王首喆 張慶展

上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109

0 引言

服務航天器執(zhí)行在軌維修、燃料加注、碎片清除等任務時，為獲取目標準確信息，需對目標進行近距離全方位的繞飛觀測。通常服務航天器相對目標質(zhì)心進行繞飛；對于體積龐大、構(gòu)型復雜的航天器(如國際空間站)，存在相對目標局部區(qū)域繞飛觀測的需求。當服務航天器的初始位置與繞飛軌跡相距較遠時，如何安全平穩(wěn)地進入繞飛軌跡，如何對繞飛軌跡與觀測姿態(tài)進行協(xié)同規(guī)劃，是本文研究的重點。

航天器間相對運動常以C-W方程[1]為基礎進行研究。文獻[2]對多脈沖控制下共面快速繞飛的進入段、繞飛段和撤離段進行了設計。文獻[3]以C-W方程和脈沖控制為基礎，給出了自然軌跡、受限軌跡的數(shù)學描述，對全局繞飛軌跡、局部限制軌跡進行了多種模式的設計。文獻[4]對恒定推力作用下繞飛的形成與保持進行了研究，將繞飛過程分為進入繞飛面和在繞飛面內(nèi)形成并保持繞飛軌跡2個階段。文獻[5]的目標為橢圓軌道，將相對動力學描述為周期性參數(shù)R、角速度、角加速度的線性時變系統(tǒng)，在足夠小的時間區(qū)間內(nèi)，進一步將時變系統(tǒng)用參數(shù)凍結(jié)的線性系統(tǒng)代替。文獻[6]采用相對軌道根數(shù)描述繞飛軌跡的幾何特性。編隊飛行是描述繞飛軌跡的另一種有效途徑。文獻[7]對連續(xù)推力作用下快速圓繞飛的空間編隊進行了設計。文獻[8]對近地軌道衛(wèi)星編隊飛行提出了形式簡單的用于同步控制的相對軌道動力學模型。文獻[9]基于T-H方程解析解，提出一種適用于飛行器繞飛操作的GNC算法。文獻[10]對航天器的相對運動，設計了相對軌道和相對姿態(tài)的魯棒自適應控制律并給出了穩(wěn)定性證明。

上述研究中，多采用相對軌道根數(shù)設計繞飛軌跡，多樣性和靈活性不足。動力學建模中，僅考慮了撓性附件振動對姿態(tài)的影響，沒有考慮撓性附件振動與軌道間的耦合作用。文章考慮在軌服務操作任務對相對運動構(gòu)型需求的靈活性，提出了一種新穎的建模方法，將繞飛分為過渡過程和繞飛過程2個階段。通過對方位角進行S型速度規(guī)劃，使服務飛行器從任意初始方位平穩(wěn)地進入繞飛平面。通過定義軌跡規(guī)劃坐標系，將繞飛軌跡從三維空間轉(zhuǎn)化到二維平面，實現(xiàn)了軌跡的降維設計。定義期望繞飛矢量，實現(xiàn)繞飛構(gòu)型的靈活配置。定義期望姿態(tài)坐標系，解算出服務航天器繞飛觀測所需的姿態(tài)。基于二體動力學模型，定義期望繞飛矢量與繞飛誤差矢量，建立了相對軌道誤差動力學模型，將軌道跟蹤控制問題轉(zhuǎn)化為調(diào)節(jié)器設計。設計了基于模態(tài)觀測器的姿軌聯(lián)合滑?？刂坡?。最后對所建模型和控制律進行了仿真驗證并給出結(jié)論。

1 任意方位繞飛設計

1.1 坐標系定義

文章涉及的坐標系有： 1)地心慣性坐標系Oi-XiYiZi； 2)質(zhì)心軌道坐標系Oo-XoYoZo； 3)相對軌道坐標系OT-XTYTZT； 4)軌跡規(guī)劃坐標系Or-XrYrZr； 5)服務航天器本體坐標系Ob-XbYbZb； 6)姿態(tài)參考坐標系Od-XdYdZd； 7)期望姿態(tài)坐標系Oq-XqYqZq。下面給出Or-XrYrZr、Od-XdYdZd和Oq-XqYqZq的定義，其余坐標系參照常用坐標系的定義。

軌跡規(guī)劃坐標系Or-XrYrZr：原點Or位于目標質(zhì)心，Zr軸指向繞飛平面正法線方向。Zr軸與相對軌道坐標系OT-XTYTZT的ZT軸夾角為α，Zr軸在XTYT面投影與YT軸夾角為β，這兩個角稱為繞飛方位角。OT-XTYTZT通過2次主軸旋轉(zhuǎn)得到Or-XrYrZr，如圖1所示，坐標轉(zhuǎn)換矩陣為RrT=Rx(-α)Rz(-β)。此坐標系用于規(guī)劃服務航天器的繞飛軌跡。

圖1 軌跡規(guī)劃坐標系

姿態(tài)參考坐標系Od-XdYdZd：如圖2所示，原點Od位于服務航天器質(zhì)心，Xd從服務航天器質(zhì)心指向繞飛中心，Zd在繞飛平面且與繞飛方向反向，Yd與Xd、Zd構(gòu)成右手系。此坐標系用于輔助解算服務航天器繞飛時的期望姿態(tài)。

期望姿態(tài)坐標系Oq-XqYqZq：如圖2所示，原點Oq位于服務航天器質(zhì)心，Xq從服務航天器質(zhì)心指向目標，Zq在繞飛平面且與繞飛方向反向，Yq與Xq、Zq構(gòu)成右手系。此坐標系用于服務航天器繞飛時姿態(tài)的跟蹤。

圖2 期望姿態(tài)坐標系

1.2 繞飛軌跡設計

初始時刻服務航天器不在繞飛面內(nèi)，對目標的任意方位主動繞飛觀測由過渡過程和繞飛過程2個階段組成。

首先對過渡過程進行設計。如圖1所示，rst0為初始時刻服務航天器相對目標的位置矢量，rstg為服務航天器到達繞飛面時相對目標的位置矢量，令rstg與rst0、Zr共面，且過渡過程中長度不變，rh為繞飛半徑，則rstg與Zr的夾角τ計算公式為：

(1)

在rst0與期望繞飛軸Zr構(gòu)成的扇形平面(小于180 °)內(nèi)，將rst0向Zr旋轉(zhuǎn)角度τ得到初始繞飛軸Zr0。特別地，當服務航天器初始位置rst0與Zr夾角為0°或180°時，任選OT-XTYTZT中的一個坐標軸，將rst0向該軸方向旋轉(zhuǎn)角度τ得到Zr0。Zr0可由rst0和Zr表示為

Zr0=a·rst0+b·Zr

(2)

同時，Zr0滿足以下公式：

(3)

(4)

根據(jù)式(1)～式(4)可得到Zr0的具體表達。

在確定初始繞飛軸Zr0后，設計由rst0到rstg的過渡過程rst(t)，即Zr0到Zr的過渡過程Z(t)。

α0和β0為Zr0的方位角，αend和βend為Zr的方位角。由于S型速度曲線能對加速度的變化率進行控制，且加速度曲線連續(xù)，在速度銜接處可實現(xiàn)平穩(wěn)過渡，是一種能限制振動的速度控制方法[11]，所以選用S型速度曲線對方位角α(t)和β(t)進行設計。過渡過程中，根據(jù)服務航天器推力器配置情況，對加速度進行限幅。假設過渡時間為tg，在確定角加加速度、最大角加速度以及最大角速度后，并賦值α(t0)=α0，β(t0)=β0，α(tg)=αend，β(tg)=βend，即可得到方位角α(t)和β(t)的S型速度規(guī)劃結(jié)果。

在Or-XrYrZr的定義中，將Zr軸用Z(t)代替，使Or-XrYrZr在過渡過程中隨Z(t)同步變化，直到Z(t)與Zr重合。服務航天器在Or-XrYrZr中的位置保持不變，則rst(t)在OT-XTYTZT下可表示為：

rst(t)|T=[Rx(-α(t))Rz(-β(t))]Trst0|r

(5)

式中：rst0|r=Rx(-α0)Rz(-β0)rst0|T。

定義期望繞飛矢量l，rst(t)可視為期望繞飛矢量在過渡階段的表示。

(6)

(7)

l在OT-XTYTZT系的表示為

lT=(RrT)Tlr

(8)

(9)

(10)

1.3 期望姿態(tài)解算

假設服務航天器的敏感軸為體坐標系的Xb軸，通過Oq-XqYqZq對繞飛姿態(tài)進行解算。

如圖2所示，Od-XdYdZd系的作用是建立了一個虛擬的姿態(tài)參考坐標系，隨著繞飛軌跡的變化，該姿態(tài)坐標系相對Or-XrYrZr只需繞Yd軸做相應旋轉(zhuǎn)，便能夠使Xd軸對繞飛中心O′保持定向。根據(jù)坐標系Oq-XqYqZq的定義，將Od-XdYdZd繞Zd軸旋轉(zhuǎn)角度γ=90°-τ直到與Oq-XqYqZq重合，服務航天器只要對坐標系Oq-XqYqZq的姿態(tài)進行跟蹤，便可以實現(xiàn)對目標航天器的視線指向。

(11)

(12)

Rqr=Rz(γ)Rx(-90°)Rz(180°+θr)

ωqi=ωqr+RqrωrT+RqrRrTωTi

(13)

(14)

式中：ωTi為OT-XTYTZT相對Oi-XiYiZi的角速度，用θt表示目標的真近點角，則ωTi在OT-XTYTZT下的表示為

(15)

2 相對動力學模型

在相對軌道坐標系OT-XTYTZT中建立包含期望繞飛矢量l的相對軌道動力學模型。

圖3中，rs和rt分別是服務航天器和目標在慣性系的位置矢量，服務航天器相對目標的位置矢量為rst=rs-rt。定義實際相對位置矢量rst與期望繞飛矢量l的繞飛誤差矢量為Δr，有rst=l+Δr，在OT-XTYTZT下，建立相對軌道誤差運動學和動力學模型為

(16)

(17)

圖3 相對位置關(guān)系示意圖

(18)

3 控制律設計

(19)

設計的滑模觀測器為：

(20)

穩(wěn)定性證明：

(21)

將式(18)～(20)代入式(21)得到

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可知，系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。

為了減小滑?？刂频亩墩?，將符號函數(shù)用飽和函數(shù)sat(Si,ε)代替，表達式為

式中：ε>0，為滑模邊界層的厚度。

4 仿真校驗

4.1 仿真條件

目標航天器初始軌道參數(shù)：a=6778137m，e=0，i=42.8°，Ω=0°，ω=0(°)/s，f=0°。

通過計算可得，Or-XrYrZr相對OT-XTYTZT的初始繞飛方位角α0=11.1690°，β0=173.6975°，期望繞飛方位角αend=80.0384°，βend=69.1196°。設計S型速度規(guī)劃導引律α角和β角的加加速度均為0.01 (°)/s3，最大角加速度均為0.1(°)/s2，最大角速度均為0.5 (°)/s。

面內(nèi)繞飛角θr設計為

式中：Tr=800s為繞飛周期，P1=1000s為延遲系數(shù)，θr0為初始繞飛角，由繞飛段初始相對位置矢量rst0確定。

控制律參數(shù)選擇：

4.2 仿真結(jié)果及分析

按照上述仿真條件，對文章提出的任意方位繞飛設計方法、建立的剛?cè)狁詈舷鄬ψ塑墑恿W模型和設計的基于撓性模態(tài)觀測器的輸出反饋滑?？刂坡蛇M行仿真分析。

圖4 服務航天器相對目標的繞飛軌跡

圖8和圖9分別為在OT-XTYTZT坐標系下服務航天器對期望繞飛軌跡的位置跟蹤誤差曲線和速度跟蹤誤差曲線。由圖可知，在前200s的過渡階段，服務航天器的位置跟蹤誤差最大為0.05m，速度跟蹤誤差最大為0.023m/s，在200s后，服務航天器進入繞飛階段，跟蹤誤差快速收斂，位置跟蹤誤差為0.015m，速度跟蹤誤差為0.002m/s。仿真結(jié)果表明，采用設計的控制律按照文章提出的任意方位繞飛設計方法執(zhí)行繞飛任務，軌控精度高，可滿足服務航天器對目標繞飛的要求。

圖5 繞飛軌跡在XTYT平面的投影

圖6 繞飛軌跡在XTZT平面的投影

圖7 繞飛軌跡在YTZT平面的投影

圖8 位置跟蹤誤差曲線

圖9 速度跟蹤誤差曲線

圖10和圖11分別是服務航天器本體坐標系Ob-XbYbZb相對期望姿態(tài)坐標系Oq-XqYqZq的姿態(tài)角跟蹤誤差曲線和姿態(tài)角速度跟蹤誤差曲線。由圖可知，三軸姿態(tài)角跟蹤誤差最大為0.060 °，三軸姿態(tài)角速度跟蹤誤差最大為0.046 (°)/s。仿真結(jié)果表明，設計的控制律姿控精度高，能夠使服務航天器的敏感軸跟蹤期望視線軸，滿足服務航天器對目標視線指向觀測的要求。

圖10 姿態(tài)角跟蹤誤差曲線

圖11 姿態(tài)角速度跟蹤誤差曲線

圖12給出了服務航天器撓性附件在繞飛過程中前3階模態(tài)的振動曲線，模態(tài)振動快速收斂。圖13為文章設計的模態(tài)觀測器對撓性附件模態(tài)的觀測誤差曲線，第1階模態(tài)位移的觀測誤差為0.026，第2階模態(tài)位移的觀測誤差為0.0002，第3階模態(tài)位移的觀測誤差為0.005。仿真結(jié)果表明，文章設計的模態(tài)觀測器是有效的，控制律能夠有效抑制服務航天器撓性附件的振動。

圖12 撓性模態(tài)變量隨時間收斂曲線

圖13 撓性模態(tài)觀測器觀測誤差曲線

5 結(jié)論

通過定義軌跡規(guī)劃坐標系、姿態(tài)規(guī)劃坐標系、期望繞飛矢量以及期望姿態(tài)坐標系，對繞飛過渡過程采用S型速度曲線進行規(guī)劃，建立了一種新穎的繞飛觀測數(shù)學模型，實現(xiàn)了服務航天器相對目標從初始位置到任意方位的主動繞飛觀測。在此基礎上，建立了相對軌道誤差動力學模型和相對姿態(tài)動力學模型。針對撓性附件的振動模態(tài)不可測量問題，設計了基于模態(tài)觀測器的輸出反饋滑?？刂坡刹⒆C明了穩(wěn)定性。對期望繞飛矢量的引入，實現(xiàn)了對不同繞飛構(gòu)型的靈活設計，使航天器能夠根據(jù)任務需求進行不同運動規(guī)律的相對運動，對航天器執(zhí)行在軌服務任務具有參考意義。