魯建全

(鄭州外國語學(xué)校,河南 鄭州 450001)

1 問題的提出

圖1

例1.如圖1所示,兩個滑輪位于同一高度(忽略大小),兩根不可伸長的細(xì)繩繞過滑輪把可視為質(zhì)點的小球P懸掛,通過拉滑輪兩端的繩使小球運動起來．運動一段時間后某一時刻,A、B端拉繩的速度分別為1 m/s，2 m/s.連接P的兩段繩與豎直方向夾角均為30°,兩繩均處于拉直狀態(tài),此時小球P的速度

(A)v>2 m/s. (B)v=2 m/s.

(C) 1 m/s

該題是筆者自編的一道高三練習(xí)題,旨在考察學(xué)生對運動的合成和分解掌握情況,尤其是對繩端速度問題的分析和應(yīng)用.結(jié)果全班學(xué)生無一答對,這個結(jié)果令人深思.

圖2

錯解原因:小球P速度并不是兩個沿繩方向的拉繩速度的合成.

圖3

我們可以舉一個簡單的例子來說明.如圖3所示,兩只狗通過兩根繩沿同一方向拉雪橇,兩只狗的速度均為5 m/s,問雪橇的速度是多少?

我們會不假思索地說出雪橇的速度也是5 m/s,可見雪橇的速度并不是兩個沿繩方向的拉繩速度的合成.

兩只狗若拉繩的力均為50 N,雪橇受拉力的合力確實是100 N,怎么理解?

若繩端運動方向不沿繩方向,則沿繩方向分速度相等.

由于力和速度的變化相對應(yīng),和速度并無直接關(guān)系,所以兩只狗的拉力與雪橇受總拉力的關(guān)系,并不適用于兩只狗的速度與雪橇速度的關(guān)系,而適用于在同一段時間內(nèi),兩只狗單獨作用引起的速度變化與共同作用引起的速度變化的關(guān)系.

圖4

什么情況下可以應(yīng)用速度的合成呢?我們再舉一個簡單的例子.如圖4所示,公交車向前的速度是5 m/s,人在公交車上向前走動的速度是3 m/s,問人對地的速度是多少.

這時人對地的速度才是車速和人在公交車上速度的合速度為8 m/s.

繩端速度問題該如何解決呢?

2 解決問題

圖5

對于一根長度不變的輕繩,拉緊狀態(tài)下,如果繞過定滑輪,繩兩端速度都分解為沿繩和垂直繩方向,由于繩長不變,繩兩端沿繩方向的分速度相等.如圖5所示,設(shè)P的速度大小為vP,方向與PB夾角α.

研究PB繩,繩端沿繩方向分速度相等,有vPcosα=vB=2 m/s.

研究PA繩,繩端沿繩方向分速度相等,有vPcos(60°-α)=vA=1 m/s,得

cosα=2cos(60°-α)=

2(cos60°cosα+sin60°sinα)=

說明此時小球P速度大小等于B端拉繩的速度,速度方向恰好沿PB方向.(B)對.

另外，當(dāng)代網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、現(xiàn)代信息技術(shù)的不斷發(fā)展與進步更是提高了大學(xué)生流行語的傳播速度。QQ軟件、微博、微信等各種app的發(fā)明和使用，也更擴大了流行語在校園中甚至在當(dāng)代社會中的傳播途徑，使得大學(xué)生流行語更為流行。

方法2:畫矢量圖法.

圖6

如圖6所示,小球P速度矢量可分解為沿PA方向和垂直PA方向,沿PA方向分速度為1 m/s,所有滿足條件的速度矢量為由P指向CD虛線.同理,小球P速度矢量也可分解為沿PB方向和垂直PB方向,沿PB方向分速度為2 m/s,所有滿足條件的速度矢量為由P指向EF虛線.二者同時滿足時,速度矢量為由P指向CD與EF的交點,此交點恰好在PB線上.可知P速度大小為2 m/s,方向沿PB方向.如圖所示.(B)對.

圖7

方法3:微元法.

圖8

如圖8所示,設(shè)經(jīng)過一段時間Δt,PA繩縮短PP1=vAΔt,繩端P所有可能的位置是以A為圓心,以P1A為半徑的圓弧上,PB繩縮短PP2=vBΔt,繩端P所有可能的位置是以B為圓心,以P2B為半徑的圓弧上,小球P的實際位置為兩個圓弧的交點P′，如圖所示.線段PP′=vPΔt,表示Δt時間內(nèi)小球P的位移，也是Δt時間內(nèi)的平均速度的方向.當(dāng)Δt→0時,P1P′遠(yuǎn)小于半徑P1A,P1P′弧可視為直線,這時P2P′弧長趨近于0,可見P′落在PB上.所以小球P瞬時速度方向指向PB方向,速度大小vP=vB.(B)對.

3 引發(fā)的思考

思考1:小球P的速度方向若指向PA、PB之外,在真實情景中能否發(fā)生?

根據(jù)方法2中矢量圖6,該時刻P瞬時速度方向理論上討論如下.

當(dāng)vB→∞時,P速度方向趨近于與PB夾角30°,這是P可能速度方向的右邊界.

當(dāng)vB>2 m/s時,P的速度方向指向PB之外.

當(dāng)vB=2 m/s時,P的速度方向指向PB.

當(dāng)0.5 m/s

當(dāng)vB=0.5 m/s時,P的速度方向指向PA.

當(dāng)vB<0.5 m/s時,P的速度方向指向PA之外.

當(dāng)vB=0時,P速度方向與PA夾角30°,這是P可能速度方向的左邊界.

圖9

通過作圖軟件,得到了當(dāng)vA=1 m/s,vB分別取不同值,并且以后保持不變,小球P以后的運動軌跡.如圖9所示．軌跡在P處的切線方向即為小球P此時的速度方向.

從左到右,vB分別為(單位:m/s)0.05、0.25、0.5、0.75、1.0、1.5、2.0、4.0、20.

可見,在理論上小球P此時的速度方向有可能指向PA、PB之外的.

需要注意的是,小球P不是在該位置從靜止開始運動的,而是在該時刻前已經(jīng)在運動,運動到此位置時已經(jīng)具有了速度.

圖10

在兩繩拉力和重力作用下,小球P速度方向怎么可能偏向兩繩之外呢?在狗拉雪橇的分析中可知,力的方向與速度方向沒有直接關(guān)系,與速度變化率(即加速度)的方向?qū)?yīng)．即小球P所受3個力合力的方向與極短時間內(nèi)小球P速度變化量Δv的方向一致,如圖10所示.

我們可以實際做做這個實驗.

找兩根繩,中間系一重物P,找兩個合適的掛鉤固定在墻上．當(dāng)一端A用手拉著不動時,另一只手拉著B慢慢拉動,此時B的速度雖然小,但符合vB遠(yuǎn)大于vA情形．我們發(fā)現(xiàn)重物P在以A為圓心做圓周運動,當(dāng)運動到題中位置時,速度沿圓的切線方向,指向A、B繩所夾區(qū)域的外側(cè)．我們還可以改變拉或放A、B繩的快慢,重物P可做不同的運動,甚至可以讓它在水平方向往復(fù)運動．若拉繩速度過大,可能導(dǎo)致某根繩松弛,這時原來的速度關(guān)系就不成立了.

2013年上海高考第20題與本題相似.

圖11

例2.如圖11為在平靜海面上,兩艘拖船A、B拖著駁船C運動的示意圖.A、B的速度分別沿著纜繩CA、CB方向,A、B、C不在一條直線上.由于纜繩不可伸長,因此C的速度在CA、CB方向的投影分別與A、B的速度相等,由此可知C的

(A) 速度大小可以介于A、B的速度大小之間.

(B) 速度大小一定不小于A、B的速度大小.

(C) 速度方向一定在CA和CB的夾角范圍外.

(D) 速度方向一定在CA和CB的夾角范圍內(nèi).

通過對上題的分析,此題正確答案選(B)就在情理之中了.

思考2:若滑輪為動滑輪時,繩端速度又有什么關(guān)系呢?

圖12

例3.如圖12所示,水平豎直細(xì)桿固定,桿上分別套有小環(huán)A、B,一根不可伸長的細(xì)繩一端系在水平桿右端O點,另一端穿過水平桿上的小環(huán)B,系在套在豎直桿上的小環(huán)A上.開始時小環(huán)B位于小環(huán)A的正上方,A、B間距離為h,繩子處于拉直狀態(tài).當(dāng)拉著A向下以速度vA勻速運動時,細(xì)線帶著小環(huán)B在水平桿上向右運動.求

(1) 當(dāng)細(xì)線與豎直桿夾角為θ時,小環(huán)B的速度vB;

(2) 判斷小環(huán)B的運動性質(zhì).

圖13

解析: (1) 方法1:微元法.

設(shè)經(jīng)一段時間Δt(Δt→0),如圖13所示,A移動到A′,位移vAΔt,B移動到B′,位移vBΔt,過A做AB平行且相等的線段AC,過B做AC的垂線垂足為D,由幾何關(guān)系可得

方法2:相對運動法.

(2) 取兩桿拐角處為坐標(biāo)原點,向右為x軸正方向.經(jīng)時間t,A位移vAt,B位置坐標(biāo)為x,斜繩長為h+x,有(h+x)2=x2+(h+vAt)2.得

通過本題可以發(fā)現(xiàn),水平繩端點O速度一直為0.很明顯,滑輪運動時,繩兩端速度沿繩方向的分量就不再相等.這時我們選滑輪為參考系,繩兩端相對滑輪速度沿繩方向的分量就相等了.若不換參考系,抓住繩長不變建立關(guān)系就非常關(guān)鍵了.

4 繩拉物體運動模型的應(yīng)用

圖14

位于貴州的大型射電天文望遠(yuǎn)鏡FAST,球面反射天線直徑達500 m,觀測不同方向的天體時,接收反射電磁波的饋源倉就需要移動到不同的位置.饋源倉借助周圍高塔上的6根牽引繩懸吊在空中.6根牽引繩另外一端連在精密牽引電機上.6組電機牽拉著繩端按設(shè)計好的速度同步收或放牽引繩,就可控制饋源倉按設(shè)計要求運動了.如圖14所示.

為了簡單起見,簡化三根纜繩在二維平面上牽引饋源倉,情景如下.

圖15

如圖15所示,平面直角坐標(biāo)系中,3個定滑輪的坐標(biāo)分別為A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC).通過3個定滑輪的牽引繩拉著饋源倉P,假設(shè)牽引繩一直是繃直狀態(tài).若要饋源倉P繞著定點D(xD,yD)做半徑為r,角速度為ω的勻速圓周運動,3根牽引繩的的PA部分、PB部分和PC部分長度LA、LB及LC應(yīng)按什么規(guī)律變化呢?電機拉繩的速度又應(yīng)按什么規(guī)律變化呢?

設(shè)t=0時,饋源倉P位置坐標(biāo)(xD,yD-r)逆時針旋轉(zhuǎn).t時刻,P位置坐標(biāo)為

x=xD+rsinωt，

y=yD-rcosωt.

把x、y代入得

圖16

取正三角形ABC邊長為100,圓心D位于三角形中心,半徑r=30,饋源倉到3個定滑輪的長度LA、LB及LC隨時間的變化規(guī)律如圖16所示.3個長度對時間求導(dǎo),即可得到電機牽引纜繩的速度隨時間的變化規(guī)律.

射電天文望遠(yuǎn)鏡FAST的饋源倉由6根纜繩牽引,可在三維空間移動.真實環(huán)境中還要考慮纜繩在重力作用下的彎曲及形變,通過纜繩牽引實現(xiàn)對饋源倉高精度的控制,對FAST團隊的挑戰(zhàn)還是很大的.

5 感悟

以上是筆者對速度的合成及力的合成的粗淺的認(rèn)識．隨著研究的深入,困惑也越來越多,感覺到其中的物理的本質(zhì)并沒有理解透徹．希望物理同仁們一起研究,用更好的方法,更精煉的語言,挖透其中蘊含的深刻的物理本質(zhì).