單衛(wèi)東，臧朝平，張根輩，王平，鄒亞晨，倪徳

(1.南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院，江蘇 南京 210016； 2.中國航發(fā)動(dòng)力機(jī)械研究所，湖南 株洲 412002)

0 引言

模態(tài)分析理論和參數(shù)識別方法是模態(tài)參數(shù)識別的重要組成部分。由于準(zhǔn)確、可靠地識別出結(jié)構(gòu)的非線性模態(tài)參數(shù)難度較大，當(dāng)前的模態(tài)分析和參數(shù)識別方法主要基于線性模型[1-2]，對于系統(tǒng)中的非線性常常忽略或者作為不確定性來處理。然而大多數(shù)的非線性結(jié)構(gòu)并不能完全忽略其中的非線性，當(dāng)作不確定性來處理也會帶來很多誤差。因此，建立一個(gè)準(zhǔn)確、可靠的非線性模態(tài)參數(shù)識別方法是十分重要的。

非線性模態(tài)測試方法(nonlinear modal testing，NLMT)的研究在近年來取得了一定進(jìn)展。臧朝平等[3-4]提出了分別用恒定位移幅值下的正弦激勵(lì)識別非線性剛度參數(shù)和恒定速度幅值下的正弦激勵(lì)來識別非線性阻尼參數(shù)的方法。CARRELLA等[5]提出了從測量的頻響函數(shù)識別和量化工程結(jié)構(gòu)中非線性的復(fù)頻響函數(shù)法。

本文在文獻(xiàn)[3-5]的基礎(chǔ)上，提出在任意給定的速度響應(yīng)幅值處，阻尼為常數(shù)，即將阻尼比描述成與速度幅值相關(guān)的參數(shù)，并引入加速度頻響、速度頻響、位移頻響函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，利用位移頻響函數(shù)識別出與位移幅值相關(guān)的固有頻率，利用速度頻響函數(shù)識別出與速度幅值相關(guān)的阻尼比。通過非線性系統(tǒng)的仿真測試，驗(yàn)證該方法既能夠檢測出系統(tǒng)的剛度非線性，也能檢測出阻尼非線性，且識別的非線性模態(tài)參數(shù)足夠精確。

1 結(jié)構(gòu)非線性模態(tài)參數(shù)辨識方法

1.1 非線性模態(tài)參數(shù)的線性等效

對于單自由度非線性系統(tǒng)，在受到簡諧力的作用時(shí)，運(yùn)動(dòng)微分方程為：

(1)

通過步進(jìn)正弦掃頻信號激勵(lì)后，可以將系統(tǒng)的位移頻響函數(shù)定義為：

(2)

1.2 非線性模態(tài)固有頻率識別

在任意給定的位移響應(yīng)幅值處，存在一對點(diǎn)來定義相同的位移頻響函數(shù)，如圖1所示。如果不能直接測量得到位移幅值，可以通過位移頻響函數(shù)乘以力來得到響應(yīng) ，即X(ω)=Hd×F。

圖1 位移幅值線性化

在每個(gè)給定位移響應(yīng)幅值下，可以通過一對對稱的位移FRF點(diǎn)來定義位移頻響函數(shù)的實(shí)部和虛部。

(3)

由式(3)可以得到與位移響應(yīng)幅值相關(guān)的固有頻率：

(4)

通過截取位移響應(yīng)峰值兩端對稱的位移頻響函數(shù)點(diǎn)，可以建立起固有頻率與位移幅值、激勵(lì)力幅值之間的對應(yīng)關(guān)系：

ωr=f(X,F)

(5)

1.3 非線性模態(tài)阻尼比識別

圖2 速度幅值線性化

在每個(gè)給定速度響應(yīng)幅值下，可以通過一對對稱的速度FRF點(diǎn)來定義速度頻響函數(shù)的實(shí)部和虛部。

(6)

由式(6)可以得到與速度幅值相關(guān)的模態(tài)損失因子：

(7)

其中模態(tài)損失因子是模態(tài)阻尼比2倍的關(guān)系ηr≈2ξ。

通過截取速度幅值兩端對稱的速度頻響函數(shù)點(diǎn)，即可以建立起阻尼比與速度幅值、激勵(lì)力幅值之間的對應(yīng)關(guān)系：

(8)

2 非線性模態(tài)分析方法的仿真測試

2.1 非線性與線性系統(tǒng)的仿真驗(yàn)證

將上述方法分別應(yīng)用于線性和非線性系統(tǒng)(同時(shí)包含剛度非線性項(xiàng)和阻尼非線性項(xiàng))，對系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析來驗(yàn)證該方法的有效性。這里選用一個(gè)同時(shí)帶立方剛度和平方阻尼的非線性單自由度系統(tǒng)，來與線性系統(tǒng)(其中knl=0，cnl=0)進(jìn)行對比，其他仿真取值都一樣,非線性系統(tǒng)的表達(dá)式如下：

(9)

在激勵(lì)力幅值為0.2N、0.4N、1N時(shí)，線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的位移響應(yīng)如圖 3和圖4所示。隨著激勵(lì)力幅值的增大，線性系統(tǒng)的位移響應(yīng)峰值對應(yīng)的頻率不發(fā)生變化，而非線性系統(tǒng)的位移響應(yīng)峰值對應(yīng)的頻率發(fā)生了明顯的變化，即所謂的“頻移”現(xiàn)象，這是非線性的表現(xiàn)。

圖3 線性系統(tǒng)位移響應(yīng)

圖4 非線性系統(tǒng)位移響應(yīng)

對線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的位移頻響函數(shù)進(jìn)行分析，可以識別出非線性模態(tài)參數(shù)：與位移幅值相關(guān)的固有頻率。如圖5和圖6所示，隨著激勵(lì)力幅值的增大，位移幅值逐漸增大，線性系統(tǒng)的固有頻率隨著位移幅值的增大保持不變，而非線性系統(tǒng)的固有頻率隨著位移幅值增大而增大。固有頻率的變化反映出非線性系統(tǒng)包含的非線性剛度因素。

圖5 線性系統(tǒng)固有頻率隨位移幅值的變化

圖6 非線性系統(tǒng)固有頻率隨位移幅值變化

對線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的速度頻響函數(shù)進(jìn)行分析，可以識別出非線性模態(tài)參數(shù)與速度幅值相關(guān)的阻尼比。如圖7和圖8所示，隨著激勵(lì)力幅值的增大，速度幅值逐漸增大，線性系統(tǒng)的阻尼比隨著速度幅值的增大保持不變，而非線性系統(tǒng)的阻尼比隨速度幅值的增大而增大。阻尼比的變化反映出非線性系統(tǒng)中包含的非線性阻尼因素。

圖7 線性系統(tǒng)阻尼比隨速度幅值的變化

圖8 非線性系統(tǒng)阻尼比隨速度幅值的變化

2.2 非線性剛度函數(shù)的提取

將諧波平衡法應(yīng)用到運(yùn)動(dòng)方程

(10)

求得等效剛度的表達(dá)式：

(11)

式中X是響應(yīng)的幅值。通過式(3)可以發(fā)現(xiàn)等效剛度是從一個(gè)恒定值(底層線性系統(tǒng))開始，與位移幅值2次方的關(guān)系開始增加。通過上面非線性模態(tài)識別方法，基于仿真分析得到位移頻響函數(shù)，可以提取得到系統(tǒng)固有頻率隨位移幅值的變化，求得非線性等效剛度的表達(dá)式：

(12)

如圖9所示，在激勵(lì)幅值為1N時(shí)，通過非線性模態(tài)參數(shù)識別方法(CFRF)提取的等效剛度函數(shù)與諧波平衡法(HBM)的對比，誤差不超過0.5%。因此，本方法能精確地識別出非線性系統(tǒng)的剛度函數(shù)。

圖9 仿真提取剛度函數(shù)與諧波平衡法的對比

2.3 非線性阻尼函數(shù)的提取

類似地，將諧波平衡法應(yīng)用到運(yùn)動(dòng)方程：

(13)

求得等效阻尼的表達(dá)式：

(14)

穩(wěn)態(tài)速度響應(yīng)的幅值近似為：

V=ωX

(15)

則有：

(16)

通過上式可以發(fā)現(xiàn)等效阻尼與速度幅值呈線性的關(guān)系。通過上面非線性模態(tài)識別方法，基于仿真分析得到速度頻響函數(shù)，可以提取得到系統(tǒng)阻尼比隨速度幅值的變化，求得非線性等效阻尼的表達(dá)式：

(17)

如圖10所示，在激勵(lì)幅值為1N時(shí)，通過CFRF提取的等效阻尼函數(shù)與HBM的對比，誤差不超過1%。因此，本方法能準(zhǔn)確地識別出非線性系統(tǒng)的阻尼函數(shù)。

圖10 仿真提取阻尼函數(shù)與諧波平衡法的對比

3 結(jié)語

本文提出了基于頻響函數(shù)識別結(jié)構(gòu)非線性模態(tài)參數(shù)的方法。主要得到以下結(jié)論：

1) 基于等效線性化理論，通過標(biāo)準(zhǔn)的模態(tài)試驗(yàn)，可以識別和量化系統(tǒng)的非線性模態(tài)參數(shù)，具有重要的工程實(shí)用價(jià)值。

2) 通過非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的仿真對比，驗(yàn)證該方法既可以檢測系統(tǒng)的剛度非線性，也可檢測阻尼非線性。

3) 通過非線性模態(tài)參數(shù)提取的非線性等效剛度和阻尼函數(shù)，與諧波平衡法的結(jié)果誤差均在1%以內(nèi)，驗(yàn)證了該方法識別非線性模態(tài)參數(shù)的精確性。