史葉萍, 王 堯, 任艷麗

(1. 南京信息工程大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 南京 210044； 2. 南京曉莊學(xué)院 信息工程學(xué)院, 南京 211171)

0 引 言

本文所討論的環(huán)R均指有單位元1的結(jié)合環(huán),σ是環(huán)R上的一個(gè)自同構(gòu),δ是R的一個(gè)σ-導(dǎo)子, 即δ是加法群(R,+)上的一個(gè)自同態(tài)映射, 滿足

δ(a+b)=δ(a)+δ(b),δ(ab)=δ(a)b+σ(a)δ(b),

斜逆Laurent級(jí)數(shù)環(huán)在代數(shù)、 幾何、 量子群和量子代數(shù)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛, 近年來(lái)對(duì)其研究備受關(guān)注. 例如: 對(duì)于σ=1或δ=0這些特殊情形的斜逆Laurent級(jí)數(shù)已有許多研究結(jié)果[1-3]; 對(duì)于一般斜逆Laurent級(jí)數(shù)環(huán), 文獻(xiàn)[4-7]分別討論了它們的幾個(gè)典范根、 Armendariz性質(zhì)(在σδ=δσ條件下)、 素環(huán)性質(zhì)、 Baer性質(zhì)和Zip性質(zhì)等.

受上述研究啟發(fā), 本文引進(jìn)(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán)的概念, 并研究一般斜逆Laurent級(jí)數(shù)環(huán)的弱Armendariz性質(zhì). 用,和+分別表示整數(shù)集、 自然數(shù)集和正整數(shù)集.

1 (σ,δ)-SILS弱Armendariz的刻畫(huà)

下面把多項(xiàng)式環(huán)上的弱Armendariz性質(zhì)推廣到一般斜逆Laurent級(jí)數(shù)環(huán)上.

2) 設(shè)R是一個(gè)環(huán),σ是R上的自同構(gòu),δ是環(huán)R的一個(gè)σ-導(dǎo)子, 對(duì)任意的f(x)=a-1x-1+a0,g(x)=b-1x-1+b0∈R((x-1;σ,δ)), 其中ai,bj∈R, 如果f(x)g(x)=0, 有aixibjxj∈nil(R((x-1;σ,δ))), ?i,j∈{0,-1}, 則稱環(huán)R是一個(gè)線性(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán).

顯然, (σ,δ)-SILS(弱)Armendariz環(huán)一定是線性(σ,δ)-SILS(弱)Armendariz環(huán)； (σ,δ)-SILS Armendariz環(huán)一定是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán), 且當(dāng)R((x-1;σ,δ))是約化環(huán)(沒(méi)有非零的冪零元)時(shí), 二者相同.

下面舉例說(shuō)明當(dāng)R為弱Armendariz環(huán)時(shí),R((x-1;σ,δ)) 不一定是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán).

例1設(shè)K是一個(gè)可數(shù)域, 則存在K上的一個(gè)詣零代數(shù)S滿足S[x]是Jacobson根環(huán), 且nil*(S[x])=0. 則K+S是弱Armendariz環(huán)， 且有以下兩種情形:

1) (K+S)[x]不是弱Armendariz環(huán), 則令R=K+S, 有R為弱Armendariz環(huán), 但R((x-1;σ,δ))不是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán)；

2) (K+S)[x]是弱Armendariz環(huán), 則令R=(K+S)[x], 有R為弱Armendariz環(huán), 但R((y-1;σ,δ))不是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán).

證明： 根據(jù)文獻(xiàn)[9]中定理2.6, 可知兩種情形下R[x],R[y]均不是弱Armendariz環(huán). 取σ為單位映射,δ=0, 則R((x-1;σ,δ))不是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán). 同理,R((y-1;σ,δ)) 不是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán).

如果環(huán)R的理想I滿足σ(I)?I, 則稱I是σ-理想. 進(jìn)一步, 若σ(I)=I, 則稱I是R的σ-不變理想. 若δ滿足δ(I)?I, 則稱I是δ-理想. 如果環(huán)R的理想I既是σ-理想(σ-不變理想)又是δ-理想, 則稱其為(σ,δ)-理想((σ,δ)-不變理想).

若一個(gè)環(huán)R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán), 則其(σ,δ)-不變理想和(σ,δ)-不變子環(huán)顯然也是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán). 下面考慮環(huán)同構(gòu)情形.

命題1設(shè)R是一個(gè)環(huán),σ是R的自同構(gòu),δ是環(huán)R的一個(gè)σ-導(dǎo)子. 設(shè)S為一個(gè)環(huán)且存在環(huán)同構(gòu)γ:R→S, 則R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)S是(γσγ-1,γδγ-1)-SILS弱Armendariz環(huán).

證明： 令σ′=γσγ-1,δ′=γδγ-1. 易得σ′是環(huán)S上的自同構(gòu), 先證δ′是S的一個(gè)σ′導(dǎo)子. 由

知δ′是S的一個(gè)σ′導(dǎo)子.

再證當(dāng)R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán)時(shí),S是(γσγ-1,γδγ-1)-SILS弱Armendariz環(huán). 令a′=γ(a),b′=γ(b), ?a,b∈R, 則對(duì)任意的k∈,t∈,

γ(aσkδt(b))=a′γ(σkδt(b))=a′γ(σkγ-1γδtγ-1γ(b))=a′(γσγ-1)k(γδγ-1)t(b′)=a′σ′kδ′t(b′).

命題2若R是一個(gè)(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán), 則對(duì)于R中任意中心冪等元e, 有δ(e)∈nil(R).

證明： 設(shè)R是一個(gè)(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán), 且e2=e∈R, 則e(e-1)=0. 由σ(0)=δ(0)=0, 可以構(gòu)造

f(x)=σ(e)x+δ(e),g(x)=(e-1)x+(e-1)∈R((x-1;σ,δ)).

于是有

因?yàn)镽是一個(gè)(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán), 有δ(e)(e-1)∈nil(R((x-1;σ,δ))), 故

δ(e)(e-1)∈nil(R)=nil(R((x-1;σ,δ)))∩R.

顯然,δ(e)(1-e)∈nil(R). 同理, 構(gòu)造

h(x)=(σ(e)-1)x+δ(e),k(x)=ex+e∈R((x-1;σ,δ)),

有h(x)g(x)=0. 從而δ(e)e∈nil(R).

下證當(dāng)δ(e)(1-e),δ(e)e∈nil(R) 時(shí),δ(e)∈nil(R). 由于δ(e)(1-e)δ(e)e=δ(e)eδ(e)(1-e)=0, 則δ(e)(1-e),δ(e)e是R中交換的冪零元. 故δ(e)作為兩個(gè)交換冪零元之和, 有δ(e)∈nil(R).

設(shè)R是一個(gè)環(huán), 如果對(duì)任意的a,b∈R, 只要abc=0, 就有acb=0, 則稱R是對(duì)稱環(huán); 如果對(duì)任意的a,b∈R, 只要ab=0, 就有ba=0, 則稱環(huán)R是可逆環(huán); 如果對(duì)任意的a,b∈R, 只要ab=0, 就有aRb=0, 則稱環(huán)R是半交換環(huán); 如果環(huán)R的冪等元都是中心冪等元, 則稱環(huán)R是Abel環(huán). 研究表明, 約化環(huán)?對(duì)稱環(huán)?可逆環(huán)?半交換環(huán)?Abel環(huán).

用N0(R)表示R的Wedderburn根(R的所有冪零理想之和), 用P(R)或Nil*(R)表示環(huán)R的素根(R的所有素理想之交), 用L(R)表示環(huán)R的Levitzki根(R的所有局部?jī)缌憷硐胫?, 用Nil*(R)表示R的上詣零根(R的所有詣零理想之和). 它們之間的包含關(guān)系為：P(R)?L(R)?Nil*(R). 當(dāng)nil(R)=Nil*(R)時(shí), 稱R是2-素環(huán). 如果環(huán)R的任意有限子集生成的子環(huán)都是2-素環(huán), 則稱R為局部2-素環(huán)[10]. 如果nil(R)=L(R), 則稱環(huán)R為弱2-素環(huán). 如果nil(R)=Nil*(R), 則稱環(huán)R是NI環(huán)[11]. 這些環(huán)的關(guān)系為： 2-素環(huán)?局部2-素環(huán)?弱2-素環(huán)?NI環(huán).

推論1命題2中的環(huán)R如果還滿足以下任一條件：

1) 環(huán)R是交換環(huán)；

2) 環(huán)R是Abel環(huán)(約化環(huán), 對(duì)稱環(huán), 可逆環(huán), 半交換環(huán))；

3) 環(huán)R是NI環(huán)(2-素環(huán), 局部2-素環(huán), 弱2-素環(huán)).

則對(duì)R中任意的冪等元e, 有δ(e)∈nil(R)成立.

設(shè)σ是環(huán)R的一個(gè)自同態(tài), 如果對(duì)任意的a,b∈R,ab∈nil(R)?aσ(b)∈nil(R), 則稱σ是弱-相容的自同態(tài)[12]. 如果環(huán)R存在一個(gè)弱-相容的自同態(tài)σ, 則稱環(huán)R是弱σ-相容的. 設(shè)δ是一個(gè)σ-導(dǎo)子, 如果對(duì)任意的a,b∈R,ab∈nil(R)?aδ(b)∈nil(R), 則稱環(huán)R是弱δ-相容的. 如果一個(gè)環(huán)R既是弱σ-相容的又是弱δ-相容的, 則稱R為弱(σ,δ)-相容環(huán).

引理1[12]設(shè)R是弱(σ,δ)-相容的環(huán), 則有:

1)ab∈nil(R)?σm(a)σn(b)∈nil(R), ?m,n∈+；

2)σm(a)b∈nil(R),m∈+?ab∈nil(R)；

3)aσn(b)∈nil(R),n∈+?ab∈nil(R)；

4)ab∈nil(R)?σm(a)δn(b),δs(a)σt(b)∈nil(R),m,n,s,t∈+.

若σ是R的自同構(gòu), 則引理1中的結(jié)論可以從正整數(shù)集+推廣到整數(shù)集上.

定理1設(shè)R為弱(σ,δ)-相容的環(huán), 其中σ是R的自同構(gòu), 則有:

1) 對(duì)任意的m,n∈,ab∈nil(R)?σm(a)σn(b)∈nil(R)；

2) 對(duì)m,t∈,n,s∈+,ab∈nil(R)?σm(a)δn(b),δs(a)σt(b)∈nil(R).

證明： 只需證明對(duì)任意的m,n∈+, -m,-n仍能使引理1中的結(jié)論成立即可.

1) 因?yàn)閍b∈nil(R), 根據(jù)R是弱σ-相容的, 則有aσ(b)∈nil(R). 又由σ是同構(gòu), 則σ-1(aσ(b))∈nil(R), 即σ-1(a)b∈nil(R). 不斷重復(fù)該過(guò)程, 則有σ-m(a)b∈nil(R). 因此,bσ-m(a)∈nil(R), 則σ-n(b)σ-m(a)∈nil(R), 所以σ-m(a)σ-n(b)∈nil(R). 反之, 如果σ-m(a)σ-n(b)∈nil(R), 則根據(jù)引理1中1), 有ab∈nil(R).

2) 因?yàn)閍b∈nil(R), 由引理1中4)有aδn(b)∈nil(R), 再由1) 可得σ-m(a)δn(b)∈nil(R). 證畢.

證明： 根據(jù)引理2, 類似文獻(xiàn)[7]中命題6.3可證.

推論2設(shè)R為NI環(huán)且是弱(σ,δ)-相容的環(huán), 則下列兩個(gè)命題等價(jià)：

證明： 1)?2)顯然.

其中δ(bn+1)=0. 故由式2)可得

a1σ(bn)∈nil(R),a1(σ(bj-1)+δ(bj))∈nil(R),j≤n.

命題4設(shè)R是弱(σ,δ)-相容的環(huán)且nil(R) 是冪零理想, 則nil(R)((x-1;σ,δ))=nil(R((x-1;σ,δ))).

證明： 根據(jù)引理2和命題3, 類似文獻(xiàn)[7]中命題6.4可證.

定理2設(shè)R是弱(σ,δ)-相容環(huán)且nil(R)是冪零理想, 則R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán).

又因?yàn)镽是弱(σ,δ)-相容的, 且nil(R)是冪零理想, 則由定理2, 只需證明aixibjxj∈nil(R)((x-1;σ,δ)). 由推論3, 即有Caixibjxj?nil(R).

定理3設(shè)R是弱(σ,δ)-相容環(huán)且nil(R) 是冪零理想, 則下列命題等價(jià)：

1)R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán)；

證明： 由推論2可得2)?4).

2)?1). 對(duì)任意的i≤m,j≤n, 因?yàn)閒(x)g(x)=0可以推出aibj∈nil(R). 由推論3可得Caixibjxj?nil(R), 則aixibjxj∈nil(R)((x-1;σ,δ))=nil(R((x-1;σ,δ))).

1)?3)易得.

3)?1). 對(duì)任意的j≤n, 由f(x)g(x)=0可得a0bjxj∈nil(R((x-1;σ,δ))). 由命題4可知a0bj∈nil(R), 即有3)?4). 于是有3)?4)?2)?1).

推論4設(shè)R為NI環(huán)且是弱(σ,δ)-相容的環(huán), 對(duì)左、 右零化子有升鏈條件或R是左(右)Goldie環(huán), 或?qū)硐胗猩湕l件, 或R有右Krull維數(shù)時(shí), 則R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán).

證明： 由文獻(xiàn)[12]中推論6.5知, 上述條件均可推出nil(R)是冪零理想, 結(jié)論成立.

2 (σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán)的擴(kuò)張

引理3設(shè)R是弱(σ,δ)-相容的NI環(huán),fi∈R((x-1;σ,δ)), 1≤i≤n. 若f1f2…fn=0, 則有a1a2…an∈nil(R),ai∈Cfi.

證明： 當(dāng)n=2時(shí)顯然成立. 下面考慮n≥3的情形. 若f1f2…fn=0, 則a1h∈nil(R), 其中h∈Cf2…fn. 即有a1f2…fn∈nil(R)((x-1;σ,δ)), 再根據(jù)命題3, 有a1a2Cf3…fn∈nil(R), 繼續(xù)該過(guò)程, 則有a1a2a3Cf4…fn∈nil(R), 從而有a1a2…an∈nil(R).

推論5設(shè)R是弱(σ,δ)-相容的且nil(R)是冪零理想, 則R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán). 此外, 若f1f2…fn=0, 則有ai1xi1ai2xi2…ainxin∈nil(R((x-1;σ,δ))),aij∈Cfi.

設(shè)R是一個(gè)環(huán), 令Tn(R)表示R上的n階上三角矩陣環(huán)；

表示主對(duì)角線上元素相等的上三角矩陣環(huán), 其中n≥2；

表示每條對(duì)角線上元素相等的上三角矩陣環(huán), 且n≥2； 用T(R,R)表示環(huán)R通過(guò)R的平凡擴(kuò)張, 其中元素為(a,b),a,b∈R, 加法定義為(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), 乘法定義為(a,b)*(c,d)=(ac,ad+bc). 顯然,T(R,R)與S2(R)同構(gòu), 并且上述矩陣環(huán)有以下包含關(guān)系：T(R,n)?Sn(R)?Tn(R).

引理4[13]設(shè)R是一個(gè)環(huán), 則下列命題等價(jià)：

1)R是NI環(huán)；

2)S是NI環(huán)(其中S為T(mén)n(R),Sn(R),T(R,n)和T(R,R) 中任意一個(gè)).

引理5設(shè)R是一個(gè)環(huán), 則下列命題等價(jià)：

1) nil(R)是冪零理想；

2) nil(S)是冪零理想(其中S為T(mén)n(R),Sn(R),T(R,n)和T(R,R)中任意一個(gè)).

證明： 只需證明S為T(mén)n(R)時(shí)成立即可. 由引理4知, nil(S)是理想當(dāng)且僅當(dāng)nil(R)是理想. 設(shè)N=nil(S), 已知nil(S)={(aij):aii∈nil(R)}, 即

易證,S?(R+N), nil(S)=nil(R)+N. 于是, nil(S)是冪零理想當(dāng)且僅當(dāng)nil(R)是冪零理想.

定理4設(shè)R是弱(σ,δ)-相容的且nil(R)是冪零理想, 則下列命題成立：

1)R是(σ,δ)-SILS弱Armendariz環(huán);

證明： 1)顯然.