陳 強(qiáng)，余歆祺

(浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，浙江杭州 310023)

1 引言

重復(fù)控制與迭代學(xué)習(xí)控制同屬學(xué)習(xí)控制，旨在利用上一周期或上一次迭代的運(yùn)行數(shù)據(jù)來修正當(dāng)前控制輸入，進(jìn)而改善系統(tǒng)的控制性能.不同的是，前者適用于連續(xù)、周期運(yùn)行的系統(tǒng)，而后者適用于在有限時間區(qū)間上重復(fù)運(yùn)行的對象.重復(fù)控制可以有效地跟蹤周期性期望軌跡或抑制周期性擾動，且工程實(shí)現(xiàn)時不需要完全依賴系統(tǒng)參數(shù)，因此易于工程應(yīng)用.

經(jīng)典重復(fù)控制主要基于內(nèi)模原理，在頻域內(nèi)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)[1-2].文獻(xiàn)[3]針對帶有周期擾動的時延系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種重復(fù)控制器，并設(shè)計(jì)干擾觀測器補(bǔ)償外部周期干擾的影響.文獻(xiàn)[4]針對非嚴(yán)格重復(fù)逆變器系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種自抗擾學(xué)習(xí)控制方法，可以良好地抑制短時擾動造成的輸出電壓周期波動，提高系統(tǒng)穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[5-6]針對一類時變不確定系統(tǒng)，基于2維系統(tǒng)穩(wěn)定性理論提出一種魯棒重復(fù)控制器，保證系統(tǒng)的魯棒性與穩(wěn)態(tài)跟蹤精度.文獻(xiàn)[7-8]在恒壓恒頻脈沖寬度調(diào)制(pulse width modulation，PWM)逆變器中應(yīng)用重復(fù)控制技術(shù)設(shè)計(jì)控制器，有效提高了系統(tǒng)跟蹤精度并抑制了諧波.此外，在有源電力濾波器[9]，伺服系統(tǒng)[10]等場合，重復(fù)控制也得到了廣泛應(yīng)用.

近年來，基于Lyapunov方法的重復(fù)學(xué)習(xí)控制引起了廣泛關(guān)注[11-13].重復(fù)學(xué)習(xí)控制器設(shè)計(jì)通常需要處理兩類系統(tǒng)不確定性，即參數(shù)不確定性與非參數(shù)不確定性.其中，處理參數(shù)不確定性時，系統(tǒng)需滿足可參數(shù)化條件，重復(fù)學(xué)習(xí)控制主要針對未知參數(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)[14-15].然而，實(shí)際系統(tǒng)中存在的非參數(shù)不確定性，例如伺服電機(jī)、機(jī)器人系統(tǒng)中的狀態(tài)相關(guān)負(fù)載轉(zhuǎn)矩以及各種未建模動態(tài)等，使得系統(tǒng)的可參數(shù)化條件難以滿足[16].因此，有必要研究非參數(shù)不確定系統(tǒng)的重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法.文獻(xiàn)[17]針對一類非參數(shù)不確定系統(tǒng)，設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器用于解決輸出跟蹤問題，同時引入兩個狀態(tài)觀測器用于估計(jì)系統(tǒng)和參考狀態(tài)信息.文獻(xiàn)[18]針對一類期望軌跡與擾動之間無公共周期的非參數(shù)不確定系統(tǒng)，提出了一種雙周期重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法.文獻(xiàn)[19]針對一類滿足Lipschitz條件的非參數(shù)不確定系統(tǒng)設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器，但重復(fù)學(xué)習(xí)律的設(shè)計(jì)中并未考慮對估計(jì)值進(jìn)行限幅.文獻(xiàn)[20]針對電流反饋永磁步進(jìn)電機(jī)提出一種重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法，并通過部分限幅學(xué)習(xí)律保證估計(jì)值的有界性.然而，由于學(xué)習(xí)律中含有未限幅項(xiàng)，因此不能保證將估計(jì)值限制在指定的界內(nèi).針對這一問題，文獻(xiàn)[21]提出一種全限幅學(xué)習(xí)律，但目前基于全限幅學(xué)習(xí)律的重復(fù)學(xué)習(xí)控制文獻(xiàn)相對較少.此外，文獻(xiàn)[18-20]處理系統(tǒng)不確定性時，需要已知不確定性的界，然而實(shí)際中系統(tǒng)不確定性的界難以直接獲得.

基于以上討論，本文針對一類非參數(shù)不確定系統(tǒng)，基于Lyapunov方法提出一種全限幅自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法，實(shí)現(xiàn)對周期性期望軌跡的高精度跟蹤.本文主要工作包括:1)利用期望軌跡的周期特性，構(gòu)造周期性期望控制輸入設(shè)計(jì)自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器，提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)跟蹤精度，且無需已知非參數(shù)不確定性的界;2)設(shè)計(jì)全限幅學(xué)習(xí)律對未知周期性期望控制輸入進(jìn)行估計(jì)，與已有的部分限幅學(xué)習(xí)律相比，該學(xué)習(xí)律可保證估計(jì)值被限制在指定的界內(nèi);3)通過構(gòu)造完全平方式消除部分誤差相關(guān)項(xiàng)，控制器設(shè)計(jì)中避免了使用符號函數(shù)，從而保證控制信號連續(xù)以及抑制控制器抖振問題.

2 問題描述

考慮如下非參數(shù)不確定系統(tǒng)[22]:

其中:x=[x1x2… xn]T∈Rn表示系統(tǒng)狀態(tài);u∈R表示控制輸入;f(x)和g(x)均為未知有界非線性函數(shù)，其中f(x)表示系統(tǒng)中的非參數(shù)不確定性，g(x)表示與狀態(tài)相關(guān)的控制增益.

假設(shè)1g(x)為恒正或恒負(fù)的有界函數(shù)，即存在正常數(shù)gm和gM，使得對?x∈Rn，有g(shù)m≤|g(x)|≤gM成立.不失一般性，本文假設(shè)g(x)＞0.

假設(shè)2f(x)和g(x)均滿足Lipschitz 條件，即對?z1，z2∈Rn，有|f(z1)-f(z2)|≤lf0‖z1-z2‖和|g(z1)-g(z2)|≤lg0‖z1-z2‖成立，其中:‖·‖表示向量的2-范數(shù)，lf0，lg0＞0為未知Lipschitz系數(shù).

本文考慮周期為T的有界期望軌跡xr=[x1rx2r… xnr]T，即xr(t)=xr(t-T)，可構(gòu)造期望控制輸入

由xr的周期性可知，ur同樣為周期為T的周期信號，即ur(t)=ur(t-T).

本文控制目標(biāo)為，根據(jù)期望軌跡xr和期望控制輸入ur的周期特性，設(shè)計(jì)自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器u，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)x對期望軌跡xr的高精度跟蹤.

3 自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制

3.1 誤差動態(tài)

定義跟蹤誤差

根據(jù)式(1)，跟蹤誤差的導(dǎo)數(shù)滿足

則式(5)可寫為

定義向量a=[a1a2… an]，則式(8)可表示為

選擇向量a=[a1a2… an]，使得特征多項(xiàng)式D(s)=sn+ansn-1+…+a2s+a1為Hurwitz多項(xiàng)式，保證矩陣A漸近穩(wěn)定，從而對任意對稱正定矩陣Q∈Rn×n，存在唯一的對稱正定矩陣P∈Rn×n使得以下Lyapunov方程成立:

令λQ為矩陣Q的最小特征值，則對任意向量v∈Rn，有-vTQv≤-λQ‖v‖2成立.

重復(fù)學(xué)習(xí)控制主要用于處理系統(tǒng)中的周期不確定性，然而在誤差動態(tài)(9)中，系統(tǒng)不確定性并沒有表現(xiàn)出周期特性，因此難以直接基于式(9)設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器.因此，本文利用周期性期望控制輸入ur改寫式(9).將代入式(9)得

3.2 自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制設(shè)計(jì)

構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù):

對V 求導(dǎo)可得

將式(12)代入式(14)有

其中α=bTPe.

根據(jù)假設(shè)2，有|fx-fr|≤lf0‖e‖和|gx-gr|≤lg0‖e‖，代入式(16)有

構(gòu)造如下完全平方式:

則式(17)可改寫為

根據(jù)式(19)，設(shè)計(jì)自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器u，表達(dá)式為

考慮未知期望控制輸入ur的周期性和有界性，設(shè)計(jì)如下全限幅重復(fù)學(xué)習(xí)律用于更新

其中:μ0為學(xué)習(xí)增益，sat(·)為飽和函數(shù)，對任一標(biāo)量a有

其中φ0(t)在t∈[0，T)上單調(diào)遞增，且滿足φ0(0)=0.

其中μ1，μ2，ε1，ε2為正常數(shù).選擇0，由式(24)可以得出

將式(20)代入式(19)可得

注1通過構(gòu)造完全平方式(18)消除式(17)中的控制器(20)避免了使用符號函數(shù)，從而削弱控制器的抖振現(xiàn)象.

注2本文所設(shè)計(jì)的全限幅學(xué)習(xí)律(21)有別于常用的部分限幅學(xué)習(xí)律，即根據(jù)α的表達(dá)式，只要ei，i=1，2，…，n有界，部分限幅學(xué)習(xí)律同樣可以保證有界.然而與全限幅學(xué)習(xí)律相比，部分限幅學(xué)習(xí)律由于含有未限幅項(xiàng)因此難以保證將限制在指定的界內(nèi).

注3式(21)中，函數(shù)φ(t)用以保證在t=iT，i=0，1，2，3，…處的連續(xù)性[14]，其中φ0(t)可選為線性或非線性形式.為便于實(shí)現(xiàn)，本文φ0(t)簡單取為線性函數(shù)

注4根據(jù)誤差動態(tài)(9)，可直接設(shè)計(jì)如下自適應(yīng)魯棒控制器(adaptive robust control，ARC)

注5本文所設(shè)計(jì)的全限幅學(xué)習(xí)律也可以用于定常參數(shù)lf，lg的估計(jì).然而在實(shí)際工程應(yīng)用中，額外的重復(fù)學(xué)習(xí)律需要使用更多的內(nèi)存空間，導(dǎo)致硬件成本的上升.為此，本文設(shè)計(jì)自適應(yīng)更新律來估計(jì)未知參數(shù)lf，lg，在不影響控制性能的前提下，更利于實(shí)際應(yīng)用.

4 收斂性分析

引理1[13]給定標(biāo)量a，b，假設(shè)|a|≤ˉb，其中ˉb為b的限幅值，有如下不等式成立:

定理1給定周期性期望軌跡xr，設(shè)計(jì)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器(20)，全限幅重復(fù)學(xué)習(xí)律(21)以及自適應(yīng)更新律(24)，則系統(tǒng)(1)的跟蹤誤差2-范數(shù)收斂至原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi).

證構(gòu)造如下類Lyapunov函數(shù):

對式(28)求導(dǎo)，可得

考慮xr和ur的周期特性，即xr(t)=xr(t-T)，ur(t)=ur(t-T)，式(29)可寫為

由于(a-b)2-(a-c)2=(2a-b-c)(b-c)，因此式(30)可改寫為

根據(jù)引理1，有不等式[ur-sat(?ur0)][?ur0-sat(?ur0)]≤0成立，從而式(32)可化簡為

將式(25)代入式(33)可得

將自適應(yīng)更新律(24)代入式(34)可得

根據(jù)函數(shù)φ(t)的定義(23)，分別在t∈[0，T)以及t∈[T，+∞)兩個區(qū)間上分析‖e‖的收斂性.

當(dāng)t∈[0，T)時，有

當(dāng)t∈[T，∞)時，由于φ ≡1，由式(35)可得

由式(38)可知，選擇較小的δ1或具有較大λQ的矩陣Q，可保證‖e‖最終收斂到原點(diǎn)附近的鄰域內(nèi)，且該鄰域隨著δ1的減小或λQ增加而減小.證畢.

注6根據(jù)δ1的表達(dá)式可以看出，減小參數(shù)ε1和ε2可保證較小的δ1.然而由式(24)可知，過小的ε1和ε2會降低和的收斂速度.此外，由控制器(20)可以看出，過小的λQ會使得控制器增益過低，從而影響跟蹤誤差的收斂速度.

5 仿真結(jié)果及分析

本節(jié)通過永磁步進(jìn)電機(jī)系統(tǒng)與三階非線性系統(tǒng)兩個仿真實(shí)例驗(yàn)證所提自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制(adaptive repetitive learning control，ARLC)方法的有效性.

例1在d-q坐標(biāo)系下，電流反饋永磁步進(jìn)電機(jī)模型表達(dá)式為[20]

其中:x1，x2分別表示轉(zhuǎn)子位置、速度，J表示轉(zhuǎn)動慣量，Nr表示極對數(shù)，D表示粘滯摩擦系數(shù)，TL(·)表示負(fù)載轉(zhuǎn)矩，if表示永磁體等效電流，u為q軸輸入電流，表示齒槽轉(zhuǎn)矩，cos[(1-i)Nrx1]表示非正弦氣隙磁鏈分布，仿真中取j=4.電機(jī)模型具體參數(shù)如表1所示.

表1 永磁步進(jìn)電機(jī)模型參數(shù)Table 1 Model parameters of the permanent magnet stepper motor

對比式(1)與式(39)，可得控制增益gx表達(dá)式為

由表1可知，系統(tǒng)中Lmi，i=2，3，4遠(yuǎn)小于Lm1，因此存在正常數(shù)gm，滿足gx≥gm.

周期性期望軌跡設(shè)為x1r=sin(0.5πt)，其中周期T=4 s.矩陣A，Q分別取為

通過求解Lyapunov方程(11)得

其他控制參數(shù)設(shè)置為gm=2.8，μ0=240，μ1=0.2，μ2=80，ε1=1×10-4，ε2=1×10-5.系統(tǒng)初值設(shè)置為x1(0)=0.4，x2(0)=0.

仿真結(jié)果如圖1-5所示，其中圖1和圖2分別描述了系統(tǒng)狀態(tài)跟蹤軌跡與跟蹤誤差的2-范數(shù)收斂軌跡.由圖1和圖2可以看出，本文所提的自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法對周期期望軌跡具有良好的跟蹤效果，且隨著系統(tǒng)的周期運(yùn)行，跟蹤誤差2-范數(shù)收斂至原點(diǎn)附近.圖3給出了期望控制輸入ur的估計(jì)值及其估計(jì)誤差.由圖3可知，本文所設(shè)計(jì)的全限幅學(xué)習(xí)律(21)可以較準(zhǔn)確地估計(jì)期望控制輸入ur.圖4給出了系統(tǒng)的控制輸入信號，對比圖3和圖4可見，系統(tǒng)控制輸入u的波形基本與期望控制輸入ur波形保持一致.需要說明的是，所用的永磁步進(jìn)電機(jī)系統(tǒng)(39)包含了大量的齒槽轉(zhuǎn)矩與非正弦氣隙磁鏈分布，因此期望控制輸入ur本身含有大量的諧波成分，由于所提ARLC方法可以較準(zhǔn)確地估計(jì)ur，因此u的曲線并不光滑，這與理論分析中保證控制信號連續(xù)的結(jié)論并不矛盾.圖5給出了未知常數(shù)lf，lg的估計(jì).由圖1-5可以看出，本文所提的自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)對期望控制輸入的準(zhǔn)確估計(jì)以及對周期期望軌跡的高精度跟蹤.

圖1 狀態(tài)跟蹤軌跡Fig.1 States tracking trajectories

圖2 跟蹤誤差2-范數(shù)Fig.2 2-norm of the tracking error

圖3 期望控制輸入的估計(jì)及其估計(jì)誤差Fig.3 Estimate of the desired control input and the estimation error

圖4 控制輸入Fig.4 Control input

圖5 未知參數(shù)lf，lg的估計(jì)Fig.5 Estimates of the unknown parameters lf and lg

例2考慮如下三階非線性系統(tǒng):

期望軌跡設(shè)為x1r=sin(0.5πt)，周期為T=4 s，矩陣A，Q分別設(shè)為

通過求解Lyapunov方程(11)得

其他控制參數(shù)設(shè)置為gm=0.6，μ0=240，μ1=0.2，μ2=80，ε1=1×10-4，ε2=1×10-5.

為顯示本文所提ARLC方法的優(yōu)越性，進(jìn)一步給出與自適應(yīng)魯棒控制(adaptive robust control，ARC)方法以及自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制(adaptive neural-network control，ANNC)方法的對比[23].其中ARC控制器形式由式(26)給出，且?ρ的自適應(yīng)更新律設(shè)計(jì)為

其中參數(shù)設(shè)置為μρ=2，ερ=7×10-2.ARC控制器(26)中g(shù)m同樣設(shè)置為0.6，矩陣A，Q，P 的取值同式(42)-(43)，即與ARLC控制器相同.

ANNC控制器由文獻(xiàn)[23]給出，具體形式如下:

虛擬控制器α1，α2和控制器u定義為

其中:c1，c2，c3為正常數(shù);z1，z2和z3為誤差變量，表達(dá)式為

S(Z)=[s1(Z) s2(Z) … sl(Z)]T，Z∈Rq為q維輸入向量，l 表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)個數(shù).si(Z)，i=1，2，…，l取為高斯函數(shù)，表達(dá)式為

其中:μi=[μi1μi2… μiq]為聚類中心，ηi為高斯函數(shù)寬度.此外，式(46)中為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值向量的估計(jì)值，其更新律為

其中:σ為正參數(shù)，Γ為增益矩陣.

本仿真實(shí)例中，c1，c2和c3的取值根據(jù)式(43)的最后一行在一定范圍內(nèi)進(jìn)行調(diào)節(jié)，選取跟蹤效果較好的一組取值為c1=20，c2=25，c3=30.輸入向量Z=神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)l=100;聚類中心μi(i=1，2，…，l)分布于[-3，3]×[-3，3]×[-3，3]×[-3，3]×[-3，3]×[-3，3]×[-3，3];高斯函數(shù)寬度取為ηi=10，i=1，2，…，l;增益矩陣Γ=2×I6，其中I6為單位矩陣;正參數(shù)σ=0.5.

仿真對比結(jié)果如圖6-10所示.圖6和圖7給出了ARLC與ARC以及ANNC的跟蹤性能對比.由圖6和圖7可見，在ARC或ANNC控制下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時仍存在一定的周期性跟蹤誤差;而在ARLC控制下，系統(tǒng)周期性跟蹤誤差隨著系統(tǒng)運(yùn)行被逐漸消除.因此，本文所提ARLC方法具有更高的周期軌跡跟蹤精度.圖8給出了ARLC與ARC以及ANNC的控制輸入對比，由圖8可以看出，ARC方法存在明顯的抖振現(xiàn)象，而ARLC方法和ANNC方法由于在控制設(shè)計(jì)時避免了使用符號函數(shù)，有效抑制了控制器抖振問題.圖9給出了期望控制輸入的估計(jì)及其估計(jì)誤差可以看出本文所設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)律(21)可實(shí)現(xiàn)對期望控制輸入的準(zhǔn)確估計(jì).圖10給出了未知常數(shù)lf，lg的估計(jì).

圖6 ARLC與ARC以及ANNC的跟蹤軌跡對比Fig.6 Comparison of tracking trajectories among ARLC，ARC and ANNC

圖7 ARLC與ARC以及ANNC跟蹤誤差2-范數(shù)對比Fig.7 Comparison of 2-norm of tracking error among ARLC，ARC and ANNC

圖8 ARLC與ARC以及ANNC控制輸入對比Fig.8 Comparison of control inputs among ARLC，ARC and ANNC

圖9 期望控制輸入的估計(jì)及其估計(jì)誤差Fig.9 Estimate of the desired control input and the estimation error

圖10 未知參數(shù)lf，lg的估計(jì)Fig.10 Estimates of the unknown parameters lf and lg

由圖6-10可以看出，本文所提ARLC方法能夠?qū)崿F(xiàn)對周期軌跡的高精度跟蹤以及對期望控制輸入的準(zhǔn)確估計(jì).在消除系統(tǒng)周期性跟蹤誤差和提高系統(tǒng)跟蹤精度的同時，能夠有效抑制控制器抖振問題.

6 結(jié)論

本文針對一類非參數(shù)不確定系統(tǒng)，基于Lyapunov方法設(shè)計(jì)自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制器，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)對周期性期望軌跡的高精度跟蹤.利用期望軌跡的周期特性，構(gòu)造周期性期望控制輸入，并設(shè)計(jì)全限幅學(xué)習(xí)律對其估計(jì)，保證估計(jì)值被限制在指定的界內(nèi).通過構(gòu)造完全平方式消除部分誤差相關(guān)項(xiàng)，控制器設(shè)計(jì)中可避免使用符號函數(shù)，從而保證控制信號連續(xù).此外，對非參數(shù)不確定性界的平方設(shè)計(jì)自適應(yīng)估計(jì)律，減少控制器對系統(tǒng)模型信息的依賴.仿真對比驗(yàn)證了本文所提方法的有效性.