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        基于廣義卡爾曼-布西濾波的壓縮光相位自適應(yīng)估計(jì)方法

        2020-07-15 07:42:24陳樹新徐涵吳昊房亮崔軍輝鐘慧
        關(guān)鍵詞:卡爾曼鎖相環(huán)量子

        陳樹新,徐涵,吳昊,房亮,崔軍輝,鐘慧

        (1.空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院,陜西,西安 710077;2.空軍工程大學(xué) 研究生院,陜西,西安 710077;3.94969部隊(duì),上海 200436; 4.95655部隊(duì),四川,成都 611530)

        量子參數(shù)估計(jì)[1]是在量子系統(tǒng)中對(duì)經(jīng)典變量的估計(jì)問題,其中量子相位估計(jì)已經(jīng)成為量子通信[2-3]、量子定位[4]和引力波探測(cè)[5-6]等領(lǐng)域的理論基礎(chǔ),受到了廣泛的關(guān)注.導(dǎo)航系統(tǒng)中的相位式測(cè)角同樣需要精確的相位參數(shù)[7],而利用量子理論獲取相位參數(shù)的導(dǎo)航機(jī)制可以克服散粒噪聲的影響,有望提高導(dǎo)航定位的精度.

        上述的壓縮光相位估計(jì)方法能夠?qū)崿F(xiàn)的關(guān)鍵在于如何調(diào)整本振相位,以減小真空起伏對(duì)零拍電流的影響.但是他們均采用了數(shù)據(jù)平滑方法獲取相位信息,這對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高的導(dǎo)航系統(tǒng)來說并不適用.為此,本文在利用量子零拍探測(cè)測(cè)量相位壓縮光的相位時(shí),基于廣義卡爾曼-布西濾波[17-18](extended Kalman-Bucy filter, EKBF)設(shè)計(jì)了零拍鎖相環(huán),所設(shè)計(jì)鎖相環(huán)能夠?qū)Ρ菊裣辔贿M(jìn)行實(shí)時(shí)反饋控制,保證其與待測(cè)信號(hào)相位正交,同時(shí)提高了一階泰勒展開的精度,從而得到精度最高的壓縮光相位.通過求解李雅普諾夫方程得到了估計(jì)誤差與各參數(shù)間的關(guān)系,理論分析和仿真結(jié)果表明此方法可以實(shí)現(xiàn)壓縮光相位的精確估計(jì),精度能夠突破標(biāo)準(zhǔn)量子極限.在最優(yōu)壓縮度下能夠得到最高的估計(jì)精度,且最優(yōu)壓縮度越高,相位估計(jì)精度越高.

        1 系統(tǒng)模型

        首先在狀態(tài)空間中定義狀態(tài)模型和量測(cè)模型,相位壓縮光的調(diào)制相位模型φ(t)為Ornstein-Uhlenbeck(OU)過程[19]

        (1)

        式中:λ-1>0為φ(t)的相關(guān)時(shí)間;κ>0決定相位變化的大?。籿(t)為具有統(tǒng)一振幅的均值為0的高斯白噪聲,滿足E[v(t)v(τ)]=Nδ(t-τ).

        用零拍探測(cè)測(cè)量由上述相位模型調(diào)制后的相位壓縮光,將本振相位Φ(t)通過反饋控制為Φ(t)≈π/2+φ(t),然而φ(t)是未知的,因此需要利用最優(yōu)估計(jì)理論得到φ(t)的最優(yōu)估計(jì)值φ(t),從而得到零拍探測(cè)輸出電流

        (2)

        (3)

        設(shè)探測(cè)中總損耗l,相位壓縮度與反壓縮度分別為R-=e-2rm和R+=e2rp,壓縮度和反壓縮度可以由統(tǒng)一壓縮參數(shù)r和探測(cè)總損耗l表示為[12]

        (4)

        2 零拍鎖相環(huán)設(shè)計(jì)

        2.1 廣義卡爾曼-布西濾波算法

        假設(shè)連續(xù)非線性系統(tǒng)模型為

        (5)

        式中:f[·]和h[·]都是或者其中一個(gè)是關(guān)于自變量X(t)的非線性函數(shù);w(t)和v(t)為高斯白噪聲.

        針對(duì)此類連續(xù)非線性系統(tǒng)而言,卡爾曼-布西濾波的基本方程并不適用,因此需要利用將非線性濾波算法廣義卡爾曼-布西濾波.現(xiàn)定義連續(xù)系統(tǒng)的真實(shí)軌跡與最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)軌跡偏差為

        (6)

        (7)

        同理

        當(dāng)δX(t)足夠小時(shí),非線性式(5)可以在最優(yōu)估計(jì)附近進(jìn)行泰勒展開,并取其一次近似值,得

        (8)

        (9)

        將式(7)帶入式(8)(9)可得到

        (10)

        δZ(t)=H(t)δX(t)+w(t).

        (11)

        不同于卡爾曼-布西濾波,轉(zhuǎn)移矩陣F和H的獲取需要求雅可比矩陣,分別為

        (12)

        (13)

        得到轉(zhuǎn)移矩陣F和H后,利用卡爾曼-布西濾波的基本方程推導(dǎo)廣義卡爾曼-布西濾波,卡爾曼-布西濾波的基本方程為

        (14)

        K(t)=P(t)HT(t)γ-1(t),

        (15)

        P(t)HT(t)γ-1(t)H(t)P(t)+

        G(t)q(t)GT(t),

        (16)

        式中:K(t)為卡爾曼增益;P(t)為協(xié)方差陣.將式(12)和(13)帶入卡爾曼-布西濾波基本方程,得到廣義卡爾曼-布西濾波方程如下

        (17)

        (18)

        (19)

        2.2 基于EKBF的零拍鎖相環(huán)設(shè)計(jì)

        (20)

        (21)

        求解式(21)可得

        (22)

        由式(17)與(18)可得相位預(yù)測(cè)方程以及卡爾曼增益為

        (23)

        (24)

        將式(2)線性化可得

        (25)

        將式(25)進(jìn)行等價(jià)變換可以將量測(cè)模型改為

        (26)

        將式(26)帶入式(23)化簡(jiǎn)得

        (27)

        由式(27)可得到傳遞函數(shù)

        (28)

        由式(24)~(28)可以得到基于廣義卡爾曼-布西濾波的零拍鎖相環(huán)如圖2所示.

        在利用零拍探測(cè)對(duì)相位壓縮光進(jìn)行測(cè)量時(shí),需要本振相位與信號(hào)場(chǎng)相位正交,才能最大程度地克服散粒噪聲的影響,同時(shí)也能提高一階泰勒展開的精度,所設(shè)計(jì)鎖相環(huán)是把量測(cè)結(jié)果(這里的量測(cè)特指式(26))通過傳遞函數(shù)為H(s)的濾波器,然后將所得結(jié)果進(jìn)行拉普拉斯反變換,得到狀態(tài)估計(jì)值,最后根據(jù)估計(jì)相位調(diào)整本振相位的值.以此循環(huán),確保每一時(shí)刻測(cè)得的零拍電流受到最小的散粒噪聲影響,從而得到相位壓縮光的相位估計(jì)值.

        3 誤差分析及對(duì)比

        3.1 誤差分析

        利用李雅普諾夫方法對(duì)所提方法進(jìn)行誤差分析,在構(gòu)造李雅普諾夫方程時(shí),首先建立如下狀態(tài)空間模型

        (29)

        式中:

        由此可以得到李雅普諾夫方程

        APs+PsAT+BBT=0

        (30)

        式中:穩(wěn)態(tài)狀態(tài)協(xié)方差矩陣Ps為對(duì)稱矩陣,設(shè)為如下形式

        (31)

        求解式(30)可得

        (32)

        相位估計(jì)誤差可表示為

        (33)

        由此得到均方根誤差

        (34)

        3.2 仿真結(jié)果與分析

        由式(34)可知均方根誤差與各個(gè)參數(shù)的關(guān)系,為了更加直觀觀察參數(shù)之間的聯(lián)系,得到相應(yīng)的結(jié)論,本文采取仿真的方式對(duì)估計(jì)精度與各參數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行討論.參數(shù)設(shè)置[12]如表1所示.

        表1 參數(shù)設(shè)置

        3.2.1實(shí)驗(yàn)一:均方根誤差與壓縮度的關(guān)系

        3.2.2實(shí)驗(yàn)二:均方根誤差和相位壓縮光幅度平方的關(guān)系

        3.2.3實(shí)驗(yàn)三:最優(yōu)壓縮度與各參數(shù)間的關(guān)系

        4 結(jié) 論

        利用非經(jīng)典光源-壓縮光獲取相位參數(shù),可以克服散粒噪聲的影響,進(jìn)一步提高導(dǎo)航系統(tǒng)的定位精度.由于導(dǎo)航系統(tǒng)的非線性特點(diǎn)以及對(duì)實(shí)時(shí)性要求較高,傳統(tǒng)的線性化平滑估計(jì)方法并不能用來獲取導(dǎo)航系統(tǒng)中的相位參數(shù).為此,本文基于EKBF算法設(shè)計(jì)了零拍鎖相環(huán),對(duì)本振相位進(jìn)行實(shí)時(shí)控制,實(shí)現(xiàn)了對(duì)壓縮光相位的估計(jì),并利用李亞普諾夫方法對(duì)該方法進(jìn)行了誤差分析.仿真結(jié)果表明:① 壓縮光可以克服散粒噪聲的影響,突破標(biāo)準(zhǔn)量子極限,能夠有效提高導(dǎo)航系統(tǒng)中的定位精度;② 在最優(yōu)壓縮參數(shù)下才能得到最小的估計(jì)誤差,且最優(yōu)壓縮度越大,估計(jì)誤差越小.下一步,將繼續(xù)利用非經(jīng)典光源對(duì)具有高非線性特點(diǎn)的導(dǎo)航測(cè)角相位模型進(jìn)行跟蹤,由此實(shí)現(xiàn)精度更高的目標(biāo)跟蹤定位.

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