劉傳洋，孫 佐，劉景景*，方曙東,李春國，宋 康

(1.池州學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，安徽 池州 247000；2.東南大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210096；3.青島大學(xué) 電子信息學(xué)院，山東 青島 266071)

電氣信息化的發(fā)展及電網(wǎng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，提高了電力系統(tǒng)運(yùn)行的自動(dòng)化、信息化水平，但是大量的電能質(zhì)量數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸給電力系統(tǒng)運(yùn)行造成極大的負(fù)擔(dān)[1]。電力設(shè)備中非線性負(fù)載和沖擊負(fù)載的大量接入，電力設(shè)備電壓和電流波形產(chǎn)生嚴(yán)重畸變，造成電能質(zhì)量污染，使得電能質(zhì)量識(shí)別在電力系統(tǒng)中發(fā)揮著重要作用[2-3]。CS壓縮感知(Compressed Sensing)理論能夠以遠(yuǎn)小于香濃理論采樣標(biāo)準(zhǔn)對信號(hào)進(jìn)行隨機(jī)采樣，在變換域?qū)π盘?hào)進(jìn)行稀疏分解，利用與稀疏基不相關(guān)的觀測矩陣將高維稀疏信號(hào)降維到低維空間，通過求解優(yōu)化問題后重建原始信號(hào)[4]。

CS理論以重構(gòu)精度高的特點(diǎn)引起了很多學(xué)者的關(guān)注[5]。信號(hào)重構(gòu)方法有基于最小l1范數(shù)的凸松弛算法和基于最小l0范數(shù)的匹配追蹤類算法。凸松弛算法通常被用來解決凸優(yōu)化問題，具有較好的重構(gòu)性能，但是對噪聲敏感。匹配追蹤類算法包含稀疏度已知和稀疏度自適應(yīng)兩大類。稀疏度已知算法[6-8]是在匹配追蹤算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)的一些算法，CoSaMP壓縮采樣匹配追蹤(Compressive Sampling Matching Pursuit)算法應(yīng)用最為廣泛[9]。CoSaMP算法運(yùn)算時(shí)間短、重構(gòu)精度高且具有很好的魯棒性，能夠在噪聲及干擾環(huán)境下較好地恢復(fù)壓縮信號(hào)，但是需要提前預(yù)知稀疏度，在稀疏度未知的情況下，該算法的使用將受到限制[10]。稀疏度自適應(yīng)算法采用稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(Sparsity Adaptive Matching Pursuit,SAMP)[11-12],該算法在信號(hào)稀疏度未知條件下恢復(fù)壓縮信號(hào)，但是迭代調(diào)整稀疏度運(yùn)行時(shí)間較長，重構(gòu)精度與固定步長設(shè)定有關(guān)，如果設(shè)定固定步長越大，迭代次數(shù)就越少，造成原始信號(hào)的重構(gòu)精度偏低；如果設(shè)定固定步長越小，相應(yīng)的迭代次數(shù)越多，重構(gòu)耗時(shí)就越長。

電能質(zhì)量信號(hào)的稀疏度通常是未知的，為了使電能質(zhì)量信號(hào)達(dá)到稀疏度自適應(yīng)和重構(gòu)效果好的目的，綜合CoSaMP算法和SAMP算法的優(yōu)點(diǎn)，研究提出一種稀疏度自適應(yīng)的壓縮采樣匹配追蹤算法(Sparsity Adaptive of Compressive Sampling Matching Pursuit,CoSaSAMP)，引入稀疏度估計(jì)對信號(hào)的初始稀疏度進(jìn)行迭代估計(jì)，利用遞歸和殘差變化動(dòng)態(tài)調(diào)整稀疏度逼近信號(hào)的真實(shí)稀疏度，通過最小二乘法重構(gòu)原始信號(hào)最優(yōu)估值。

1 壓縮感知

1.1 壓縮感知理論

CS理論是Donoho等在2006年引入信號(hào)處理中的一種壓縮技術(shù),在電能質(zhì)量識(shí)別中已經(jīng)被廣泛使用。文獻(xiàn)[13]對隨機(jī)降維映射稀疏表示的電能質(zhì)量擾動(dòng)多分類進(jìn)行研究，實(shí)現(xiàn)電能質(zhì)量擾動(dòng)的準(zhǔn)確識(shí)別；文獻(xiàn)[14]基于壓縮感知理論提出了暫態(tài)和短時(shí)電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)的壓縮采樣與重構(gòu)方法；文獻(xiàn)[15]采用一組固定正交基對電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)稀疏分解，對于未知復(fù)雜信號(hào)難以在變換域上足夠稀疏，CS理論依賴于信號(hào)的稀疏性對其進(jìn)行壓縮重構(gòu)。長度為N的信號(hào)x∈R具有K稀疏表示，在N維變換基Ψ∈RN下得到α∈R(x=Ψα)，其中α有K個(gè)非零元素，(N-K)個(gè)接近于零。CS理論通過矩陣ΦM×N進(jìn)行壓縮采樣(K

y=Φx=ΦΨα=Aα,

(1)

1.2 信號(hào)稀疏表示

一個(gè)N維度信號(hào)有K個(gè)非零值時(shí)，此信號(hào)是一個(gè)K稀疏可壓縮信號(hào)，在對信號(hào)進(jìn)行變換的基稱為稀疏基，稀疏基Ψ的選擇盡可能降低稀疏度K。壓縮感知中稀疏基通常采用正交變換基或基于學(xué)習(xí)算法構(gòu)成的稀疏字典[17-18]。傅里葉變換基作為一種常用的正交基，在頻域具有方便的稀疏性和簡易性，研究中稀疏基采用離散傅里葉變換基，DFT正變換定義為：

(2)

1.3 測量矩陣

測量矩陣在CS理論中的作用是使壓縮采樣值能較好地保留原始信號(hào)的信息。高斯隨機(jī)矩陣通用性強(qiáng)，常選用高斯矩陣作為測量矩陣。不論選用哪一種稀疏基Ψ，高斯矩陣Φ都要使矩陣A=ΨΦ滿足RIP條件。由于RIP準(zhǔn)則過于復(fù)雜，文獻(xiàn)[19]計(jì)算測量矩陣Φ和稀疏基矩陣Ψ的乘積作為相關(guān)性系數(shù)，通過相關(guān)性系數(shù)大小判定測量矩陣的性能優(yōu)劣。兩個(gè)矩陣相干性表達(dá)式如下：

(3)

由于匹配追蹤類算法的測量矩陣大多采用高斯隨機(jī)矩陣，二元塊對角矩陣、高斯隨機(jī)矩陣在相同離散傅里葉變換基下的相干性對比曲線如圖2所示，其中N的維度為600。從圖2中看出，M的維度從50遞增到400，二元塊對角矩陣與離散傅里葉變換基的相干性從4降低到2，而高斯隨機(jī)矩陣與離散傅里葉變換基的相關(guān)性在4和5之間。因此，所設(shè)計(jì)的二元塊對角矩陣相比于高斯隨機(jī)矩陣具有更優(yōu)的性能。

2 重構(gòu)算法

綜合CoSaMP算法抗干擾能力強(qiáng)且重構(gòu)精度高和SAMP算法稀疏度自適應(yīng)估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，利用遞歸思想提出了CoSaSAMP算法。該算法引入稀疏度估計(jì)方法提前對信號(hào)的初始稀疏度進(jìn)行迭代估計(jì)，利用遞歸算法通過殘差變化動(dòng)態(tài)調(diào)整稀疏度逼近信號(hào)的真實(shí)稀疏度，通過最小二乘法重構(gòu)出原始電能質(zhì)量信號(hào)最優(yōu)估值。

ΦB=[1…1]︷m[1…1]︷m?[1…1]︷m圖1 二元塊對角矩陣圖2 相干性對比曲線

CoSaSAMP算法步驟如下：

輸入：觀測向量y，傳感矩陣Φ；

步驟2：計(jì)算u={ut|ut=|〈rt-1,φj〉|,j=1,2,…,N}，選取u中K0個(gè)最大值，映射在傳感矩陣Φ相應(yīng)列構(gòu)成索引集合Λ0。

步驟4：計(jì)算委托代理v=ΦTrk-1，選取v中2KS個(gè)最大值，將2KS個(gè)最大值在Φ中映射對應(yīng)的列序號(hào)加入索引集Ω。

步驟8：如果‖rk‖2<‖rk-1‖2,k=k+1，KS=KS+step，返回步驟4繼續(xù)迭代；如果‖rk‖2≥‖rk-1‖2或k≥L，停止迭代，K′=KS，進(jìn)入步驟9。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證提出的CoSaSAMP算法在電能質(zhì)量擾動(dòng)處理中的可行性，研究以MATLAB 2014a作為信號(hào)處理平臺(tái)，進(jìn)行電壓暫降、電壓諧波、電壓閃變等多種電能質(zhì)量信號(hào)重構(gòu)處理，并對得到的結(jié)果進(jìn)行分析。

3.1 稀疏度估計(jì)

通過仿真驗(yàn)證CoSaSAMP算法稀疏度自適應(yīng)估計(jì)，以電壓閃變?yōu)槔?，電壓閃變信號(hào)的稀疏度設(shè)為30，通過30次試驗(yàn)，自適應(yīng)調(diào)節(jié)結(jié)果如圖3所示。從圖3中可以看出，CoSaSAMP算法稀疏度估計(jì)曲線與ζk的選取有關(guān)，ζk設(shè)置越小，稀疏度估計(jì)越大。為了減少算法迭代次數(shù)，可以選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)值設(shè)定為稀疏度初始值。

3.2 重構(gòu)效果

使用CoSaSAMP算法對電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，觀測矩陣采用二元塊對角矩陣，稀疏基采用傅里葉變換基，電壓基波頻率為50 Hz，壓縮采樣頻率為6 400 Hz，電能質(zhì)量信號(hào)長度N取2 048，觀測數(shù)M取256。正常電壓原始信號(hào)重構(gòu)曲線如圖4所示，電壓暫降和電壓諧波原始信號(hào)重構(gòu)曲線如圖5、圖6所示。從圖4、圖5、圖6中可以看出，CoSaSAMP算法可以精確重構(gòu)出電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)。在稀疏基為傅里葉變換基，觀測矩陣分別是高斯隨機(jī)矩陣、二元塊對角矩陣的條件下，電壓閃變信號(hào)的重構(gòu)圖如圖7所示。通過對比得出，圖7b比圖7a的重構(gòu)誤差小、重構(gòu)精度高。由于二元塊對角矩陣與傅里葉變換矩陣的相干性小于高斯隨機(jī)矩陣與傅里葉變換矩陣，二元塊對角矩陣更容易滿足RIP準(zhǔn)則，因此觀測矩陣為二元塊對角矩陣要比高斯隨機(jī)矩陣具有更好的重構(gòu)效果。

圖7 基于高斯隨機(jī)觀測矩、二元塊對角矩陣的電壓閃變重構(gòu)信號(hào)圖

為了分析CoSaSAMP算法對電能質(zhì)量信號(hào)重構(gòu)的效果，引入能量恢復(fù)系數(shù)(ERP)、均方根誤差百分值(MSE)、重構(gòu)信噪比(SNR)重構(gòu)評價(jià)指標(biāo)。對各種電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)分別進(jìn)行100次仿真重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，通過式(4)、式(5)、式(6)求平均值，得到電能質(zhì)量信號(hào)重構(gòu)性能評價(jià)指標(biāo)如表1所示，研究所提出的算法對電能質(zhì)量擾動(dòng)重構(gòu)效果較好。

(1)能量恢復(fù)系數(shù)(ERP)：

(4)

(2)重構(gòu)信噪比(SNR):

(5)

(3)均方根誤差百分值(MSE)：

(6)

表1 電能質(zhì)量信號(hào)重構(gòu)性能評價(jià)指標(biāo)

3.3 重構(gòu)性能對比

在相同的傅里葉稀疏基和二元塊對角觀測矩陣的情況下，將所研究算法與SAMP算法、CoSaMP算法對電能質(zhì)量信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行多個(gè)方面對比分析。以電壓閃變?yōu)槔謩e進(jìn)行100次仿真重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，在相同的仿真實(shí)驗(yàn)條件下，上述三種重構(gòu)算法的ERP、SNR、MSE以及運(yùn)行時(shí)間如表2所示。由表2中數(shù)據(jù)分析可知，在對電能質(zhì)量信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)時(shí)，研究提出的CoSaSAMP算法與SAMP算法、CoSaMP算法相比，在ERP、SNR、MSE、運(yùn)行時(shí)間方面都有不同程度的優(yōu)勢。CoSaSAMP算法在稀疏度未知的情況下，保留了CoSaMP算法重構(gòu)效率高、運(yùn)行時(shí)間短的優(yōu)點(diǎn)；與SAMP算法相比，減少了信號(hào)的迭代次數(shù)，降低了算法運(yùn)行時(shí)間，提高了重構(gòu)精度。

表2 三種算法重構(gòu)性能對比

以電壓閃變電能質(zhì)量信號(hào)為例，在不同稀疏度和不同測量值條件下使用三種算法對原始信號(hào)精確重構(gòu)概率曲線。稀疏度K從20遞增到70，三種算法在相同條件下仿真實(shí)驗(yàn)100次，通過計(jì)算平均值得到精確重構(gòu)概率曲線如圖8所示。從圖8中可以看出，CoSaSAMP算法與SAMP算法曲線相近，在相同精確重構(gòu)概率下CoSaMP算法對應(yīng)的稀疏度要大于其他兩種算法，這是因?yàn)槠渌麅煞N算法的設(shè)計(jì)思想是自適應(yīng)調(diào)整稀疏度，最終得到的稀疏度要小于真實(shí)稀疏度，而CoSaMP算法是在稀疏度已知且為真實(shí)稀疏度條件下運(yùn)行。稀疏度K固定值為30，測量值M從50變化到120，三種算法在相同條件下仿真實(shí)驗(yàn)100次，通過計(jì)算平均值得到精確重構(gòu)概率曲線如圖9所示。從圖9中可以看出，在相同重構(gòu)概率下，CoSaSAMP算法的測量值M要小于其他兩種算法。因此CoSaSAMP算法相比于SAMP算法、CoSaMP算法具有較好的重構(gòu)效果。

圖8 不同稀疏度下精確重構(gòu)概率 圖9 不同測量值下精確重構(gòu)概率

4 結(jié)論

在CS理論的基礎(chǔ)上，提出了一種用于電能質(zhì)量信號(hào)壓縮重構(gòu)的CoSaSAMP算法，在稀疏度未知的情況下，通過稀疏度自適應(yīng)調(diào)整和遞歸思想實(shí)現(xiàn)電能質(zhì)量信號(hào)的精確重構(gòu)。仿真結(jié)果表明，用所提出算法重構(gòu)電能質(zhì)量信號(hào)時(shí)，信噪比SNR均高于35 dB，能量恢復(fù)系數(shù)ERP達(dá)到99.6%以上，最小均方誤差MSE在2%以內(nèi)；在相同條件下，CoSaSAMP算法的重構(gòu)信噪比、均方誤差百分比和能量恢復(fù)系數(shù)優(yōu)于CoSaMP算法和SAMP算法；在相同傅里葉變換稀疏基下，測量矩陣為二元塊對角矩陣，與高斯隨機(jī)矩陣相比，測量矩陣與稀疏基的相干性小，電能質(zhì)量信號(hào)的重構(gòu)效果更好。研究提出的CoSaSAMP算法在稀疏度未知的情況下，具有抗噪能力強(qiáng)、魯棒性能強(qiáng)、重構(gòu)效率高的優(yōu)點(diǎn)，降低了算法運(yùn)行時(shí)間，提高了電能質(zhì)量信號(hào)的壓縮重構(gòu)精度。