廉志斌

(山東省平邑縣第一初級(jí)中學(xué)，山東 平邑 273399)

2020屆湖北八校高三第一次聯(lián)考題中的第21題,是一道構(gòu)思精巧的創(chuàng)新試題,能很好地考查學(xué)生的作圖、分析、推理等多種能力．但是,命題者給出的解析及參考答案值得商榷．本文對(duì)命題者給出的解析結(jié)果的物理真實(shí)性做定量討論,指出了存在的錯(cuò)誤,并給出一種簡(jiǎn)潔的求解方法.

1 題目及原題解析

圖1 題目示意圖

例題.如圖1所示,半徑為R的圓是圓柱形區(qū)域的橫截面,c為圓心,∠acb=60°,在圓上a點(diǎn)有一粒子源能以相同的速率向圓面內(nèi)各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子,柱形區(qū)域內(nèi)存在平行于圓面的勻強(qiáng)電場(chǎng),粒子從電場(chǎng)射出的最大動(dòng)能是初動(dòng)能的4倍,經(jīng)過(guò)b的粒子在b點(diǎn)的動(dòng)能是初動(dòng)能的3倍,已知初動(dòng)能為Ek,不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用,下列選項(xiàng)可能正確的有

(C) 電場(chǎng)強(qiáng)度方向從a到b.

(D) 電場(chǎng)強(qiáng)度方向從a到c.

圖2 解析示意圖

原解析:設(shè)電場(chǎng)方向與ab線(xiàn)的夾角為θ,離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)動(dòng)能最大的粒子的射出點(diǎn)和c點(diǎn)的連線(xiàn)一定和電場(chǎng)方向平行,如圖2所示.

在粒子從a運(yùn)動(dòng)到b的過(guò)程中由動(dòng)能定理有

qERcosθ=2Ek.

對(duì)離開(kāi)電場(chǎng)時(shí)動(dòng)能最大的粒子在電場(chǎng)中由動(dòng)能定理有

由以上兩式解得

上述命題者給出的解析,貌似邏輯嚴(yán)密,無(wú)懈可擊．但是,物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)解析結(jié)果,有時(shí)會(huì)出現(xiàn)增根,只有對(duì)解析結(jié)果的物理真實(shí)性作進(jìn)一步討論,才能確定解析結(jié)果的物理真實(shí)性和正確性.

2 對(duì)原解析的兩種結(jié)果的物理真實(shí)性的討論

(1) 求解從b點(diǎn)出射的粒子的初速度方向.

圖3 電場(chǎng)方向與ab同向時(shí)

初速度方向沿ab方向,并做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)b,很顯然符合題目情景.

(2) 求解以最大動(dòng)能出射的粒子的初速度方向.

以最大動(dòng)能出射的粒子,一定在過(guò)圓心c點(diǎn)的電場(chǎng)線(xiàn)與圓的交點(diǎn)P點(diǎn)出射,如圖3所示．以a點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),電場(chǎng)線(xiàn)方向?yàn)閥軸,設(shè)粒子的初速度方向與x軸的夾角為α．在x方向有

vcosα·t=Rsin60°.

(1)

在y方向有

(2)

(3)

解得

(4)

由上述分析可見(jiàn),(A)、(C)選項(xiàng)的物理真實(shí)性和正確性毋庸置疑.

圖4 從b點(diǎn)出射的粒子的分析

(1) 求解從b點(diǎn)出射的粒子的初速度方向.

以a點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),電場(chǎng)線(xiàn)方向?yàn)閥軸,設(shè)從b點(diǎn)出射的粒子的初速度方向與x軸的夾角為α,如圖4所示．在x方向上有

vcosα·t=Rsinθ.

(5)

在y方向有

(6)

(7)

顯然(7)式中Δ<0,所以tanα無(wú)解,說(shuō)明此條件下粒子不會(huì)從b點(diǎn)出射．即(B)選項(xiàng)錯(cuò)誤.

(2) 求解以最大動(dòng)能出射的粒子的初速度方向.

以最大動(dòng)能出射的粒子,一定在過(guò)圓心c點(diǎn)的電場(chǎng)線(xiàn)與圓的交點(diǎn)P點(diǎn)出射,如圖5所示．設(shè)其初速度方向與x軸的夾角為α．在x方向有

vcosα·t=Rcos(θ-30°).

(8)

在y方向有

(9)

由(8)、(9)式并化簡(jiǎn)得

(10)

(10)式中,由于Δ<0,所以tanα也無(wú)解,說(shuō)明此條件下粒子不會(huì)從P點(diǎn)出射．即(B)選項(xiàng)錯(cuò)誤.

圖5 以最大動(dòng)能出射的粒子的分析

下面筆者給出一種簡(jiǎn)潔的分析方法,供參考.

3 作圖找等勢(shì)線(xiàn)分析法

圖6 作圖尋找等勢(shì)點(diǎn)分析

根據(jù)題意,粒子從a運(yùn)動(dòng)到b的過(guò)程中電場(chǎng)力做的功與粒子從a到運(yùn)動(dòng)到P(粒子以最大的能從電場(chǎng)出射的位置)的過(guò)程中電場(chǎng)力的功之比是2∶3,因此在ab延長(zhǎng)線(xiàn)上找ad=1.5R的點(diǎn)d,過(guò)d點(diǎn)做圓的切線(xiàn),切點(diǎn)P就是與d點(diǎn)等勢(shì)的點(diǎn),dP線(xiàn)就是等勢(shì)線(xiàn),由電場(chǎng)線(xiàn)和等勢(shì)面的關(guān)系知cP方向就是電場(chǎng)方向,如圖6所示.

顯然,作圖找等勢(shì)線(xiàn)分析法,既簡(jiǎn)潔又準(zhǔn)確,不會(huì)出現(xiàn)增根.