余建國

例 （2016年高考山東文科卷）設(shè)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.

（1）令g(x)=f'(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知f(x)在x=1 處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解析

（1）由于f'(x)=lnx-2a(x-1)，所以g(x)=lnx-2a(x-1).

①當(dāng)a≤0時，因?yàn)閤∈(0,+∞)，所以g'(x)＞0，g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a＞0時，當(dāng)時，g'(x)＞0，g(x)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，g'(x)＜0，g(x)在上單調(diào)遞減.

（2）f'(x)=lnx-2a(x-1),f'(1)=0.

①當(dāng)a≤0時，當(dāng)x∈(0,1)時，f'(x)＜0；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f'(x)＞0.所以，當(dāng)x=1時，f(x)取得極小值，不合題意.

敲黑板

觀察第(1)小題：函數(shù)g(x)含參數(shù)，想到了什么？對，分類討論！

敲黑板

可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f'(x0)=0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f'(x)的符號不同．也就是說，若已知可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處取得極值，則必有f'(x0)=0，利用這個方程就能求出一個參數(shù)的值．

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

反思為什么是2a與1比較大小呢？

這要從課本上的一道習(xí)題說起：用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式ex≥1+x，并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證.函數(shù)y=ex在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y=x+1，除切點(diǎn)外，函數(shù)y=ex的圖象均在該切線的上方，如圖1.

圖1

對不等式ex≥x+1 兩邊取對數(shù)，得x≥ln(x+1)，也就是x-1 ≥lnx.此式表明，函數(shù)y=lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=x-1，除切點(diǎn)外，函數(shù)y=lnx的圖象均在該切線的下方，如圖2.

圖2

敲黑板

乍看第(2)小題，你是不是想這么簡單，利用方程f'(1)=0不就解得參數(shù)a的值了？可事實(shí)上，無論a取何值，f'(1)=0 恒成立，就是解不出a的值！

其實(shí)，高考題第(2)問還不至于這么簡單，一定另有乾坤．

“數(shù)學(xué)是玩概念的”，華羅庚先生說過，解題遇到困難時，我們要學(xué)會“退”，退到簡單情況，退到概念中去——回到極值的定義．

由f'(1)=0 還不一定說明1 是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，必須結(jié)合“兩側(cè)異號”；就算是，還要分清是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)．所以，我們不能只盯住f'(1)=0，還要看看x=1 的左、右側(cè)f'(x)的符號，即從整體上研究f'(x)（即g(x)）的圖象．

敲黑板

由x≥ln(x+1)，得x-1≥lnx，你知道是怎么算出來的嗎？對，換元！令t=x+1，則t-1≥lnt，即x-1≥lnx.

因此，如果我們在同一坐標(biāo)系中畫出y1=lnx，y2=2a(x-1)的圖象，就會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)2a≤0時，它們只有一個交點(diǎn)x=1，且當(dāng)0 ＜x＜1時，y1＜y2，即f'(x)＜0；當(dāng)x＞1時，y1＞y2，即f'(x)＞0，所以x=1是f(x)的極小值點(diǎn)，如圖3；類似的，當(dāng)0 ＜2a＜1時，如圖4；當(dāng)2a=1時，如圖2；當(dāng)2a＞1時，如圖5.

圖3

圖4

圖5

圖2 至圖5 非常清晰地說明了f'(x)在x=1 處左、右側(cè)的符號情況.

高考題并不神秘，它來自課本，但高于課本，所以同學(xué)們一定要理解透數(shù)學(xué)概念，看課本!看課本!看課本!

敲黑板

圖形不能代替證明，必須像前面的解答過程那樣去說理，但圖可以引導(dǎo)我們怎樣說理．

真題練

1.(2018年高考北京文科卷)設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex．

(1)略；

(2)若f(x)在x=1處取得極小值，求a的取值范圍．

2.(2018年高考北京理科卷)設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex．

(1)略；

(2)若f(x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍．

3.(2018年高考新課標(biāo)Ⅲ理科卷)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x．

(1)略；

(2)若x=0 是f(x)的極大值點(diǎn)，求a．