付宏偉，曾梅蘭，繆彬彬

(湖北工程學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感 432000)

當(dāng)前，“大眾創(chuàng)業(yè)，萬(wàn)眾創(chuàng)新”已經(jīng)上升為國(guó)家戰(zhàn)略。那么如何激發(fā)全社會(huì)的創(chuàng)新活力呢？實(shí)際上，高校開(kāi)設(shè)的“數(shù)值實(shí)驗(yàn)”就是一門能激發(fā)學(xué)生想象力和創(chuàng)造力的課程。它改變了傳統(tǒng)課堂教師“唱獨(dú)角戲”的模式，提高了學(xué)生在教與學(xué)過(guò)程中的主體地位，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情在實(shí)驗(yàn)中得到了充分地發(fā)揮，極大地促進(jìn)了學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。

非線性方程的求解問(wèn)題在工程技術(shù)領(lǐng)域、自然科學(xué)和社會(huì)現(xiàn)象的研究等方面有著廣泛的應(yīng)用。本文通過(guò)精心設(shè)計(jì)，將非線性方程求根的不動(dòng)點(diǎn)迭代法這一數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)化為一個(gè)創(chuàng)新教學(xué)實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目[1]，讓學(xué)生在“做”中“學(xué)”，促進(jìn)學(xué)生更深入地理解運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)迭代法在求解非線性方程的適用條件、迭代函數(shù)和初始值的選取、迭代格式建立的重要性，并通過(guò)具體實(shí)驗(yàn)的方式對(duì)其關(guān)鍵步驟進(jìn)行直觀的比較和說(shuō)明，以此驗(yàn)證算法的有效性。

1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙?/h2>

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模豪斫獠粍?dòng)點(diǎn)迭代法的基本原理；掌握迭代函數(shù)以及初值的選取對(duì)收斂性的影響。

實(shí)驗(yàn)要求：掌握不動(dòng)點(diǎn)迭代法求非線性方程的根的編程技巧。

2 實(shí)驗(yàn)原理

在1909年，荷蘭數(shù)學(xué)家布勞維首先提出不動(dòng)點(diǎn)理論[2]。波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫(Banach)于1922年提出了壓縮映像原理[3]，給出了Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，發(fā)展了迭代思想。

不動(dòng)點(diǎn)迭代法又稱簡(jiǎn)單迭代法，它是一種逐步逼近的思想，首先把非線性方程f(x)=0變換為等價(jià)方程

x=φ(x)

(1)

其中，φ(x)稱為迭代函數(shù)。 然后，建立迭代格式(2)，產(chǎn)生迭代序列{xk}，在一定條件下，序列{xk}收斂于根x*。

xk+1=φ(xk)，k=0，1，2，…

(2)

在{xk}收斂的情況下，當(dāng)k充分大時(shí)，就可以取xk作為方程的近似根。 不動(dòng)點(diǎn)迭代法有下面的非局部收斂定理，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[4-6]等。

定理1[6](不動(dòng)點(diǎn)收斂定理) 設(shè)迭代函數(shù)φ(x)∈C[a，b]，且滿足下面兩個(gè)條件：

(i) 若x∈[a，b]，有φ(x)∈[a，b]；

(ii) 存在常數(shù)0

那么，在區(qū)間[a，b]存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)x*，且對(duì)于任意的初始值x0∈[a，b]，迭代法(2)產(chǎn)生的序列{xk}都收斂于x*。

定理1不動(dòng)點(diǎn)唯一性的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[4]，下面我們用壓縮映像原理來(lái)證明其收斂性。

證明 由不動(dòng)點(diǎn)唯一性，知：x*=φ(x*)，于是，

|xk+1-x*|=|φ(xk)-φ(x*)|=|φ'(ξ)||xk-x*|

≤L|xk-x*|≤…≤Lk|x0-x*| ，ξ介于xk與x*之間，

即對(duì)于任意的初始值x0∈[a，b]，迭代法(2)產(chǎn)生的序列{xk}都收斂于x*。

注 如果在區(qū)間[a，b]內(nèi)|φ'(x)|≥1，則對(duì)任意的x0∈[a，b]，迭代格式(2)均發(fā)散。

定理2[4](局部收斂定理)設(shè)φ(x)在方程x=φ(x)的根x*的鄰近有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且有

|φ'(x*)|<1，

則迭代過(guò)程xk+1=φ(xk)在x*附近具有局部收斂性。

注意定理1與2的使用條件，我們通過(guò)下面的兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。

分析 這里0≤|f'(x)|≤1，但是我們不能找到常數(shù)0

證明 先證數(shù)列{xn}是單調(diào)的。

由于

xn+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=f'(ξ)(xn-xn-1)，ξ介于xn-1與xn之間，

又f'(ξ)≥0，故xn+1-xn與xn-xn-1同號(hào)，從而，數(shù)列{xn}單調(diào)。

再證{xn}有界。由

得證。

例2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導(dǎo)，f(a)<0，f(b)>0，且對(duì)于x∈[a，b]，有f'(x)>0，f''(x)>0。又對(duì)于數(shù)列{xn}，滿足

證明：(i) 方程f(x)=0在(a，b)內(nèi)恰有一個(gè)根ξ；

證明 (i) 由于f(a)f(b)<0，則存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=0。

又由f'(x)>0，知：f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，故

f(x)=0在(a，b)內(nèi)恰有一個(gè)根ξ。

那么， |φ'(ξ)|<1，根據(jù)局部收斂定理2，迭代格式

3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

用不動(dòng)點(diǎn)迭代法求方程f(x)=x3-x-1=0在區(qū)間[1，2]內(nèi)的一個(gè)根。

(i) 選取迭代函數(shù)。這里選取兩個(gè)迭代函數(shù)：

進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。

(ii) 建立不動(dòng)點(diǎn)迭代的M函數(shù)。

function [x，k]=fixedpoint(phi，x0，eps，N)

%不動(dòng)點(diǎn)迭代法的M函數(shù)

k=1;

x=feval(phi，x0);

while abs(x-x0)>eps && k

x0=x;

x=feval(phi，x0);

k=k+1;

end

(iii)在命令行窗口輸入以下程序并運(yùn)行。

[x，k]=fixedpoint(inline('(x+1)^(1/3)')，1.5，10^(-5)，100)

運(yùn)行結(jié)果為：x=1.3247，k=7

[x，k]=fixedpoint(inline('x^3-1')，1.5，10^(-5)，100)

運(yùn)行結(jié)果為： x=Inf，k= 9

4 結(jié)果討論

用不動(dòng)點(diǎn)迭代法求方程f(x)=x3-x-1=0在區(qū)間[1，2]內(nèi)的根。 對(duì)于迭代函數(shù)

當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，有φ1(x)∈[1，2]，且

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)設(shè)計(jì)數(shù)值實(shí)驗(yàn)教學(xué)，落實(shí)以學(xué)生為中心的教育理念[7-8]，培養(yǎng)學(xué)生編程能力和科學(xué)計(jì)算能力。 將自主創(chuàng)新的科學(xué)理念融入到學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活實(shí)踐中，讓學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)到“做數(shù)學(xué)”的樂(lè)趣，激發(fā)學(xué)生探索科學(xué)問(wèn)題的熱情，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。