靳曼莉, 郭 麗

(北華大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 吉林 吉林 132013)

0 引 言

四階拋物型偏微分方程在材料科學(xué)、 工程學(xué)、 生物數(shù)學(xué)、 圖像處理等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 由于四階線(xiàn)性擴(kuò)散中的高頻振蕩通常比二階擴(kuò)散中的震蕩衰減速度快, 且四階方程還可以考慮曲率的作用, 因此在圖像處理方面, 四階偏微分方程比二階方程的模擬效果更優(yōu).

Cahn-Hilliard方程[1]

通常被用來(lái)描述相分離過(guò)程中守恒濃度場(chǎng)的演化. You等[2]利用四階方程

ut+2[g(2u)2u]=0

代替文獻(xiàn)[3]中的二階Perona-Malik型方程, 數(shù)值模擬結(jié)果表明, 該方程能更好地去除圖像噪聲, 保留邊界, 使處理后的圖像更自然. Lysaker等[4]在處理醫(yī)學(xué)核磁共振圖像時(shí)提出了如下四階拋物型方程:

為提高圖像的邊緣檢測(cè)并消除噪聲, Wei[5]將邊界提升控制泛函和超擴(kuò)散算子引入Perona-Malik方程中, 得到了如下模型：

ut=div(d1(u,|u|)u)+div(d2(u,|u|,Δu)Δu)+e(u,|u|).

Bertozzi等[6]考慮四階擴(kuò)散方程ut+Δ(arctan Δu)=λ(f-u)的Neumann問(wèn)題, 給出了該方程經(jīng)典解存在唯一性的充分條件. Wang等[7]討論了二維低曲率方程ut+Δ(arctan Δu)=0弱解的存在唯一性.

本文考慮如下四階拋物型方程的初邊值問(wèn)題:

(1)

其中:Ω?2是具有光滑邊界?Ω的有界開(kāi)區(qū)域;T是一個(gè)正數(shù);p>2. 利用差分和變分的方法, 首先將發(fā)展型方程(1)利用差分的形式化為橢圓方程, 證明該橢圓問(wèn)題解的存在唯一性, 然后證明差分后所得橢圓問(wèn)題解序列的極限即為原問(wèn)題的解, 最后應(yīng)用文獻(xiàn)[8-9]的正則性、 差分和變分法給出問(wèn)題(1)弱解的存在唯一性證明.

1 主要結(jié)果

成立, 則稱(chēng)函數(shù)u(x,t)為問(wèn)題(1)的弱解.

2 解的存在唯一性

令n為正整數(shù),ε是一個(gè)小的正數(shù),h=T/n. 首先考慮如下橢圓問(wèn)題弱解的存在唯一性:

(3)

首先證明J(v)在V中有極小元u1(x). 因?yàn)?∈V, 所以

(4)

又因?yàn)?/p>

則

于是

對(duì)于函數(shù)fε(t)=εt+arctant, 有

故

選取φ=u1-v1, 有

由于arctant為上的遞增函數(shù), 則式(5)等號(hào)左端的各項(xiàng)均非負(fù), 因此u1=v1在Ω上幾乎處處成立, 從而證明了問(wèn)題(3)弱解的存在唯一性.

考慮如下拋物型方程的初邊值問(wèn)題:

(6)

其中ε是固定正數(shù).

(7)

(9)

取φ=Δuk, 則有

于是有

對(duì)于h=T/n, 定義如下函數(shù):

(11)

結(jié)合式(10)知, 對(duì)任意的t∈[0,T], 有

‖uh(x,t)≤‖u0,

故

‖uh(x,t)‖L∞(0,T;L2(Ω))≤‖u0.

(12)

將式(10)中的n個(gè)不等式相加, 可得

(13)

(14)

從而

于是

結(jié)合式(13)有

(15)

根據(jù)式(12)～(15)及Δuh|?Ω=0, 可得

因此可抽取子序列(仍用uh表示), 使得下列結(jié)論成立：

于是

(16)

將式(17)對(duì)k=1,2,…,n求和, 由uh(x,t)的定義及條件φ(·,T)=φ(·,nh)=0可得

令h→0, 結(jié)合上述結(jié)論1)～3)及式(16)得

(18)

(19)

因?yàn)閡ε滿(mǎn)足式(18), 所以為了證明uε為式(6)的弱解, 只需證明在ΩT上幾乎處處有ξε=arctan Δuε. 取uε為式(18)的檢驗(yàn)函數(shù)可得

(20)

取uk作為式(9)的檢驗(yàn)函數(shù)可得

(21)

將式(21)對(duì)k=1,2,…,n求和, 可得

(22)

由于對(duì)任意的ξ,η∈, 有

(arctanξ-arctanη)(ξ-η)≥0,

因此對(duì)任意的v∈L2(0,T;H2(Ω)), 有

(23)

于是由式(22)可得

令h→0, 則有

由式(20),(24)知, 對(duì)任意的v∈L2(0,T;H2(Ω)), 有

即

故在ΩT上幾乎處處有ξε=arctan Δuε, 從而uε即為問(wèn)題(6)的弱解, 因此完成了弱解存在性的證明, 且由式(22)可得式(7), 由式(10)可得式(8).

(25)

下面證明定理1. 由定理3知

令ε→0, 根據(jù)文獻(xiàn)[10]得

(27)

在式(18)中令ε→0, 可得

(28)

(29)

(30)

令ωε=Δuε, 由||ωε||≤|ωε|, 得

(31)

此外, 對(duì)任意的δ>0有不等式

(32)

在不等式(32)中取t=vε和δ=C1‖vε‖L2(ΩT), 可得

又因?yàn)?/p>

故有

(33)

由u滿(mǎn)足式(28)知, 要證明u為問(wèn)題(1)的弱解, 只需證明在ΩT上幾乎處處有ξ=arctan Δu. 取u作為式(28)的檢驗(yàn)函數(shù)且令h→0, 可得

(34)

令ε→0且注意到

可得

結(jié)合式(34)知

故在ΩT上幾乎處處有ξ=arctan Δu. 從而證明了u為問(wèn)題(1)的弱解.

(35)