薄雨蒙，曹明生，高慧斌

(1.中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機械與物理研究所，吉林長春 130000;2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

1 引言

在運動控制系統(tǒng)中，前饋控制得到了廣泛的應(yīng)用，特別是在對控制精度要求很高的軌跡跟蹤任務(wù)中，前饋控制可以取得良好的控制效果.前饋控制器基于先驗知識獲得前饋控制信號對誤差進行補償，因此可以有效提高控制精度.傳統(tǒng)的前饋控制方法包括迭代學(xué)習控制(iterative learning control，ILC)，基于模型的前饋控制和迭代前饋調(diào)參(iterative feedforward tuning，IFT)等.

迭代學(xué)習控制適合于具有重復(fù)性的控制任務(wù)，它由Arimoto等人[1]于1984年提出，之后幾十年發(fā)展出了多種擴展的方法[2-3]，并可以與其他控制方法，如自適應(yīng)控制[4-6]、魯棒控制[7-9]和模糊控制[10-11]等進行結(jié)合，根據(jù)系統(tǒng)特性和控制需求，可以達到更好的控制效果.

迭代學(xué)習控制利用以前迭代周期獲得的信息，通過學(xué)習方法估計并補償系統(tǒng)中存在的不隨迭代次數(shù)變化的擾動.但在控制過程中，非重復(fù)性擾動存在積累現(xiàn)象，從而影響控制誤差的收斂性[12].傳統(tǒng)的學(xué)習律學(xué)習的是系統(tǒng)的控制輸入，這要求期望軌跡在迭代域上嚴格重復(fù)，一旦軌跡發(fā)生變化，迭代學(xué)習控制將會失效[13].針對期望軌跡變化的情況，文獻[14]提出了分段ILC，在文獻[15]中以分段ILC為基礎(chǔ)，將任務(wù)分解為多個子任務(wù)進行單獨學(xué)習，但其控制性能受分段方式影響，并且增加了算法實現(xiàn)的復(fù)雜度.

相反，基于模型的前饋控制也可以達到較高的控制精度，但期望軌跡的變化不會引起控制效果的惡化[16-17].基于模型的前饋控制使用系統(tǒng)逆模型或系統(tǒng)敏感度函數(shù)建立學(xué)習濾波器，利用系統(tǒng)信息進行前饋補償，獲得的控制效果依賴于系統(tǒng)模型的質(zhì)量[18].但在工程應(yīng)用中，對復(fù)雜系統(tǒng)建立精確模型難度大，成本高，更傾向于使用數(shù)據(jù)驅(qū)動控制方法，即直接使用輸入輸出數(shù)據(jù)進行控制器設(shè)計的方法[19-20].

采用基函數(shù)可以將迭代學(xué)習控制與基于模型的前饋控制的優(yōu)點相結(jié)合，獲得適用于變軌跡任務(wù)，高控制精度且不依賴于系統(tǒng)模型的前饋控制方法[21].通過基函數(shù)的引入，信號被投影到基函數(shù)張成的空間中，組成的前饋控制器可用于估計系統(tǒng)的逆模型[22].

使用基函數(shù)將前饋控制器參數(shù)化，可以將系統(tǒng)模型辨識問題轉(zhuǎn)換為參數(shù)化前饋控制器的迭代前饋調(diào)參問題，并通過最優(yōu)化方法得到最優(yōu)前饋控制器[23-24].文獻[25]使用數(shù)據(jù)驅(qū)動的梯度下降法進行調(diào)參，但文獻[25-26]證明此方法在存在噪聲時將得到參數(shù)的有偏估計，因此引入輔助變量來獲得參數(shù)的無偏估計，文獻[27]對參數(shù)估計的精確度進行了分析.文獻[28]提出了高階的優(yōu)化方法，使用過去所有迭代周期獲得的誤差信號進行參數(shù)估計，算法具有高精度和高噪聲容忍度.文獻[29-30]使用有理基函數(shù)以獲得更高的精度.

將ILC與IFT進行比較，發(fā)現(xiàn)ILC對于重復(fù)性任務(wù)可以得到很高的控制精度，但期望軌跡的變化會引起極大的效果惡化[30];反之，IFT則適用于變期望軌跡任務(wù)，不依賴于系統(tǒng)模型，但控制精度低于ILC.

為了在保證高控制精度的同時，改善ILC在期望軌跡變化時的效果惡化問題，本文針對執(zhí)行變軌跡步進掃描運動的系統(tǒng)，提出了一種將IFT與ILC進行結(jié)合的數(shù)據(jù)驅(qū)動的控制結(jié)構(gòu).通過引入IFT，得到最優(yōu)系統(tǒng)前饋控制器，消除期望軌跡引入的擾動，提高軌跡變化時的控制精度;通過ILC，消除系統(tǒng)重復(fù)性擾動，進一步提高控制精度.在IFT的計算過程中，引入輸入整形濾波器，在保證梯度下降法計算精度的同時簡化了計算過程.本文提出的算法在軌跡變化時仍能保證高控制精度，同時是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動控制方法，可以直接應(yīng)用于不同工業(yè)系統(tǒng)而不依賴于系統(tǒng)的先驗信息.

2 問題提出

2.1 控制結(jié)構(gòu)

控制系統(tǒng)框圖如圖1所示，其中:C是反饋控制器，Kff是參數(shù)化前饋控制器，Ky是輸入整形濾波器，KILC是迭代學(xué)習控制器，KIFT是系統(tǒng)前饋控制器.實際系統(tǒng)的系統(tǒng)模型P可以看作離散單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng).系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以寫作

其中B0(z)，A0(z)∈R(F).此外，已知參考信號r是對預(yù)先規(guī)劃好的n階連續(xù)可導(dǎo)的軌跡以采樣時間Ts采樣得到的N個點的序列，ry是經(jīng)過輸入整形濾波器得到的整形參考信號，y是系統(tǒng)輸出，ey是整形參考信號ry與輸出y之間的誤差，uff為Kff輸出的前饋控制信號，ufb為反饋控制器C輸出的控制信號，uILC為迭代學(xué)習控制器離線輸出的前饋控制信號，uIFT為KIFT輸出的系統(tǒng)前饋控制信號.所有信號都為以采樣時間Ts進行采樣的n維離散序列.

圖1 控制結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Control configuration

本文提出的控制方法在參數(shù)估計階段和迭代學(xué)習控制階段使用不同的控制結(jié)構(gòu).在系統(tǒng)控制框圖中，對虛線框表示的迭代調(diào)參前饋控制器Kff和輸入整形濾波器Ky通過基函數(shù)進行參數(shù)化，并通過最優(yōu)化迭代調(diào)參算法迭代估計收斂的最優(yōu)參數(shù)值.當?shù){(diào)參過程結(jié)束后，移除控制框圖中的虛線部分，并將最優(yōu)參數(shù)值輸入到系統(tǒng)前饋控制器KIFT中，此時的控制結(jié)構(gòu)是由前饋控制器和迭代學(xué)習控制器組合成的迭代學(xué)習控制結(jié)構(gòu).

2.2 參數(shù)化的前饋控制器和輸入整形濾波器

如圖2所示，前饋控制信號uff可以由期望軌跡r和參數(shù)化前饋控制器Kff(θff)表示為

同時，整形參考信號ry可以由r和參數(shù)化輸入整形濾波器Ky(θy)表示為

其中Kff(θff)和Ky(θy)由定義1給出.

圖2 加入輸入整形濾波器的迭代前饋調(diào)參框圖Fig.2 Configuration of IFT with input shaping filter

定義1通過引入基函數(shù)，參數(shù)化前饋控制器Kff(θff)和輸入整形濾波器Ky(θy)可表示為

其中:

多項式基函數(shù)表示為

各項基函數(shù)為

其中nff和ny為構(gòu)成Kff和Ky的基函數(shù)的個數(shù).通過基函數(shù)，可以將輸入信號分解為各階導(dǎo)數(shù).因為所有的ψi(z)都是關(guān)于z的函數(shù)，為了簡化表示，在后文中省略z.此外，為了簡化，還將Ψy和Ψff組合為一個向量Ψ，表示為

類似地，將參數(shù)向量θy和θff組合為一個向量θ，同上式表示為

通過引入輸入整形濾波器Ky，輸入整形后的參考信號ry可以表示為

根據(jù)式(2)，可得到如下條件:

由式(3)可推得，ry與r在平穩(wěn)段相等，而在移動段有一段延遲，延遲長度等于Ky中基函數(shù)的個數(shù).因此，在平穩(wěn)段，e=r-y=ry-y=ey.若只需要在平穩(wěn)段的跟蹤誤差最小，控制性能的評判標準可表示為

最優(yōu)化的θff和θy需要滿足如下定義:

定義2前饋控制器和輸入整形濾波器參數(shù)向量是最優(yōu)的，如果在控制系統(tǒng)中引入使用相應(yīng)參數(shù)向量建立的前饋控制器和輸入整形濾波器測得的誤差信號滿足其中S=(I +PC)-1是系統(tǒng)敏感度函數(shù).

建立參數(shù)化前饋控制器Kff(θff)和輸入整形濾波器Ky(θy)，通過最優(yōu)化迭代調(diào)參算法，算法收斂時可以得到滿足定義2的最優(yōu)參數(shù)向量θ*和相應(yīng)的的和此時Vy(θk)達到最小值.詳細算法將在下節(jié)中給出.

3 算法設(shè)計

3.1 最優(yōu)化迭代前饋調(diào)參算法

根據(jù)第2.2節(jié)建立的參數(shù)化前饋控制器和輸入整形濾波器，在圖2中，第k次迭代測得的信號和uk可以使用第k次迭代的參數(shù)向量θk擴展為參數(shù)化形式，表示如下:

式中 K(θk)=Kff(θk)+CKy(θk).

根據(jù)式(6)-(7)，通過每次迭代的uk和yk，可以得到S和(SP)的估計值Sest和(SP)est:

假設(shè)1K-1(θk)是穩(wěn)定的.

注1如果K-1(θk)不穩(wěn)定，可以通過使用文獻[25]中的穩(wěn)定求逆算法計算得到K-1(θk).

將式(9)-(12)代入式(8)中，得到梯度向量的估計值:

其中ρ為學(xué)習增益.設(shè)置學(xué)習律為

根據(jù)以上計算，通過梯度下降法迭代求解最優(yōu)化問題(13)的步驟可以概括如下:

程序1迭代估計θk.

初始化:

1) 確定合適的學(xué)習增益ρ，0 ＜ρ ＜1，使算法在收斂速度和噪聲容忍度中取得平衡;

2) 選擇合適的基函數(shù)Ψ，用于建立參數(shù)化前饋控制器Kff，輸入整形濾波器Ky和參考信號r;

3) 確定合適的參數(shù)向量初始值θ0;

主程序:

1) 使用參數(shù)向量θk運行控制程序，獲得uk和yk;

3) 計算學(xué)習矩陣

4) 計算下一次迭代的θk+1=θk+Lkek;

5) k →k+1.返回步驟1.

注2通過程序1，根據(jù)梯度下降法的收斂性，可以得到一個收斂的參數(shù)向量θ，且這個參數(shù)向量滿足定義1，收斂性證明詳見文獻[24，26].將這個收斂的參數(shù)向量記作θ*.

3.2 通過迭代前饋調(diào)參得到前饋控制器

注意到，誤差ey是整形參考信號ry與輸出信號y之間的差值，并不是跟蹤期望軌跡r得到的跟蹤誤差.因此，最小化的Vy(θk)并不意味著對整個期望軌跡的V(θk)的最小化.

由式(5)，可以得出，誤差ey等于0的條件為

由式(14)，可以得到如下結(jié)論:建立Kff和Ky是為了得到系統(tǒng)逆模型的估計值，使ey為0.如果建立的Kff和Ky使ey為0，此時就可以作為系統(tǒng)逆模型的估計值.這與文獻[22]中的迭代學(xué)習系統(tǒng)辨識概念類似.由梯度下降法的最優(yōu)性，當使用梯度下降法的程序1收斂時，可認為結(jié)果滿足定義2，即=0.此時由收斂時的組合成的可以作為系統(tǒng)逆模型的估計值.因此在控制結(jié)構(gòu)中引入KIFT=作為前饋控制器.

在Kff和Ky收斂為后，移除原本的前饋控制器Kff和輸入整形濾波器Ky，將KIFT=作為前饋控制器加入到系統(tǒng)中，補償期望軌跡引入的擾動.KIFT輸出的前饋控制量uIFT為

注3如果不穩(wěn)定，可以通過零相位跟蹤技術(shù)[31]得到穩(wěn)定的KIFT.

使用組合的KIFT=而不是直接使用作為前饋控制器，是因為單獨的Kff只能估計系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母部分，無法準確估計系統(tǒng)逆模型[24].而不直接將Kff參數(shù)化為分子和分母都為多項式的形式，即文獻[29]中的有理基函數(shù):

是因為對有理基函數(shù)參數(shù)化的Krat進行最優(yōu)化迭代運算時，算法復(fù)雜度高，且需要選擇合適的使算法收斂的權(quán)重矩陣，而這個矩陣是N×N維[29]或N×n維的[30]，維度高導(dǎo)致待定參數(shù)過多，難以選擇使算法收斂的參數(shù)矩陣.而將Krat分解為本文的Kff和Ky，不需要設(shè)置高維權(quán)重參數(shù)矩陣進行，顯著降低了算法復(fù)雜度，同時保證算法效果.

3.3 迭代前饋調(diào)參與迭代學(xué)習控制結(jié)合算法

對比ILC與IFT，發(fā)現(xiàn)IFT魯棒性很強，期望軌跡變化時控制效果依然穩(wěn)定，而ILC在變軌跡時存在嚴重的效果惡化現(xiàn)象;然而，ILC經(jīng)過幾次學(xué)習就可以達到比IFT更高的控制精度，這是由于ILC還去除了KIFT無法消除的其他重復(fù)性擾動.

僅使用第3.2節(jié)中獲得的最優(yōu)前饋控制器KIFT得到的控制精度較低.為了提高控制精度，引入迭代學(xué)習控制器KILC，采集上一個迭代周期的誤差ek-1，離線更新前饋控制量消除其他重復(fù)性擾動.在本文中，選用PD型迭代學(xué)習控制器，第k次迭代時KILC輸出的前饋控制量為

其中kp和kd為學(xué)習律的學(xué)習參數(shù).

根據(jù)上文所述的最優(yōu)化梯度下降迭代前饋調(diào)參方法，得到前饋控制器KIFT，并與PD型迭代學(xué)習控制結(jié)合，可以將完整算法流程圖表示如圖3.算法的具體步驟表示如程序2.

圖3 本文提出算法的流程圖Fig.3 Flow chart of proposed algorithm

程序2

1) 運行程序1，獲得收斂的最優(yōu)參數(shù)向量θ*;

2) 移除Kff和Ky;

3) 建立KIFT=

4) 在控制結(jié)構(gòu)中加入KIFT和KILC;

5) 根據(jù)新的控制結(jié)構(gòu)進行實驗，直到滿足停止條件.

注4由于算法只是預(yù)先消除了由期望軌跡引入的誤差，對迭代過程沒有影響，因此穩(wěn)定性與PD型迭代學(xué)習律的穩(wěn)定性相同.證明詳見文獻[14].

4 迭代前饋調(diào)參仿真

在本段中，對結(jié)合前饋調(diào)參與迭代學(xué)習的算法進行仿真，驗證算法的有效性.

仿真使用的離散傳遞函數(shù)模型如下:

其中采樣時間為Ts=1×10-4s.仿真中采用Kp=1.05，Kd=25的PD型反饋控制器，可以寫作

在系統(tǒng)中加入擾動μ，它的模型為μ=H?，其中:

?是標準差為1×10-7的零均值白噪聲.

仿真使用的傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng)如圖4(a)中實線所示.根據(jù)圖中的頻率響應(yīng)，可以看出系統(tǒng)主要動態(tài)特性集中在0.1～100 Hz的頻段，而Kff和Ky的引入是為了補償系統(tǒng)的主要動態(tài)特性.系統(tǒng)使用5階點到點的期望軌跡r.

根據(jù)對仿真模型的分析和第2.2 節(jié)中定義1，建立Kff(θff)和Ky(θy)如下:

對于參數(shù)向量θ，設(shè)置初始值為

設(shè)置學(xué)習增益ρ為0.9，使用以上的Kff和Ky，運行程序1.對運行結(jié)果作圖:圖4(a)為對第2次迭代的Kff和Ky分別作出頻率響應(yīng)，與傳遞函數(shù)P進行對比的圖形;圖4(b)為θk隨迭代次數(shù)的變化;圖4(c)為第2次迭代的與P的對比圖.分析運行結(jié)果，可得出以下結(jié)論:

1) 通過圖4(a)看出，算法收斂時，單獨的Kff和Ky都不足以描述系統(tǒng)的動態(tài)特性;

2) 由圖4(b)可以看出，程序在第2次運行后θk變化很小，說明調(diào)參算法收斂速度快，且可以將第3次迭代的結(jié)果看作算法收斂時得到的最優(yōu)值.此外，還可以通過調(diào)整學(xué)習增益ρ來調(diào)整算法的收斂速度;

圖4(a) 仿真中算法收斂時Ky，Kff與P的伯德圖Fig.4(a) Simulation bode diagram of converged Ky and Kffcompared with P

圖4(b) θ隨迭代次數(shù)變化的仿真結(jié)果Fig.4(b) Simulation result of θ during iteration

圖4(c) 仿真中算法收斂時Ky(Kff)-1與P的伯德圖Fig.4(c) Simulation bode diagram of converged Ky(Kff)-1 compared with P

5 實驗

在本章中，筆者將提出的控制方法在實驗平臺上進行測試，驗證算法的有效性.

5.1 實驗平臺

本文使用如圖5(a)所示的直線伺服控制平臺.實驗伺服系統(tǒng)由上位機PC機，POWER PMAC控制卡，AMAC驅(qū)動器和NEWPORT IDL225直線電機運動平臺組成.直線電機的位移由Heidenhain增量式編碼器測量，分辨率為20 μm，然后通過插值得到10 nm的分辨率.電機由數(shù)字伺服驅(qū)動器驅(qū)動.算法使用C語言在PowerPmac控制器中進行實現(xiàn).系統(tǒng)的采樣周期為Ts=0.0001 s.

使用掃頻法獲得實驗平臺的頻率響應(yīng)如圖5(b)所示.為了驗證算法，規(guī)劃了如圖5(c)的兩種5階點到點期望軌跡r1和r2，每個期望軌跡由N=2000個點組成.實驗中，使用線性PD型反饋控制器，表示為Cpd=其中:Kp=1.05，Kd=25.

圖5(a) 直線伺服控制實驗平臺Fig.5(a) Photograph of experimental platform

圖5(b) 實驗平臺的頻率響應(yīng)圖Fig.5(b) Frequency response of experimental platform

圖5(c) 實驗使用的兩種期望軌跡和速度、加速度示意圖Fig.5(c) Two different reference trajectorys with their velocity and acceleration

5.2 輸入整形迭代前饋調(diào)參

如前文所述，最優(yōu)化的Kff(θ*)和Ky(θ*)需要估計系統(tǒng)主要頻段的動態(tài)特性.根據(jù)圖5(b)中的頻率響應(yīng)圖，系統(tǒng)主要頻段為0.1～100 Hz.基函數(shù)選擇為

使用圖5(c)中的r1作為期望軌跡，在實驗平臺上運行程序1，測量每次迭代的θ和誤差并記錄.為了說明收斂情況，對建立Kff的4個參數(shù)作圖如圖6(a).可以看出，θ在第2次迭代后波動很小，可以認為參數(shù)向量在第2次迭代時收斂，算法收斂速度快，因此對程序2的運行時間影響不大.

為了驗證IFT的控制精度，記錄每次迭代的Vk，并作圖如圖6(b).可以發(fā)現(xiàn)，第2次迭代之后，V 的波動很小，這也與仿真相符.通過IFT，軌跡跟蹤的誤差平方和V 減小了兩個數(shù)量級，說明IFT可以對期望軌跡引入的擾動進行一定的補償，提高控制精度.算法收斂時得到的平穩(wěn)段誤差信號如圖6(c)所示，其中1ct=10 nm.

圖6(a) 參數(shù)向量隨迭代次數(shù)的變化情況Fig.6(a) Result of θ during iteration

圖6(b) 迭代前饋調(diào)參得到的Vk隨迭代次數(shù)k的變化情況Fig.6(b) Vk achieved from IFT

圖6(c) 迭代前饋調(diào)參得到的平穩(wěn)段誤差信號Fig.6(c) Error signal during dwell period achieved from IFT

5.3 本文提出的IFT-ILC算法

為了得到最優(yōu)前饋控制器KIFT，需要計算KIFT=并希望它描述系統(tǒng)主要頻段的動態(tài)特性.由第5.2節(jié)的實驗結(jié)果，使用第2次迭代得到的參數(shù)向量作為最優(yōu)參數(shù)向量θ*，建立KIFT=Kff(θ*)·(Ky(θ*))-1.將系統(tǒng)頻率響應(yīng)與KIFT的幅頻特性作比較，并同時作出Kff和Ky的幅頻特性，如圖7(a).圖中:灰實線為系統(tǒng)幅頻特性，黑實線為KIFT的幅頻特性，虛線為Ky，點線為Kff.從圖中可以看出，KIFT可以在主要頻段描述系統(tǒng)動態(tài)特性，而單獨的Kff(θ*)和Ky(θ*)都不足以描述系統(tǒng).因此選用KIFT作為系統(tǒng)前饋控制器是合適的.

圖7(b)顯示了僅加入最優(yōu)前饋控制器的算法與本文提出算法的V 隨迭代次數(shù)變化情況的對比，期望軌跡為r1.由圖中結(jié)果可以看出，僅使用KIFT作為前饋控制器的算法在第1 次迭代后，Vk由不加前饋時的2.5×10-8m2降低到了7.5×10-10m2，之后的10次迭代中Vk不再有顯著的下降;而使用本文提出的IFT與ILC相結(jié)合的算法，在第1次迭代后效果與僅使用KIFT時相同，但之后的10次迭代中Vk仍隨著迭代逐漸下降，在第10次迭代后Vk降低到3.4×10-11m2.可見期望軌跡不變時，本文提出的算法精度遠高于無學(xué)習的精度.

為了驗證算法在軌跡變化時的效果，在第5次迭代后將期望軌跡由r1變?yōu)閞2，對ILC和本文提出的IFTILC算法進行實驗，記錄Vk的變化情況如圖7(c).期望軌跡變化時，PD型迭代學(xué)習控制的Vk由1.8×10-10m2變?yōu)?.2×10-9m2，發(fā)生了嚴重的效果惡化，而使用本文提出的算法，在期望軌跡變化時，Vk為1.2×10-9m2，效果惡化得到減輕.可見，在期望軌跡發(fā)生變化時，僅使用PD型學(xué)習律的ILC的控制效果惡化十分嚴重，而本文提出的算法能減輕效果惡化，提高控制的魯棒性.

圖7(a) 實驗平臺頻率響應(yīng)與，和KIFT的伯德圖Fig.7(a) Frequency response of experimental platform，，and KIFT

圖7(b) 迭代前饋調(diào)參與本文算法的Vk的對比圖Fig.7(b) Comparison of Vk of IFT with proposed algorithm

圖7(c) 期望軌跡發(fā)生變化時迭代學(xué)習控制與本文算法的Vk的對比圖Fig.7(c) Comparison of Vk of ILC with proposed algorithm when reference signal changes

6 結(jié)論

為了改善變軌跡控制任務(wù)中ILC的效果惡化問題，同時保證高控制精度，本文提出了一種結(jié)合輸入整形濾波器，迭代前饋調(diào)參與迭代學(xué)習控制的數(shù)據(jù)驅(qū)動控制算法.算法是數(shù)據(jù)驅(qū)動的，不需要已知模型信息，而是使用輸入輸出數(shù)據(jù)，通過迭代前饋調(diào)參在算法運行過程中對模型進行估計.在迭代前饋調(diào)參過程中，使用基函數(shù)對控制器進行參數(shù)化，并使用梯度下降法進行參數(shù)優(yōu)化，從而獲得最優(yōu)前饋控制器;輸入整形濾波器的引入在保證模型估計精度的同時簡化了計算.最優(yōu)前饋控制器對期望軌跡引入誤差進行補償，減輕了軌跡變化帶來的效果惡化，而迭代學(xué)習控制的引入保證了控制精度.為了驗證算法的有效性，本文將提出的算法應(yīng)用到直線電機系統(tǒng)中，并與現(xiàn)有算法進行了對比，實驗結(jié)果表明本算法能夠更好的處理變軌跡的軌跡跟蹤問題.