計(jì); 文獻(xiàn)[5]將文獻(xiàn)[1]的結(jié)果推廣到了半線(xiàn)性雙曲Petrovsky方程組； 文獻(xiàn)[6-8]進(jìn)一步研究了這類(lèi)問(wèn)題. 由于源項(xiàng)導(dǎo)致雙曲方程解在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生爆破, 而阻尼項(xiàng)導(dǎo)致雙曲方程解趨于穩(wěn)定. 因此, 對(duì)于方程組, 不僅要考慮阻尼項(xiàng)和源項(xiàng)的競(jìng)爭(zhēng)影響, 而且還要考慮耦合項(xiàng)給這類(lèi)問(wèn)題帶來(lái)的很多困難, 例如， 如何定義能量泛函、 如何克服耦合項(xiàng)帶來(lái)的交叉影響等. 受上述工作的啟發(fā), 本文主要考慮如下四階非線(xiàn)性雙曲型方程組解的爆破行為：

(1)

其中:Ω是N(N≤3)中具有光滑邊界的有界區(qū)域;p>2;bi(t)(i=1,2)是正的連續(xù)函數(shù).

本文的目的是研究問(wèn)題(1)爆破解的爆破時(shí)間t*的估計(jì), 通過(guò)構(gòu)造合適的控制函數(shù), 運(yùn)用能量估計(jì)和Sobolev嵌入不等式, 對(duì)控制函數(shù)建立一性微分不等式, 進(jìn)而給出爆破時(shí)間t*的一個(gè)下界估計(jì). 為方便敘述, 設(shè)

定義1如果

(2)

則稱(chēng)問(wèn)題(1)的解在t*時(shí)刻爆破.

引理1[6]設(shè)Ω是N(N≤3)空間的有界區(qū)域, 2≤q<+∞, 則對(duì)任意的存在一個(gè)依賴(lài)q和Ω的常數(shù)C, 使得

‖ω‖q≤C‖Δω‖2.

(3)

引理2[4]設(shè)Ω是N(N=2或N=3)空間中邊界光滑的有界區(qū)域,q>1為常數(shù), 則有正常數(shù)

使得

(4)

類(lèi)似文獻(xiàn)[6]中引理2.4的證明, 有:

(5)

1 主要結(jié)果

先對(duì)能量泛函E(t)建立一個(gè)微分不等式.

定理1設(shè)(u,v)是問(wèn)題(1)的解, 則E(t)滿(mǎn)足

E′(t)≤a(t)E(t)+b(t)Ep-1(t),

(6)

其中:a(t)=2+max{b1(t),b2(t)};b(t)=max{b1(t),b2(t)}C2(p-1),C為嵌入正常數(shù).

證明: 證明可分如下三步完成.

1) 定義

則E(t)=E1(t)+E2(t). 進(jìn)一步, 直接計(jì)算可得

2) 估計(jì)J1,J2,J3的值. 首先, 估計(jì)J1:

(8)

其次, 估計(jì)J2:

(9)

最后, 估計(jì)J3: 根據(jù)基本不等式和引理1, 可知

根據(jù)式(7)～(10), 可得

(11)

同理可證

(12)

3) 對(duì)于i=1,2, 令g(t)=max{b1(t),b2(t)}, 代入式(11),(12), 有

其中:a(t)=2+g(t);b(t)=g(t)C2(p-1). 證畢.

下面給出爆破時(shí)間t*的下界估計(jì).

定理2假設(shè)定理1的所有條件成立, 且式(2)成立, 則爆破時(shí)間t*滿(mǎn)足

(14)

證明: 根據(jù)定理1和引理3, 得

令t→t*, 得式(14). 證畢.

推論1假設(shè)(u,v)是問(wèn)題(1)的解, 且bi(t)為常數(shù), 則

(15)

其中:a(t)=2+max{b1,b2};b(t)=max{b1,b2}C2(p-1).

證明: 由定理1得

E′(t)≤aE(t)+bEp-1(t),

則

(16)

將式(16)左右兩端同時(shí)乘(2-p)ea(p-2)t得

(E2-p(t))′ea(p-2)t+a(p-2)ea(p-2)t≥b(2-p)ea(p-2)t,

(17)

對(duì)式(17)從0到t積分, 得

令t→t*, 得式(15).