聞道君, 張 蓉, 何 光

(1. 重慶工商大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 重慶 400067; 2. 經(jīng)濟社會應用統(tǒng)計重慶市重點實驗室, 重慶 400067;3. 重慶郵電大學 理學院, 重慶 400065)

0 引 言

變分不等式問題是非線性分析的重要組成部分, 在優(yōu)化必要條件、 不動點理論、 網(wǎng)絡平衡問題、 互補問題和非線性方程組等領(lǐng)域應用廣泛[1-6].

設H為一實Hilbert空間, 其內(nèi)積和范數(shù)分別表示為〈·,·〉和‖·‖. 設C為H的一個非空閉凸子集,A:H→H為一非線性算子. 考慮如下變分不等式問題: 求一點x∈C, 使得

〈Ax,y-x〉≥0, ?y∈C.

(1)

用Ω表示變分不等式問題(1)的解集, 即Ω={x∈C: 〈Ax,y-x〉≥0, ?y∈C}.

目前, 關(guān)于變分不等式問題的研究主要集中在解的存在性和有效的數(shù)值解法兩方面. 求解變分不等式問題的基本技巧是投影方法, 但其收斂性分析幾乎都要求算子A滿足L-Lipschitz連續(xù)且η-強單調(diào)的條件[7-8]. 為去掉η-強單調(diào)性的限制, Tseng[9]給出了一種改進的外梯度方法:

(2)

其中:PC表示從H到C的度量投影;λ∈(0,1/L). 事實上, 外梯度法(2)的每步迭代都需要在閉凸集C上計算兩次投影, 并且在實際問題中Lipschitz常數(shù)L通常是未知的或者難以估計的, 但參數(shù)λ∈(0,1/L)的選取又直接影響數(shù)值方法的收斂速度, 在一定程度上限制了外梯度方法的推廣應用. 因此, 為提高數(shù)值方法的有效性和穩(wěn)定性, 研究者們開始嘗試改進外梯度法中的投影并逐步減弱對常數(shù)L的依賴. Censor等[10]通過構(gòu)造一個特殊的半空間取代方法(2)中的第二個投影, 并在Hilbert空間中給出了如下的次梯度-外梯度法:

(3)

其中λ∈(0,1/L). Gibali[11]利用Armijo-似搜索技巧, 進一步研究了求解偽單調(diào)變分不等式問題的自適應次梯度-外梯度法, 并在收斂性分析中釋放了迭代參數(shù)λ對Lipschitz常數(shù)L的依賴. Shehu等[12]結(jié)合Armijo-似搜索和次梯度-外梯度法(3), 給出了一種改進的求解單調(diào)變分不等式問題的黏滯-外梯度方法:

(4)

并在適當?shù)臈l件下得到了單調(diào)變分不等式問題的強收斂解, 但仍未解決外梯度方法(2)～(4)中投影導致的計算復雜度問題. 其中:αn∈(0,1);μ∈(0,1);f:H→H是壓縮映象. 基于此, 本文通過引入強正有界算子改進外梯度方法(2)～(4)中的投影, 給出一種求解單調(diào)變分不等式問題的廣義外梯度方法:

(5)

其中:αn∈(0,1);γ>0;D:H→H為強正算子; 系數(shù)μ∈(0,1);λ=max{λn}∈{σ,lσ,l2σ,…},σ>0,l∈(0,1). 本文利用Armijo-似搜索改進黏滯-外梯度方法(4), 通過強正有界算子取代外梯度方法(2)～(4)中的投影以降低逼近方法的復雜度, 并在不依賴Lipschitz常數(shù)L的條件下, 建立關(guān)于單調(diào)變分不等式問題解的強收斂定理, 所得結(jié)果改進并推廣了文獻[8-12]中的相應結(jié)論.

1 預備知識

設C為Hilbert空間H的非空閉凸子集, {xn}為H中的任一序列, 用xn→x和xn?x分別表示序列{xn}強和弱收斂到x.

定義1[10,12]設A:H→H為非線性算子, 如果〈Ax-Ay,x-y〉≥ 0(?x,y∈C), 則稱A在C上單調(diào); 如果存在常數(shù)η>0, 使得〈Ax-Ay,x-y〉≥η‖x-y‖2(?x,y∈C), 則稱A在C上η-強單調(diào).

定義2[10,12]設A:H→H為非線性算子, 如果存在常數(shù)L>0, 使得‖Ax-Ay‖≤L‖x-y‖(?x,y∈H), 則稱A為L-Lipschitz連續(xù).

定義4[3,13]設f:H→H為非線性映象, 如果存在常數(shù)ρ∈[0,1), 使得

‖f(x)-f(y)‖≤ρ‖x-y‖, ?x,y∈H,

則稱f為ρ-壓縮映象.

由文獻[2]可知, 對任意x∈H, 在C中存在唯一的最近點, 記為PCx, 即

‖x-PCx‖≤‖x-y‖, ?y∈C,

則稱PC為H到C上的度量投影, 且PC是非擴張的, 且有下列性質(zhì)：

1)u=PCx?〈x-u,u-y〉≥0, ?x∈H,y∈C;

2) ‖x-y‖2≥‖x-PCx‖2+‖y-PCx‖2, ?x∈H,y∈C.

引理2[14]設A:C→H為一連續(xù)單調(diào)算子, 則x*∈Ω的充分必要條件是〈Ay,y-x*〉≥0, ?y∈C.

引理3[15]設{an}為一非負實序列, 如果存在子序列{anj}?{an}滿足條件anj

事實上,mk是集合{1,2,…,k}中滿足條件an

引理4[16]設{an},{γn}和{δn}是3個非負序列, 且γn∈(0,1). 如果滿足條件

an+1≤(1-γn)an+γnδn,n≥0,

2 主要結(jié)果

定理1設A:H→H為L-Lipschitz連續(xù)算子. 對給定的μ∈(0,1),σ>0,l∈(0,1), 則式(5)定義的Armijo-似搜索

λ‖Axn-Ayn‖≤μ‖xn-yn‖

(6)

適當且滿足條件min{σ,μl/L}≤λn≤σ, 其中λ=max{λn}∈{σ,lσ,l2σ,…}.

證明： 因為A為L-Lipschitz連續(xù)算子, 則

‖Aw-A(PC(w-λnAw))‖≤L‖w-PC(w-λnAw)‖,

等價于

表明只要滿足λ=max{λn}≤μ/L, Armijo-似搜索(6)定義即適當.

由λ∈{σ,lσ,l2σ,…}得λn≤σ. 顯然, 如果λn=σ, 則有min{σ,μl/L}≤λn≤σ成立. 如果λn<σ, 由式(6)的定義可知, 存在系數(shù)λn/l, 使得

再結(jié)合A的L-Lipschitz連續(xù)性可得λn>μl/L, 即min{σ,μl/L}≤λn≤σ成立. 證畢.

證明： 取p∈Ω, 由式(5)得

因為yn=PC(xn-λnAxn), 因此由投影的性質(zhì)得〈yn-(xn-λnAxn),yn-p〉≤0, 整理得

〈yn-xn,yn-p〉≤-λn〈Axn,yn-p〉.

(8)

結(jié)合式(6)～(8), 并利用A的單調(diào)性可得

又因為μ∈(0,1), 所以式(9)蘊含了‖zn-p‖≤‖xn-p‖. 由式(5)和引理1進一步得

即序列{xn}有界. 因此, 序列{yn},{zn}和{f(xn)}也有界. 另一方面, 對q=PΩ(q-(D-γf)q), 由式(5)和式(9)得

整理得

‖xn+1-q‖2≤‖xn-q‖2, ?n≥.

(12)

不妨假設存在子列{xnj}?{xn}且xnj?z. 又因為ynj=PC(xnj-λnjAxnj)且A是單調(diào)算子, 則

由定理1可知λn>μl/L, 再結(jié)合式(12)并對式(13)取極限得

〈Ax,x-z〉≥0, ?x∈C.

(14)

由引理2得z∈Ω, 進一步得

(15)

利用式(5)得

(16)

結(jié)合式(15),(16)進一步得

由式(5),(9)和引理1得

整理得

(18)

2) 如果存在子列{‖xnk-q‖2}?{‖xn-q‖2}滿足條件‖xnk-q‖2≤‖xnk+1-q‖2(?k∈).由引理3知, 存在一個非遞減序列{mk}且使得對任意(或充分大)的k∈, 都有

‖xmk-q‖2≤‖xmk+1-q‖2, ‖xk-q‖2≤‖xmk+1-q‖2.

(19)

在式(11)中取n=mk, 則

(20)

類似地, 由式(13)～(17)可得

(21)

利用式(19)并整理式(22)得

xn→q=PΩ(q-(D-γf)q).

定理3設C為Hilbert空間H的非空閉凸子集,A:C→H為單調(diào)算子且L-Lipschitz連續(xù). 設f:H→H為ρ-壓縮映象. 對任意給定的x0∈H, 定義黏滯迭代序列{xn}如下:

(23)

證明： 取γ=1,D=I, 則式(5)退化為黏滯逼近式(23), 類似定理2的證明可得結(jié)論.