賈宇婷 楊娜 白凡 呂佐超

摘要：基于概率密度演化理論（PDEM），提出一種通過(guò)動(dòng)力可靠度對(duì)簡(jiǎn)支梁在隨機(jī)行人荷載下的響應(yīng)進(jìn)行評(píng)估的方法。選取步頻、步長(zhǎng)、體重以及各行人的到達(dá)時(shí)間為隨機(jī)變量，確定性結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)由顯式Newmark法計(jì)算給出，通過(guò)PDEM理論可以方便地計(jì)算出行人通過(guò)簡(jiǎn)支梁時(shí)任意時(shí)刻響應(yīng)的概率信息，以及不同舒適度閾值水平下跨中加速度的動(dòng)力可靠度。算例驗(yàn)證表明，簡(jiǎn)諧荷載下分布參數(shù)體系的概率密度演化分析結(jié)果與統(tǒng)計(jì)結(jié)果吻合良好。通過(guò)對(duì)單人以及多人荷載下響應(yīng)隨機(jī)演化過(guò)程的分析表明，行人荷載隨機(jī)性對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)具有顯著影響，建議利用動(dòng)力可靠度對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)分析以及人致振動(dòng)舒適度評(píng)價(jià)。

關(guān)鍵詞：行人荷載;隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng);概率密度演化方法;動(dòng)力可靠度;舒適度

中圖分類(lèi)號(hào)：TU312+。1;TU311.3文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1004-4523（2020）03-0509-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.03.009

引言

隨著輕質(zhì)、低阻尼材料的發(fā)展，以及現(xiàn)代人們對(duì)美學(xué)的要求，建筑結(jié)構(gòu)逐漸向大跨、輕柔的方向發(fā)展，人群荷載下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)也逐漸成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn)。當(dāng)振動(dòng)加速度超過(guò)某一適用性限值時(shí)，就可能會(huì)引起人們的不良反應(yīng)甚至恐慌。在適用性評(píng)價(jià)方面，中國(guó)規(guī)范僅對(duì)結(jié)構(gòu)的自振頻率提出了限值要求，國(guó)內(nèi)外規(guī)范普遍采用自振頻率閾值法和動(dòng)力響應(yīng)閾值法相結(jié)合，通過(guò)對(duì)某一響應(yīng)指標(biāo)值的限制達(dá)到舒適度要求。在行人荷載模型研究及動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算方面，學(xué)者大都假定步行力為確定性的周期荷載，QIN等采用生物力學(xué)模型模擬單個(gè)行人荷載，研究了簡(jiǎn)支梁與行走行人的精細(xì)化相互作用模型。陳雋等采用無(wú)線(xiàn)測(cè)力鞋墊實(shí)測(cè)步行荷載，對(duì)大跨結(jié)構(gòu)豎向振動(dòng)反應(yīng)譜進(jìn)行了研究。宋志剛等從社會(huì)力模型角度和人橋相互作用的機(jī)理出發(fā)探索了人橋相互作用的動(dòng)力放大系數(shù)。人群荷載作為一種極為復(fù)雜的荷載形式，行人在結(jié)構(gòu)中的分布以及個(gè)體的行走特征差異都會(huì)引起人群荷載的不確定性，從而造成結(jié)構(gòu)響應(yīng)的隨機(jī)性。

鑒于人群荷載的不確定性，考慮從概率的角度對(duì)人群荷載下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行評(píng)估。近年來(lái)，李杰等提出了隨機(jī)結(jié)構(gòu)反應(yīng)的概率密度演化方法（Probability Density Evolution Method，PDEM），直接獲取隨機(jī)結(jié)構(gòu)反應(yīng)的概率密度函數(shù)及其隨時(shí)間變化的演化過(guò)程，這一基本思想為隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析和動(dòng)力可靠度問(wèn)題提供了新的途徑，并成功用于地震、波浪、高速鐵路等動(dòng)力荷載下結(jié)構(gòu)的隨機(jī)反應(yīng)分析和可靠度計(jì)算中。

本文基于概率密度演化理論，提出一種結(jié)構(gòu)在隨機(jī)人群荷載下動(dòng)力可靠度的計(jì)算方法。該方法綜合考慮了行人質(zhì)量、各行人到達(dá)時(shí)間以及步頻、步長(zhǎng)的隨機(jī)分布，得到響應(yīng)隨時(shí)間變化的概率密度函數(shù)，從而得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的動(dòng)力可靠度，以及任意時(shí)刻響應(yīng)相對(duì)于某一限值的超越概率，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)在隨機(jī)人群荷載下的振動(dòng)響應(yīng)評(píng)估。

1 人致振動(dòng)響應(yīng)的概率密度演化分析

隨機(jī)行人荷載下結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)概率密度函數(shù)（PDF）分析主要分成兩部分，第一部分對(duì)結(jié)構(gòu)在每一隨機(jī)變量組下進(jìn)行確定性響應(yīng)分析，其中變量組通過(guò)在隨機(jī)參數(shù)域內(nèi)的選點(diǎn)技術(shù)得到;第二部分利用差分技術(shù)計(jì)算響應(yīng)與隨機(jī)參數(shù)的聯(lián)合概率密度，并在安全域內(nèi)積分得到結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度。

1.1 確定性分析

評(píng)價(jià)人致振動(dòng)通常以結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)概率密度演化理論，以加速度變化率Y（θ_q，t）作為確定性響應(yīng)分析的待求未知量。

1.2 荷載響應(yīng)的概率密度分析及可靠度評(píng)價(jià)

2 行人步行荷載隨機(jī)性特征

個(gè)體的行走特征以及行人在結(jié)構(gòu)中的分布都存在一定的不確定性，本文考慮將行人步頻、步長(zhǎng)、體重和各行人的上橋時(shí)間間隔作為隨機(jī)變量。

2.1 步頻、步長(zhǎng)分布特征

對(duì)于行走特征參數(shù)分布，Zivanovi6提出應(yīng)該考慮個(gè)體間和個(gè)體內(nèi)部的差異性，個(gè)體間的差異性體現(xiàn)在每個(gè)人的步頻、步長(zhǎng)存在差異，個(gè)體內(nèi)部的差異體現(xiàn)在同一個(gè)人的每一步都是不同的。步頻和步長(zhǎng)可以看作是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且服從均值和標(biāo)準(zhǔn)差的正態(tài)分布，如圖1所示。

2.2 行人到達(dá)時(shí)間和體重分布

Matsumoto等提出行人到達(dá)步行橋的時(shí)間服從參數(shù)為λ的泊松分布，λ表示單位時(shí)間在結(jié)構(gòu)單位寬度內(nèi)的行人數(shù)量，即可以認(rèn)為行人上橋的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布

根據(jù)中國(guó)2010年國(guó)民體質(zhì)監(jiān)測(cè)公報(bào)，中國(guó)人的體重服從均值為62.8kg，標(biāo)準(zhǔn)差為10.9kg的正態(tài)分布，本文采用這一行人體重分布，表示為W-N（62.8，10.9²）。

3 數(shù)值計(jì)算過(guò)程

4 方法驗(yàn)證

為驗(yàn)證方法的有效性，類(lèi)似于單人單步的簡(jiǎn)諧荷載形式，分別采用Newmark法與概率密度演化方法計(jì)算簡(jiǎn)支梁在跨中作用單一簡(jiǎn)諧荷載時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)。

某簡(jiǎn)支梁跨長(zhǎng)11m，橫截面寬1.25m，高0.35m。梁的材料屬性為：剛度EI=2×10⁸N·m²，單位長(zhǎng)度的質(zhì)量m=1.364×10³kg/m，梁的模態(tài)阻尼比為ξ=0.3%，如圖2所示。在跨中作用簡(jiǎn)諧荷載F（t）=A·10²。sinnt，其中振幅A服從均勻分布U（50，350）N，荷載持時(shí)為20s。

利用Newmark法計(jì)算，當(dāng)A分別取50，100，150，200，250，300，350N時(shí)，得到跨中加速度、位移響應(yīng)分別如圖3（a）和（b）所示;圖4為采用概率密度演化方法得到的以概率密度為Z軸的動(dòng)力響應(yīng)PDF演化曲面。

兩種方法得到的0-20s動(dòng)力響應(yīng)峰值計(jì)算結(jié)果對(duì)比如表1所示。兩者響應(yīng)差值均較小，說(shuō)明PDEM理論適用于分布參數(shù)體系承受簡(jiǎn)諧荷載，且相比于Newmark確定性響應(yīng)分析，基于PDEM理論的方法可直接計(jì)算出任意時(shí)刻、任意響應(yīng)大小的發(fā)生概率。

5 行人荷載隨機(jī)性影響分析

分析上述簡(jiǎn)支梁在隨機(jī)單人荷載和隨機(jī)人群荷載下的振動(dòng)響應(yīng)，其中隨機(jī)人群荷載又分為考慮行人上橋時(shí)間隨機(jī)性和不考慮其隨機(jī)性?xún)煞N工況。步行特征隨機(jī)變量的概率分布信息如表2所示。

5.1 單人荷載

通過(guò)基于PDEM理論的人致振動(dòng)響應(yīng)概率分析，可得到任意時(shí)刻行人荷載下結(jié)構(gòu)跨中加速度響應(yīng)的概率密度分布。

行人從t=時(shí)刻開(kāi)始作用于簡(jiǎn)支梁上一端，利用顯式Newmark法和差分法求解加速度響應(yīng)變化率。以簡(jiǎn)支梁前三階響應(yīng)作為Y（θ，t），代入式（8）-（12）計(jì)算響應(yīng)概率密度演化及結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度。

對(duì)于單人荷載情況，采用選點(diǎn)技術(shù)對(duì)步頻、步長(zhǎng)及體重選取代表點(diǎn)，進(jìn)行隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)分析，得到響應(yīng)隨時(shí)間變化而形成的PDF演化曲面如圖5所示。

圖6表示典型時(shí)刻結(jié)構(gòu)響應(yīng)的概率密度函數(shù)，分別對(duì)應(yīng)時(shí)刻2.1，3.5，4.0和7.0s。可以看出，在各步行特征隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布時(shí)，簡(jiǎn)支梁各時(shí)刻響應(yīng)并不一定服從正態(tài)分布，如t=3.5s時(shí)簡(jiǎn)支梁響應(yīng)為非傳統(tǒng)分布類(lèi)型。

EN03人行橋設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為，人行橋的舒適度是否滿(mǎn)足要求應(yīng)根據(jù)人行橋設(shè)計(jì)等級(jí)和使用者希望達(dá)到的舒適度共同決定。給出不同舒適度限值標(biāo)準(zhǔn)下的動(dòng)力可靠度，如圖7所示，可以看出隨著閾值“Threshold”降低，可靠度值逐漸下降，且可靠度值隨時(shí)間變化呈現(xiàn)階梯狀的單向下降過(guò)程，符合吸收邊界條件使可靠度值“單向流失”的現(xiàn)象。

5.2 多人荷載

本文考慮兩種人群荷載工況，一種為各行人上橋時(shí)間為確定量，將行人步頻、步長(zhǎng)、體重作為人群荷載模型隨機(jī)變量;另一種設(shè)行人開(kāi)始作用于簡(jiǎn)支梁的時(shí)間間隔為隨機(jī)變量，且服從指數(shù)分布，同時(shí)考慮步頻、步長(zhǎng)、體重以及行人到達(dá)時(shí)間的隨機(jī)性。分別對(duì)簡(jiǎn)支梁跨中加速度響應(yīng)以及動(dòng)力可靠度進(jìn)行分析：

5.2.1 到達(dá)時(shí)間確定

假設(shè)行人間隔指定時(shí)間上橋，如圖8所示。取單人步頻、步長(zhǎng)和體重為隨機(jī)變量，并認(rèn)為采用選點(diǎn)技術(shù)對(duì)變量隨機(jī)取值所得到的概率密度演化函數(shù)，包含了人與人之間特征參數(shù)差異所造成的影響。

基于PDEM理論以及提出的隨機(jī)人群荷載模型，得到在指定時(shí)間上橋的人群作用下，簡(jiǎn)支梁跨中加速度響應(yīng)PDF演化曲面如圖9所示。

圖10為多人作用下結(jié)構(gòu)反應(yīng)典型時(shí)刻的概率密度曲線(xiàn)，分別對(duì)應(yīng)時(shí)刻3.5，4.0，7.0和10.0s。可以看出，跨中加速度響應(yīng)PDF較單人作用復(fù)雜，t=3.5s時(shí)為雙峰值，且不同于正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)、指數(shù)分布和Gama分布等傳統(tǒng)概率分布形式，響應(yīng)是隨時(shí)間變化的復(fù)雜的隨機(jī)演化過(guò)程。

圖11為各加速度限值條件下的動(dòng)力可靠度，可靠度值隨時(shí)間變化同樣呈現(xiàn)出階梯型的下降過(guò)程。且在t=13s后趨于穩(wěn)定，即在第5人上橋之后4s，響應(yīng)不會(huì)再出現(xiàn)相對(duì)于各限值的新的超越峰值，結(jié)構(gòu)在阻尼作用下響應(yīng)逐漸減小;且閾值越大可靠度趨于穩(wěn)定的時(shí)間越早，即限值越大響應(yīng)的超越概率相對(duì)越小。

5.2.2 到達(dá)時(shí)間隨機(jī)

單位時(shí)間內(nèi)的到達(dá)人數(shù)服從泊松分布，即認(rèn)為人群到達(dá)簡(jiǎn)支梁的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布式中 λ表示單位時(shí)間內(nèi)的到達(dá)人數(shù)，假設(shè)λ=0.5.

圖12為t=5s到t=25s響應(yīng)PDF演化曲面，可以看出，在行人逐漸離開(kāi)后，簡(jiǎn)支梁將發(fā)生自由振動(dòng)，且在阻尼的作用下響應(yīng)逐漸降為0.由圖12（b）可以看出，t=5-25s處響應(yīng)的概率取值不斷增大，即隨著自由振動(dòng)衰減，隨機(jī)變量對(duì)響應(yīng)的影響逐漸減小，響應(yīng)隨機(jī)性降低。

圖13表示行人到達(dá)時(shí)間為隨機(jī)變量時(shí)，各典型時(shí)刻的結(jié)構(gòu)響應(yīng)概率密度曲線(xiàn)，分別對(duì)應(yīng)時(shí)刻5.0，6.0，6.5，9.0，15.0和20.0s。相比于圖6單人作用，簡(jiǎn)支梁跨中加速度響應(yīng)PDF曲線(xiàn)分布范圍更廣，人群荷載下響應(yīng)的不確定性更大;同樣地，相比于圖10行人開(kāi)始作用于結(jié)構(gòu)的時(shí)間為確定量，人群荷載隨機(jī)變量的增多使得響應(yīng)的不確定性更顯著。

圖14為不同加速度限值條件下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度，在相同閾值“Threshold=0.05”，多人作用的動(dòng)力可靠度相比于圖7單人作用，下降速度更快。在相同閾值“Threshold=0.10”，增加行人到達(dá)時(shí)間隨機(jī)變量后，結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度穩(wěn)定值R=0.3165，小于圖11特定時(shí)間多人作用時(shí)的穩(wěn)定值R=0.4474，響應(yīng)不確定性增加導(dǎo)致結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度穩(wěn)定值減小。

6 結(jié)論

本文基于PDEM理論提出一種計(jì)算隨機(jī)人群荷載下結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度的方法，將其應(yīng)用于結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)評(píng)估中，并得到以下結(jié)論：

（1）綜合考慮了多重隨機(jī)人群荷載參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)及可靠度的影響，參數(shù)包括行人步頻、步長(zhǎng)、體重以及各行人的到達(dá)時(shí)間，得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)PDF演化曲面，可直觀分析任意時(shí)刻、任意響應(yīng)大小的發(fā)生概率，以及響應(yīng)相對(duì)于不同閾值的超越概率;

（2）相比于人群荷載，單人荷載下各典型時(shí)刻的PDF曲線(xiàn)分布更集中，動(dòng)力響應(yīng)的不確定性更小;人群荷載下動(dòng)力響應(yīng)是隨時(shí)間變化的更為復(fù)雜的隨機(jī)演化過(guò)程，將行人開(kāi)始作用于結(jié)構(gòu)的間隔時(shí)間設(shè)為隨機(jī)變量時(shí)，各典型時(shí)刻的PDF曲線(xiàn)較不考慮間隔時(shí)間隨機(jī)性時(shí)離散性更大，響應(yīng)的不確定性也更大;

（3）不同閾值條件下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度均呈現(xiàn)階梯狀下降過(guò)程，且閾值越大曲線(xiàn)趨于穩(wěn)定的時(shí)間越早;相比于單人荷載，同一閾值下，多人作用的動(dòng)力可靠度呈現(xiàn)出更陡的下降過(guò)程;增加隨機(jī)變量個(gè)數(shù)動(dòng)力可靠度的穩(wěn)定值減小。

考慮步頻、步長(zhǎng)、體重，以及行人到達(dá)時(shí)間等參數(shù)隨機(jī)性的荷載模型更接近實(shí)際步行荷載，有必要對(duì)結(jié)構(gòu)在隨機(jī)人群荷載下的振動(dòng)響應(yīng)以及舒適度問(wèn)題進(jìn)行研究。