于勇，羅松

(北京理工大學 宇航學院，北京，100081)

在化工、石油、制藥等很多多相流系統(tǒng)中都存在氣泡-氣泡以及氣泡-壁面的相互作用.這些作用對化學反應、力學特性及傳熱傳質等過程有著重要的影響.因此深入了解氣泡的碰撞動力學行為以及建立適當?shù)哪Ｐ蛠砻枋鍪菢O其重要的.研究氣泡碰撞動力學過程可以為量化凝結、聚集、黏附和破碎等過程提供參考，同時為復雜多相流動系統(tǒng)提供子模型參考.

對于氣液變形界面碰撞過程中形成的薄膜及其變化過程的研究具有較長的歷史，Tsao等[1]最早用高速相機捕捉到了高雷諾數(shù)下的氣泡與壁面作用下的反彈現(xiàn)象，實驗中發(fā)現(xiàn)氣泡以終端速度撞擊壁面會反彈多次直至黏性耗散掉氣泡的動能.但是限于當時的實驗條件和方法，氣泡碰撞壁面形成的薄膜分布和薄膜排水的動力學過程未能被捕捉到.Legendre[2-3]及Zawala[4]等進行了氣泡撞擊壁面反彈的實驗并從能量的角度量化分析了氣泡與壁面撞擊過程中的能量變化，其結果表明氣泡撞擊壁面存在氣泡動能和氣泡表面能的相互轉化，同時發(fā)現(xiàn)氣泡與壁面的撞擊過程由薄膜排水的慣性效應所主導，當慣性力大于粘性耗散力，氣泡會發(fā)生反彈，反之則不會.Hendrix等[5]采用同步相機和光學干涉方法對毫米級氣泡與壁面的碰撞過程進行了實驗，實驗過程中通過光學干涉法得到了氣泡與壁面間的薄膜變化.隨后Kosior等[6-7]對表面催化物質以及壁面屬性對氣泡碰撞行為的影響進行了實驗研究.Zhang Xurui及Manica等[8-9]利用集成薄膜測力儀對氣泡碰撞過程的受力進行了實驗測量，這為一系列模型的驗證提供了重要數(shù)據(jù).

對于氣泡或液滴碰撞過程形成的薄膜排水動力學過程的模型描述吸引了眾多的學者.Yiantsios等[10]采用非流動表面條件下的薄膜潤滑近似理論得到了浮力作用下小液滴與壁面作用形成的薄膜演化規(guī)律，在模型計算中捕捉到了酒窩狀的變形.Klaseboer等[11]采用薄膜排水模型和壁面誘導力模型對甲烷液滴與壁面撞擊的薄膜排水和反彈過程進行了理論計算，但薄膜分布的準確性未得到驗證.Moraga等[12]根據(jù)實驗數(shù)據(jù)提出了新的壁面誘導力模型，這一模型中不再求解薄膜潤滑理論，而是通過實驗數(shù)據(jù)得到其與浮力和阻力的關系，這一模型顯式的引入了Re數(shù)、We數(shù)和Bo數(shù)的影響，是額外薄膜壓力模型的改進，但是對理解薄膜排水的詳細動力學過程沒有幫助，其力的模型誤差也較大.Podvin等[13]將Klaseboer的模型擴張到2維來描述氣泡與傾斜壁面的碰撞問題.Chan等[14]詳細地總結了氣泡和液滴的薄膜排水及聚合問題的發(fā)展歷程，對各種理論模型和動力學邊界進行了分析，結果表明Stokes-Reynolds-Young-Laplace模型最能精確地描述氣泡碰撞過程中形成的薄膜的演化.隨后Manica等[15-16]對不同尺度下的氣泡/液滴碰撞過程中的薄膜排水過程以及受力進行了詳細的研究，提出的氣泡受力模型可以精確地模擬不同尺度下的氣泡的反彈軌跡.以上的模型對理解氣泡碰撞的動力學過程起到了重要的作用，同時可以為復雜氣泡流動系統(tǒng)的直接數(shù)值模擬提供了子模型參考[17-19].

綜上可知，國外大量學者對于氣泡/液滴碰撞的動力學行為進行了研究，實驗從開始只能捕捉氣泡軌跡到詳細捕捉薄膜演化再到可以精確地測量氣泡/液滴受力，理論模型可以較為精確地捕捉薄膜變化規(guī)律和氣泡軌跡.限于作者所知，國內目前暫時無人用此方法研究該問題.本文采用Stokes-Reynolds-Young-Laplace模型和壁面誘導力模型對氣泡與固體壁面碰撞的動力學過程進行了分析，討論了碰撞過程中的薄膜演化規(guī)律和膜內壓力變化，將計算得到的軌跡與實驗結果進行了對比，驗證了氣泡受力模型的準確性.同時對不同Re數(shù)下氣泡碰壁過程進行了求解，得到了氣泡碰壁反彈規(guī)律.

1 數(shù)學模型

1.1 氣泡受力模型

考慮如圖1所示的問題，初始半徑為R的氣泡或液滴以速度v(t)垂直撞擊壁面，考慮為軸對稱問題，氣泡表面與壁面之間形成薄膜分布h(r,t)，氣泡質心距壁面距離為Zd，氣泡表面與壁面間形成徑向速度分布u，薄膜形成水動力學壓強分布p(r,t)，薄膜徑向分布的最大位置為rmax.將氣泡的運動簡化為質點運動，可以得到氣泡的受力方程為

(1)

式中：FB為氣泡受到的浮力；FD為氣泡受到的阻力或拽力；FA為附加質量力；FF為由于氣泡撞擊壁面界面變形引起的薄膜內潤滑壓力，又稱為壁面誘導力；ρd為氣泡的密度.

由于重力的存在氣泡上升過程中受到浮力的作用，浮力大小與氣泡體積和流體密度有關，

(2)

式中：ρc為周圍液體的密度；g為重力加速度.氣泡運動過程中由于黏性的存在會受到阻力的作用，阻力為

(3)

式中:μc為周圍液體的粘性，Re=2Rρc|v|/μc為氣泡運動的瞬時雷諾數(shù).阻力系數(shù)CD通過對橢圓形氣泡運動的分析計算得到，并經(jīng)試驗驗證具有很高的準確性[20].

(4)

(5)

(6)

以上阻力系數(shù)的關系適用于變形較大的液滴或氣泡(如橢圓形氣泡)，對于小氣泡或部分液滴，上升運動過程中變形很小，近似為圓形，考慮非滑移氣泡表面，其阻力規(guī)律與圓球顆粒的阻力規(guī)律相似，具有以下關系式.

(7)

當上升氣泡處于穩(wěn)定運動狀態(tài)時，阻力和浮力平衡，此時氣泡的運動速度成為終端速度vT.

氣泡從靜止加速或與壁面碰撞變速的過程中，由于周圍流體的加速或減速會對氣泡產(chǎn)生附加質量力.附加質量力為

(8)

(9)

氣泡撞擊壁面的模型中最重要部分是氣泡和固體表面之間的潤滑膜以及控制氣泡在該區(qū)域變形的表面張力，這種黏性潤滑和氣泡變形之間的平衡將引起膜內積聚的壓力，其大小在特定條件下足以引起氣泡反彈.將薄膜內的壓力作面積積分可以得到薄膜排水力，又叫壁面誘導力或附加薄膜壓力.考慮軸對稱薄膜，可得

(10)

式中rmax為薄膜分布的最大徑向位置，其中rmax的選取與氣泡的變形有關；p為薄膜內的壓強分布.除了上述的各種作用力之外，流體的慣性效應還會引起歷史力FH，但對于高雷諾數(shù)的氣泡運動這一力可以忽略.對于薄膜厚度到納米級的問題或者微納級的氣泡碰撞問題，氣泡碰撞壁面的過程中還會有分子范德華力FVDW以及雙電層力FEDL.

求解氣泡的質心受力方程可以得到氣泡質心速度變化v，對速度v積分即可得到氣泡的質心位置變化Zd.

1.2 Stokes-Reynolds-Young-Laplace模型

采用合適的模型描述氣泡撞擊壁面時形成的薄膜演化和膜內壓力變化是理解氣泡碰撞動力學行為的關鍵.氣泡撞擊壁面時，膜內流動滿足N-S方程，定義局部薄膜雷諾數(shù)Ref(ρcH0v0/μc)，由于分離薄膜厚度H0和氣泡表面速度v0很小，有Ref?1，因此薄膜內流動的慣性效應可以忽略，薄膜內流動可以簡化為Stokes流動，則軸對稱模型下的N-S方程組可以簡化為

(11)

(12)

(13)

式中：u為徑向速度分布；v為軸向速度.將連續(xù)性方程(11)從z=0積分到h(r,t)，得到薄膜厚度演化的方程為

(14)

在固壁面z=0處，有非滑移邊界條件u=v=0，如圖2所示，假設氣液交界面是不流動界面(immobile interface)，則氣泡表面切向的速度分量必定為0，即在z=h(r,t)處，u=0.實際上只有在純凈無雜質的液體中，才會考慮氣液交界面為流動界面(mobile interface)，實驗表明只要液體中有微量的雜質或表面活性物質就會導致氣液交界面為不流動界面.根據(jù)式(13)薄膜內壓強分布與z向無關，將式(12)對z積分兩次，并結合上述速度u的邊界條件，可得

(15)

(16)

將式(15)或(16)代入式(14)即可得到描述薄膜演化規(guī)律的Stokes-Reynolds方程：

(17)

式中，M=12對應上述詳細討論的非流動界面邊界條件(immobile interface)，M=3對應流動界面邊界條件(mobile interface).

由于薄膜排水引起的水動力學壓力p滿足Young-Laplace方程[14]：

(18)

式中σ為表面張力系數(shù)，方程(18)是描述薄膜排水動力學行為模型的關鍵，氣泡變形引起的表面能變化是唯一能夠儲存能量的地方，表面能的變化引起薄膜內壓力增加.在氣泡撞擊壁面反彈的過程中，壓力集聚儲存的能量會轉化為氣泡的動能.

當氣泡遠離壁面時，式(18)中的水動力學壓力p為0，因此初始條件的選取需要保證薄膜內的壓力分布為0，采用拋物型初始薄膜分布可以滿足這一條件，這一分布是半徑為R的球形氣泡表面的局部近似.因此t=0時的初始條件為

(19)

(20)

式中，H0為t=0時刻r=0位置處的薄膜厚度，選取為氣泡受壁面影響可以忽略的初始位置，一般取H0=5R.

對于方程(17)(18)構成的偏微分方程系統(tǒng)，需要4個邊界條件.在r=0處，由于是軸對稱模型，采用對稱邊界

(21)

(22)

在薄膜的最外端，此處薄膜近似認為未變形，同時近似有薄膜厚度的變化速度與氣泡質心的速度相等，因此有邊界條件

(23)

p|r=rmax=0.

(24)

1.3 數(shù)值方法

方程(1)(17)(18)及邊界條件和初始條件(19)～(24)構成了描述氣泡與壁面碰撞過程的動力學模型.將式(18)帶入式(17)中可以得到關于薄膜厚度分布變化的4階非線性偏微分方程.

(25)

該方程沒有解析解，即使是考慮弱擾動情形下的解，因此只能采用數(shù)值方法求解.采用隱式格式進行求解，對上式中所有關于r的空間導數(shù)項采用2階中心差分格式離散，

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

式中Δt為時間步長.數(shù)值差分格式建立后利用已知時刻的h對離散方程中的非線性項進行線性化，最終得到的離散代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣是五對角矩陣，可以通過高斯消去法進行求解.軌跡方程(1)通過4階龍格庫塔法求解.

當建立數(shù)值差分格式和數(shù)值方法后，整個方程系統(tǒng)的求解步驟如下：通過求解薄膜方程得到薄膜分布h，根據(jù)壓強方程求得壓力分布p，然后通過Simpson 法則求得壁面誘導力FF，求解氣泡的軌跡方程得到下一時層的速度v，積分速度得到氣泡軌跡Zd，然后根據(jù)新的速度v再計算下一時層的薄膜分布，重復以上過程直至計算結束.在每一個時間步的計算內，薄膜厚度的差分代數(shù)方程組采用迭代法求解，保證薄膜厚度求解的絕對殘差小于10-15，對應的壓強分布絕對殘差小于10-12.

2 結果分析

2.1 典型氣泡碰壁動力學過程分析

圖3顯示了氣泡運動過程中的受力變化.氣泡運動過程中受4個力的作用，即浮力、阻力、附加質量力和壁面誘導力，在不同的運動階段，各個力對氣泡運動的作用不一樣.在初始狀態(tài)時氣泡離壁面較遠，壁面誘導力不起作用，氣泡的阻力和浮力平衡，氣泡以終端速度運動，此時氣泡無加速度所以附加質量力為0.當氣泡靠近壁面時，壁面誘導力急劇增加并對氣泡的運動起主導作用，此時氣泡的運動主要由壁面誘導力和附加質量力控制，浮力和阻力不再起主導作用.在每一次反彈過后壁面誘導力會出現(xiàn)短暫的負值，此時氣泡貼近壁面，有較大的負壓區(qū)存在.在反彈過后的部分時間里，氣泡速度接近0，阻力基本可以忽略，而附加質量力也很小，氣泡處于壁面誘導力和浮力的平衡狀態(tài).氣泡在多次反彈過程中的力的演化規(guī)律基本一致.但隨著每一次碰撞速度的衰減，壁面誘導力的最大量級逐漸變小.

圖4顯示了采用不同時間步長計算得到的氣泡運動軌跡的對比來驗證數(shù)值方法的收斂性.從圖中可以看出，對于求解理論模型所采用的隱式數(shù)值計算方法，采用時間步長10-7就可以得到較好的結果，減小時間步長基本不會引起結果的差異，因此說明了采用的數(shù)值算法對時間步長的無關性.圖5顯示了采用不同空間節(jié)點數(shù)計算得到的氣泡運動軌跡以對比空間網(wǎng)格的收斂性.計算采用的節(jié)點數(shù)為100，200，400，600，800.從圖中可以看出采用不同節(jié)點數(shù)計算得到的氣泡軌跡均趨于一條曲線，差別極小，通過對第1次反彈幅度最大位置處的局部放大圖可以看出，除了采用節(jié)點數(shù)為100的計算結果之外，其余的計算結果均收斂與一條曲線.計算采用節(jié)點數(shù)200就可以得到很好的結果.

對于采用不用空間節(jié)點數(shù)計算得到的質心軌跡,可用以下的范數(shù)誤差分析，

l1error:

(32)

l2error:

(33)

l∞error:

(34)

式中:‖e‖1、‖e‖2和‖e‖∞分別為1范數(shù)誤差、2范數(shù)誤差及最大范數(shù)誤差;NTS即為空間步長數(shù);qt,ref為參考計算結果，一般采用最小網(wǎng)格尺度的計算結果，本文以節(jié)點數(shù)為800的計算結果作為參考;qt為其余網(wǎng)格節(jié)點數(shù)計算結果.

當建立起范數(shù)誤差之后，計算結果關于空間步長的收斂速度可以表示為

(35)

式中：l為網(wǎng)格的細化等級；h為對應等級的空間步長.

表1顯示了氣泡質心軌跡的范數(shù)誤差和空間收斂階數(shù)，參考值為節(jié)點數(shù)為800的計算結果.可以看出，隨著空間節(jié)點數(shù)的增加，計算結果的范數(shù)誤差逐漸減小，質心位置的收斂階數(shù)也逐步增加，在節(jié)點數(shù)為200時，接近2，當節(jié)點數(shù)為600時，大于3.同時可以看出采用不同范數(shù)誤差計算得到的收斂階數(shù)大小基本相同.

表1 相對范數(shù)誤差及收斂階數(shù)分析

圖6顯示了計算得到的氣泡運動軌跡，計算分別采用了流動氣液界面和非流動氣液界面進行計算，結果表明，采用流動界面邊界條件下的理論模型得到的氣泡軌跡變化與Tsao&Koch實驗結果吻合得更好，這說明在他們的實驗條件下所研究的氣泡表面具有較好的流動性，實際上他們在實驗中采用了去離子水，流動系統(tǒng)比較純凈.其中理論模型得到的結果對于反彈運動的最大幅度的預測略小于實驗值，最大誤差在氣泡反彈的最大位置處，最大誤差在10%以內，同時可以看出計算得到的氣泡質心隨時間變化的曲線與試驗結果相比存在時間上的相移現(xiàn)象.這是由于實際中的氣泡在碰撞和反彈過程中處于持續(xù)的變形之中，在碰撞過程中保持變形較大的橢球形形狀，而反彈回去之后會逐漸恢復為球形，實際上變形會引起阻力系數(shù)和附加質量力系數(shù)的變化.而在理論模型之中，阻力系數(shù)和附加質量力系數(shù)都保持為常數(shù)，因此引入誤差以及速度隨時間演化上的差異，這是理論模型進一步修正的方向，但是可以看出這里引入的誤差對于氣泡反彈運動的描述影響不大.同時可以看出，采用非流動界面邊界條件得到的氣泡反彈后的最大幅度更小，氣泡動能衰減的更快，第2次和第3次反彈幅度急劇變小.這是由于采用非流動界面邊界條件引起的氣泡變形和粘性耗散會更大.圖中展示了Moraga等[12]的計算結果來進行了對比，可以看出，本文計算結果與Moraga計算結果基本一致，但Moraga計算結果的相移現(xiàn)象更加明顯.

圖7顯示了模型預測得到的氣泡質心速度變化，氣泡在最接近壁面和反彈后離壁面最遠時速度為0，根據(jù)不同的速度方向變化可以將氣泡運動過程分為不同的碰撞和反彈過程.可以看出在每一次碰撞和反彈過程中氣泡的最大運動速度在變小，而且氣泡從接近壁面速度最大到遠離壁面速度最大的運動階段里速度變化更快，此時壁面誘導力FF對氣泡的運動起主導作用.再觀察速度氣泡軌跡和速度的衰減，可以發(fā)現(xiàn)其類似于阻尼振蕩衰減，但實際上的能量耗散小于采用黏性阻尼振蕩器來分析這一系統(tǒng)時的能量耗散，氣泡反彈的幅度也大于采用黏性阻尼振蕩器來分析得到的反彈幅度.這是由于氣泡變形的存在，使得能量轉化為氣泡表面能，表面能可以再轉化為氣泡的動能，這使得實際的黏性耗散小于黏性阻尼振蕩器的耗散.

氣泡在碰撞壁面的過程中會發(fā)生變形，接近壁面的表面變形程度較大，在氣泡速度為0時，氣泡質心距離壁面最近，薄膜變形達到最大，隨后氣泡反彈氣泡形狀恢復.此處詳細討論氣泡前兩次碰撞回彈過程中的薄膜剖面分布變化，來展示氣泡撞壁的動力學過程.圖8顯示了氣泡第1次碰撞壁面時薄膜的變化規(guī)律，從圖中可以看出氣泡中心處的薄膜厚度變化率先大于邊緣處的薄膜厚度變化率，隨后基本不變，氣泡由初始近似球形形狀發(fā)展出酒窩狀的形狀，酒窩狀出現(xiàn)在氣泡中心和邊緣的中間部位.圖9顯示了氣泡第1次反彈過程中的薄膜剖面變化.從圖中可以看出，氣泡在反彈時，酒窩狀的位置朝氣泡中心位置發(fā)展，此時氣泡中心處薄膜厚度基本不變，但在部分時刻仍然朝壁面貼近，后面可以看到這是受到局部負壓吸力作用的影響.當酒窩狀凸起發(fā)展至中心位置后，氣泡迅速回彈，恢復至近似初始形狀.

圖10顯示了第2次碰撞過程中的薄膜剖面演化.薄膜仍然形成了酒窩狀的分布，但此時酒窩狀出現(xiàn)的位置離氣泡中心更近，酒窩狀形態(tài)更加明顯.此時氣泡撞擊壁面的速度變小，這說明氣泡撞擊壁面的速度對薄膜的變化是有影響的，特別是對酒窩狀的形成和分布.圖11顯示了第2次反彈過程中的薄膜變化.與第1次反彈過程一樣，酒窩狀的位置會超氣泡中心位置發(fā)展，部分時刻薄膜中心處的位置仍受負壓影響向壁面靠近.

圖12顯示了薄膜中心處的厚度變化h0(t)和最小薄膜厚度hm(t)隨時間的變化規(guī)律.從圖中可以看出，在遠離壁面時，兩者相等，此時氣泡的最小薄膜位置出現(xiàn)在中心處，未有酒窩狀出現(xiàn).在氣泡最接近壁面時刻(速度為0)附近，最小薄膜厚度小于薄膜中心位置的薄膜厚度，此時預示著酒窩狀的出現(xiàn)，薄膜潤滑效應起到主導作用.同時此氣泡初始動能大，會反彈多次，可以看出在計算內的4次反彈過程中均有酒窩狀的形狀出現(xiàn).實際上酒窩狀形狀的出現(xiàn)受薄膜內部排水過程和氣泡變形的影響.對于氣泡和液滴等的碰撞動力學行為中形成的薄膜中均會存在酒窩狀、漣漪狀、丘疹狀的表面形態(tài)分布.這些形狀的存在會使得薄膜內部形成非等截面的流動通道進行薄膜排水過程，引起薄膜內流動的變化.

圖13和圖14分別顯示了第1次碰撞和反彈過程中薄膜內壓強的變化規(guī)律.在氣泡接近壁面過程中，氣泡初始壓強分布為0，隨著氣泡的變形，中心位置壓強迅速上升隨后保持不變，壓強沿徑向遞減.其中最大壓強接近200 Pa，此氣泡的Laplace壓強2σ/R=187.34 Pa，最大壓強會大于球形氣泡所具有的Laplace壓強，壓強分布引起氣泡撞擊壁面時的局部變形.在氣泡遠離壁面反彈的過程中，最大壓強數(shù)值有所增加，壓強隨徑向加速衰減的位置向薄膜中心發(fā)展，同時，在酒窩狀出現(xiàn)的位置及其外部會出現(xiàn)局部的負壓區(qū)，負壓區(qū)的位置隨酒窩狀的位置向薄膜中心發(fā)展.當酒窩狀完全發(fā)展至中心處時，會形成完全的反壓區(qū).這些反壓的存在會使壁面誘導力在部分時刻反向.當氣泡反彈恢復至近似初始形狀時，壓力分布衰減為0.

圖15和圖16顯示了第2次碰撞和反彈過程中薄膜內壓強的變化情況.可以看出，第2次碰撞和反彈過程的壓強變化規(guī)律與第1次相同，只是壓強加速衰減的位置與酒窩狀位置一樣向薄膜中心處發(fā)展.最大壓強的量級與第1次相似.

2.2 酒窩狀變形的形成和氣泡反彈規(guī)律

以上討論了典型高雷諾數(shù)下氣泡碰壁過程中的薄膜變形和膜內流體動壓強變化.實際上，對于水中變形氣泡而言，其與壁面碰撞過程中的薄膜變形與膜內壓強分布規(guī)律與以上相同，只是酒窩狀變形形成的位置不一樣.酒窩狀變形形成時的液膜厚度決定了薄膜排水的時間，準確地預測酒窩狀變形形成時的薄膜厚度和薄膜排水時間對于研究氣膠體顆粒碰撞時的穩(wěn)定性有重要意義.酒窩狀變形處的薄膜厚度最小，當薄膜不穩(wěn)定時，薄膜的破碎會最先從這里開始.記氣泡與壁面碰撞過程中酒窩狀第1次形成時的薄膜厚度為hD，此時氣泡靠近壁面界面為扁平形，中心位置及周圍位置液膜厚度相等.考慮氣泡界面為非流動界面時，對于以恒定速度撞擊壁面的氣泡這一厚度可以通過理論分析得到[21]，其表達式為

(36)

對于不同尺寸的氣泡碰壁問題，氣泡具有不同的終端速度以及不同的雷諾數(shù).氣泡在碰壁的過程中動能會逐漸被耗散，當動能被完全耗散掉時，氣泡將不再反彈.圖10顯示了不同(We,Re)控制下的氣泡反彈次數(shù)機制圖，其中韋伯數(shù)We=2ρv2R/σ.這里規(guī)定氣泡碰撞壁面后質心反向運動的最大幅度超過氣泡半徑的1/10時認為氣泡發(fā)生反彈.從圖中可以看出，氣泡反彈次數(shù)隨著雷諾數(shù)的增加而增多.在雷諾數(shù)Re約大于29時，氣泡會發(fā)生反彈，反之氣泡不發(fā)生反彈；當雷諾數(shù)Re約大于90時，氣泡反彈次數(shù)增加為兩次；當Re約大于190時，氣泡反彈次數(shù)增加為3次；當雷諾數(shù)Re約大于310時，氣泡的反彈次數(shù)增加至4次；當Re約大于430時，氣泡的反彈次數(shù)增加至5次；當Re約大于586時，氣泡反彈次數(shù)增加至6次，在現(xiàn)有的計算中氣泡出現(xiàn)的最大反彈次數(shù)為6次.

3 結 論

采用壁面誘導力模型和SRYL模型對氣泡碰壁反彈過程進行了求解和分析，得到了以下結論.

① 隨著氣泡尺寸及雷諾數(shù)的增大，氣泡在與壁面作用的過程中會反彈0到多次，基于壁面誘導力的氣泡軌跡模型可以很好地預測氣泡的反彈規(guī)律.高雷諾數(shù)的氣泡會反彈多次直至動能被全部耗散.

② 上升氣泡碰壁過程中受到浮力、阻力、附加質量力和壁面誘導力.在氣泡接近壁面的過程中，壁面誘導力急劇變化并對氣泡運動起主導作用，壁面誘導力是引起氣泡反彈的最主要因素.

③ 氣泡在最接近壁面時，氣泡表面靠近壁面的部分會呈現(xiàn)豐富的變形，存在類似于薄膜潤滑效應的動力學行為.薄膜出現(xiàn)酒窩狀的形狀，膜內壓強也會因為薄膜變形和排水過程而發(fā)生變化，壓強的最大值會大于Laplace壓強.

④ SRYL模型對氣泡碰撞壁面的薄膜排水動力學過程做出了較為詳細的描述和解釋，可以為復雜兩相流動的數(shù)值模擬提供子模型參考.