王華慶 王夢(mèng)陽(yáng) 宋瀏陽(yáng) 郝彥嵩 任幫月 董方

摘要：為了分離復(fù)合故障振動(dòng)信號(hào)，提出了一種采用雙約束非負(fù)矩陣分解算法的信號(hào)分離方法。首先對(duì)原始振動(dòng)信號(hào)采用短時(shí)傅里葉變換，通過(guò)時(shí)頻分布信息來(lái)描述信號(hào)的局部故障特征;其次在傳統(tǒng)非負(fù)矩陣分解算法中引人β散度約束與行列式約束，構(gòu)成雙約束非負(fù)矩陣分解算法，利用雙約束非負(fù)矩陣分解算法實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的降維，并從低維空間中分離出特征分量;然后通過(guò)特征分量重構(gòu)出時(shí)域波形，同時(shí)提出加權(quán)峰值因子的影響參數(shù)篩選重構(gòu)信號(hào);最后將篩選出的分離信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)頻譜分析，提取故障特征。仿真及軸承復(fù)合故障實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：所提出的方法可以有效分離并提取出外圈與滾動(dòng)體沖擊性特征，實(shí)現(xiàn)了軸承的復(fù)合故障診斷。

關(guān)鍵詞：故障診斷;軸承;非負(fù)矩陣分解算法;β散度約束;行列式約束

中圖分類號(hào)：TH165+。3;TH133.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）03-059@07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.018

引言

基于振動(dòng)信號(hào)分析法已被廣泛地應(yīng)用在機(jī)械設(shè)備的故障診斷中，因?yàn)檎駝?dòng)信號(hào)通常包含設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)的主要信息，且容易獲取。復(fù)合故障表明多個(gè)故障同時(shí)出現(xiàn)，由于故障特征相互耦合，復(fù)合故障診斷方法相對(duì)較少，診斷難度較大。與單一故障條件相比，復(fù)合故障在實(shí)際應(yīng)用中很常見(jiàn)，造成的危害更嚴(yán)重。因此，有效地從振動(dòng)信號(hào)中分離并提取出復(fù)合故障特征，對(duì)機(jī)械設(shè)備正常運(yùn)行和系統(tǒng)健康管理具有重要意義。

對(duì)于包含多源信息的信號(hào)來(lái)說(shuō)，通?？梢圆捎米儞Q域分解方法實(shí)現(xiàn)多源分量的分離。如：采用小波分解、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解、變分模態(tài)分解、稀疏分量分析等方法實(shí)現(xiàn)多源信號(hào)的分解。非負(fù)矩陣分解（Non-negative Matrix FactorizationNMF）作為一種新的特征提取方法，其實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且分解形式和分解結(jié)果更具物理意義，克服了一些傳統(tǒng)算法的缺陷，在數(shù)字圖像處理、機(jī)器學(xué)習(xí)、計(jì)算機(jī)視覺(jué)和信息檢索等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

隨著研究的不斷深入，NMF算法更多集中在盲源分離問(wèn)題上。相比于獨(dú)立分量分析和稀疏分量分析，非負(fù)矩陣分解需要的約束較少，收斂較快，分解效率更高。如在文獻(xiàn)中，采用局部非負(fù)矩陣分解算法并結(jié)合內(nèi)稟特征尺度分解，實(shí)現(xiàn)了軸承信號(hào)的盲分離;文獻(xiàn)中研究了聯(lián)合非負(fù)矩陣分解算法，通過(guò)增加稀疏性約束，實(shí)現(xiàn)了欠定模型下的盲源分離;文獻(xiàn)提出基于正則化約束的非負(fù)矩陣分解算法，成功分離了音樂(lè)混合信號(hào)。然而在旋轉(zhuǎn)機(jī)械領(lǐng)域，由于軸承實(shí)際信號(hào)復(fù)雜，信噪比低，特征信息較微弱，多源分量信息相互干擾，傳統(tǒng)NMF算法缺少相關(guān)約束，導(dǎo)致數(shù)據(jù)冗余性較大，特征提取的效果并不理想。綜上，本文在傳統(tǒng)非負(fù)矩陣分解算法中引人β散度約束與行列式約束，構(gòu)成雙約束非負(fù)矩陣分解算法模型，利用其局部學(xué)習(xí)能力，有效地將復(fù)合故障特征分量分離;同時(shí)構(gòu)建加權(quán)峰值因子（Correlation Crest Factor，CCF）影響參數(shù)判別重構(gòu)信號(hào)，減少信號(hào)的冗余成分。實(shí)際軸承復(fù)合故障數(shù)據(jù)分析結(jié)果驗(yàn)證了所提出方法的有效性，成功分離了軸承復(fù)合故障信號(hào)。

1NMF算法理論

式中 m為矩陣的維數(shù)，n為樣本個(gè)數(shù)，r為矩陣的秩。由于m》r，從而實(shí)現(xiàn)了矩陣維數(shù)的約減。自NMF算法提出以來(lái)，已有大量文獻(xiàn)針對(duì)損失函數(shù)，對(duì)NMF算法進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)。傳統(tǒng)的NMF算法采用歐式距離作為其損失函數(shù)，構(gòu)成如下式的優(yōu)化模型

因?yàn)樵谏鲜龅?guī)則下，歐式距離||V-WH||²單調(diào)不增，所以當(dāng)矩陣W和H達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)時(shí)，算法收斂。

2 雙約束NMF復(fù)合故障信號(hào)分離方法

2.1 雙約束NMF算法模型

NMF算法損失函數(shù)的選取由處理的數(shù)據(jù)類型及應(yīng)用環(huán)境決定，在對(duì)多源信號(hào)特征提取的過(guò)程中，如果源信號(hào)之間的相關(guān)性越差，則表現(xiàn)出來(lái)的局部性越強(qiáng)，分解降維效果就越好。在機(jī)械設(shè)備的故障診斷中，若源信號(hào)之間彼此特征信息差異不明顯，那么分解降維后基向量就會(huì)存在冗余，導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)不能完全表達(dá)故障特征。針對(duì)故障信號(hào)特征，選擇β散度約束與行列式約束雙重約束作為非負(fù)矩陣分解的損失函數(shù)。β散度約束可以減少數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上的限制，適應(yīng)性更強(qiáng);行列式約束可以保證矩陣分解時(shí)基矩陣W的唯一性。雙重約束有效地增強(qiáng)局部特征，更有利于后續(xù)信號(hào)的重構(gòu)。β散度的表達(dá)式如下尺度入無(wú)關(guān)。這種尺度移不變性表明在進(jìn)行NMF算法分解時(shí)，幅度譜y中高、低能量成分擁有同等的權(quán)重值，而當(dāng)β≠0時(shí)，則過(guò)度依賴y中能量較高的成分，不利于耦合信號(hào)的分離，所以這里選擇β=0.

為了保證分解后的基矩陣W具有唯一性，同時(shí)也為了得到更好的重構(gòu)效果，增加行列式約束。定義由n個(gè)m維列矢量W₁，W₂，…，W_n張成的空間記為P（w），則P（w）的體積可由下式表示

由于β散度約束與行列式約束是加入到NMF算法目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化方程中，所以通過(guò)梯度下降法不斷迭代更新矩陣W和H，直到目標(biāo)函數(shù)收斂，即可實(shí)現(xiàn)約束項(xiàng)的優(yōu)化。具體算法步驟如下：

（1）隨機(jī)初始化非負(fù)矩陣W，H;

（2）由式（7）計(jì)算目標(biāo)函數(shù)初始值;

（3）根據(jù)式（8）和（9），交替迭代更新矩陣W，H;

（4）若目標(biāo)函數(shù)收斂則停止迭代，輸出矩陣W，H;否則循環(huán)執(zhí)行步驟（2）和（3）。

2.2 加權(quán)峰值因子

峰值因子是用來(lái)檢測(cè)振動(dòng)信號(hào)中有無(wú)沖擊的指標(biāo)，反映了峰值在波形中的極端程度。相關(guān)系數(shù)可以表征兩個(gè)信號(hào)的相似程度?？紤]到這兩個(gè)指標(biāo)的優(yōu)缺點(diǎn)，構(gòu)建兩個(gè)指標(biāo)的綜合影響參數(shù)稱為加權(quán)峰值因子（Correlation Crest Factor，CCF），定義如下：式中

CF（Crest Factor）為信號(hào)x（n）的峰值因子，N為信號(hào)的長(zhǎng)度，C為信號(hào)x和y的相關(guān)系數(shù)，E[·]代表數(shù)學(xué)期望。根據(jù)Schwartz不等式，可知|C |≤1.

因此，它可以看成是峰值因子的權(quán)重，故CCF可稱為加權(quán)峰值因子。由于滾動(dòng)軸承的故障為沖擊性特征，相關(guān)系數(shù)可以反映重構(gòu)信號(hào)與原信號(hào)的相關(guān)性，所以根據(jù)式（10）可知，CCF值越大，重構(gòu)信號(hào)所包含的特征信息越豐富，更能表征故障特征信號(hào)，故此值可作為篩選重構(gòu)信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)。

2.3 雙約束NMF復(fù)合故障信號(hào)分離方法

基于上述分析，針對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械中軸承復(fù)合故障信號(hào)，提出了一種雙約束非負(fù)矩陣分解的復(fù)合故障信號(hào)分離方法，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下，流程圖如圖1所示。

（1）對(duì)原始振動(dòng)信號(hào)采用短時(shí)傅里葉變換（STFT），這里的窗函數(shù)選用常見(jiàn)的矩形窗，獲得表征局部信息的高維特征矩陣;

（2）取特征矩陣的能量值，對(duì)其采用雙約束NMF算法進(jìn)行降維，得到基矩陣W和系數(shù)矩陣H;

（3）利用基矩陣W和系數(shù)矩陣H在低維空間中重構(gòu)，并采用短時(shí)傅里葉逆變換（ISTFT）將時(shí)頻信息變換到時(shí)域中，得到特征分量的重構(gòu)波形;

（4）計(jì)算每一個(gè)重構(gòu)信號(hào)的CCF值;

（5）篩選出CCF值較大的重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)頻譜分析，提取軸承的故障特征。

3 仿真信號(hào)分析

為了驗(yàn)證所提出方法的特征分離效果，采用如下的模型來(lái)模擬軸承復(fù)合故障的振動(dòng)信號(hào)：

式中 g=0.1為阻尼系數(shù)，源信號(hào)S₁（t）和s₂（t）分別取以下參數(shù)：固有頻率f_n分別取3000和5000Hz，特征頻率f=1/T分別取73和207Hz，采樣頻率f_s為100kHz，分析點(diǎn)數(shù)取0.5s時(shí)間片段。A=[0.8147，0.9058]為一個(gè)隨機(jī)產(chǎn)生的混合矩陣，通過(guò)式（14）混合得到信號(hào)s（t），圖2所示為混合信號(hào)歸一化后的時(shí)域波形圖和包絡(luò)頻譜圖。

對(duì)于混合的仿真信號(hào)，采用所提出的方法進(jìn)行分析，首先通過(guò)短時(shí)傅里葉變換獲得特征矩陣x，對(duì)其取能量值X_²;采用雙約束NMF算法對(duì)能量值矩陣x[²]降維分解，得到維數(shù)均為10的基矩陣W和系數(shù)矩陣H;將矩陣W和H在子空間重構(gòu)，并采用短時(shí)傅里葉逆變換將其變換到時(shí)域中，得到10組重構(gòu)信號(hào);計(jì)算10組重構(gòu)信號(hào)的CCF值，如表1所示。

由表1可知，第7組與第9組的CCF值較大，表明這兩組重構(gòu)信號(hào)中所包含的特征信息較豐富，選擇這兩組重構(gòu)信號(hào)作其包絡(luò)頻譜圖，歸一化處理后如圖3所示。

從圖3可以看出，包含于源信號(hào)的兩種特征成分73與207Hz經(jīng)所提出方法處理后可以分離得到。因此，從仿真信號(hào)的分析中可以得出結(jié)論，本文所提出的方法可以有效地從混合信號(hào)中分離得到源信號(hào)，在包絡(luò)頻譜中也可以提取源信號(hào)特征頻率，驗(yàn)證了該方法的有效性。值得注意的是，當(dāng)選擇表1中第三大CCF值，即第6組信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，并作其包絡(luò)頻譜圖，如圖4所示。從圖4中也可以發(fā)現(xiàn)207Hz及其高次諧波頻率成分，與圖3（b）相似，說(shuō)明原始信號(hào)已得到有效分離，同時(shí)也表明原始信號(hào)中僅包含兩種特征頻率成分。

4 應(yīng)用實(shí)例

4.1 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

為了驗(yàn)證所提出方法的有效性，采用實(shí)測(cè)的復(fù)合故障軸承信號(hào)為研究對(duì)象。利用線切割加工技術(shù)，分別在軸承的外圈和滾動(dòng)體上加工寬度為0.5mm、深度為0.15mm的缺陷，軸承型號(hào)為NTNN204型圓柱滾子軸承。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，通過(guò)安置在軸承座上的加速度傳感器對(duì)豎直方向的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行采集，旋轉(zhuǎn)機(jī)械的模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖5所示，其中采樣頻率為100kHz，采樣時(shí)間為10s。將電機(jī)轉(zhuǎn)速分別設(shè)為1300和900r/min，根據(jù)軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)（如表2所示）及下式計(jì)算得到滾動(dòng)軸承各部件的理論特征頻率，如表3所示。

將模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)采集到的1300r/min外圈與滾動(dòng)體復(fù)合故障信號(hào)，截取0.5s數(shù)據(jù)片段作歸一化處理后的時(shí)域波形圖和包絡(luò)頻譜圖如圖6所示。

從時(shí)域波形圖可以明顯看出沖擊脈沖成分，表明該軸承已發(fā)生故障，但周期特性并不明顯，無(wú)法獲取軸承有用的狀態(tài)信息。包絡(luò)頻譜圖中，外圈缺陷特征可以明顯識(shí)別出來(lái)，但滾動(dòng)體缺陷特征被噪聲成分淹沒(méi)，難以識(shí)別。

根據(jù)所提出的方法，對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行短時(shí)傅里葉變換，得到129×392的特征矩陣x，對(duì)其取能量值x²;采用雙約束NMF算法對(duì)能量值矩陣x²降維分解，得到維數(shù)均為10的基矩陣W和系數(shù)矩陣H;將矩陣W和H在子空間重構(gòu)，并采用短時(shí)傅里葉逆變換將其變換到時(shí)域中，得到10組重構(gòu)信號(hào);計(jì)算10組重構(gòu)信號(hào)的CCF值，如表4所示。

由表4可知，第2組與第9組的CCF值較大，表明這兩組重構(gòu)信號(hào)中所包含的特征信息較豐富，選擇這兩組重構(gòu)信號(hào)作其包絡(luò)頻譜圖，歸一化處理后如圖7所示。同時(shí)選擇第三大CCF值（表4中第4組信號(hào)）信號(hào)作對(duì)比分析，包絡(luò)頻譜如圖8所示。

由圖7可以看出，經(jīng)所提出的方法處理后得到兩種源信號(hào)成分分別對(duì)應(yīng)滾動(dòng)體故障特征頻率圖7（a）和外圈故障特征頻率圖7（b），這與理論計(jì)算出的特征值相吻合，并且各自的高次諧波成分也被明顯地提取出來(lái)。另外，保持架特征頻率（8Hz）也出現(xiàn)在包絡(luò)頻譜圖7（a）中，且出現(xiàn)以保持架特征頻率分布的故障特征頻率的邊頻帶，這與滾動(dòng)體出現(xiàn)故障時(shí)的特征相一致。與圖8對(duì)比可知，當(dāng)選擇第三大CCF值重構(gòu)信號(hào)作包絡(luò)頻譜圖時(shí)，和圖7（b）相似，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)信號(hào)已得到有效分離，也表明實(shí)驗(yàn)信號(hào)中僅包含兩種特征頻率成分。所以，結(jié)果表明所提出的方法可以有效地從混合信號(hào)中分離出故障源信號(hào)，在包絡(luò)頻譜圖中也可以提取出故障特征頻率，驗(yàn)證了該方法在軸承復(fù)合故障診斷中的有效性。

同樣地，對(duì)900r/min外圈與滾動(dòng)體復(fù)合故障數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。取0.5s數(shù)據(jù)片段作歸一化后的時(shí)域波形圖和包絡(luò)頻譜圖如圖9所示。采用所提出的方法對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理，得到歸一化的包絡(luò)頻譜圖如圖10所示。

根據(jù)圖10可以發(fā)現(xiàn)，用所提出的方法處理后，可以分離得到與理論值相吻合的外圈故障和滾動(dòng)體故障特征頻率，并且各自的高次諧波也被明顯地提取出來(lái)。驗(yàn)證了該方法在軸承復(fù)合故障診斷中的有效性。

4.2 對(duì)比傳統(tǒng)NMF算法

為了驗(yàn)證所提出方法在軸承復(fù)合故障診斷的優(yōu)勢(shì)，與傳統(tǒng)采用歐式距離模型的非負(fù)矩陣分解算法進(jìn)行對(duì)比。選用1300r/min的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將短時(shí)傅里葉變換得到的特征矩陣取能量值，用傳統(tǒng)歐式距離模型的非負(fù)矩陣分解降維，并對(duì)分解后的矩陣W和H在子空間重構(gòu)，選擇CCF值較大的重構(gòu)信號(hào)作包絡(luò)頻譜，如圖11所示。

從圖11可以看出，經(jīng)過(guò)傳統(tǒng)NMF算法處理后，并未對(duì)軸承復(fù)合故障信號(hào)實(shí)現(xiàn)有效分離，僅外圈故障特征被提取出來(lái)，滾動(dòng)體故障特征成分被淹沒(méi)，未能準(zhǔn)確描述故障源信號(hào)。而通過(guò)所提出算法可以有效地提取出外圈與滾動(dòng)體故障特征成分。對(duì)比圖11和7可知，由于雙約束NMF算法增強(qiáng)了特征分量的局部特征，且加權(quán)峰值因子可以減少重構(gòu)信號(hào)的冗余信息，因而可以分離出源信號(hào)，提取故障特征頻率。從而驗(yàn)證了所提出的方法在軸承復(fù)合故障診斷中的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)論

本文針對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械中復(fù)合故障信號(hào)特征信息微弱、難以分離提取的問(wèn)題，提出了雙約束NMF的復(fù)合故障信號(hào)分離方法。通過(guò)在傳統(tǒng)非負(fù)矩陣分解算法中引人β散度約束與行列式約束，并利用雙約束非負(fù)矩陣算法本身具有的局部學(xué)習(xí)能力，可以將復(fù)合故障特征分量分離;同時(shí)，構(gòu)建了加權(quán)峰值因子（CCF），對(duì)重構(gòu)后的信號(hào)進(jìn)行選擇，在數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)有效降維的基礎(chǔ)上，減少了分解后的冗余分量。將所提出的方法應(yīng)用在實(shí)際軸承信號(hào)中，有效分離并提取出了耦合故障特征信息，實(shí)現(xiàn)了軸承的復(fù)合故障診斷。因此，所提出的方法對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備的復(fù)合故障診斷具有重要的意義，具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。