王昕　吳曉　郭鵬　袁雨陽　裴霞(

摘 要：機械加工的“個性化定制”和“多品種小批量生產(chǎn)”需求與日俱增，生產(chǎn)的高度靈活性和設(shè)備維護的必要性給調(diào)度工作帶來了巨大挑戰(zhàn)，實際生產(chǎn)伴隨的工時惡化效應(yīng)使得調(diào)度問題更加復(fù)雜。為了解決周期性維護策略下考慮工時惡化的單機調(diào)度和維護決策問題，利用分段線性函數(shù)對工時惡化進行描述，分別基于固定周期維護與柔性周期維護的特點，以最小化最大拖期成本和維護成本為目標建立模型，通過數(shù)值實驗和調(diào)參分析，確定了維護決策的關(guān)鍵和非關(guān)鍵因素。結(jié)果表明：柔性周期維護沒有批次空閑，目標函數(shù)值隨β/α比值的增大呈階梯增長狀，能實現(xiàn)成本的“自適應(yīng)”調(diào)節(jié)，較固定周期維護有顯著優(yōu)勢。構(gòu)建生產(chǎn)與維護的聯(lián)合調(diào)度模型，可實現(xiàn)維護策略的優(yōu)劣對比和生產(chǎn)與維護的聯(lián)合決策，降低企業(yè)生產(chǎn)和維護的運營成本。

關(guān)鍵詞：生產(chǎn)管理;固定周期維護;柔性周期維護;工時惡化;單機調(diào)度;整數(shù)規(guī)劃模型

中圖分類號：TH186 文獻標識碼：A

doi：10.7535/hbkd.2020yx03001

Study on single machine scheduling with time-based

maintenance and step-deteriorating jobs

WANG Xin， WU Xiao， GUO Peng， YUAN Yuyang， PEI Xia

（School of Mechanical Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu， Sichuan 610031， China）

Abstract：

Nowadays， the demand of “personalization” and “multiple varieties and small batch production” in machining is increasing dramatically. The great challenges of scheduling are brought about by the high flexibility of production and the necessity of equipment maintenance， and the scheduling problems are more complex due to the deteriorating effect of the production process. In order to solve the single machine scheduling problem with step-deteriorating jobs and fixed periodic maintenance strategy， the processing time was described by the piecewise linear function. Based on the properties of the periodic maintenance and the flexible periodic maintenance， two scheduling models were established respectively to minimize the tardiness penalties and maintenance cost. According to the numerical experiments and parameter analysis， the key factors and non-key factors of maintenance decision were determined. The result shows that flexible periodic maintenance has no idle time between adjacent batches. The objective function value increases step by step with the increase of?? ratio， which can realize “adaptive” adjustment of cost and has significant advantages over fixed cycle maintenance. The construction of a joint scheduling model of production and maintenance can realize the comparison of the advantages and disadvantages of maintenance strategies and the joint decision of production and maintenance， and reduce the operating cost of enterprise production and maintenance.

Keywords：production management;

periodic maintenance; flexible periodic maintenance; deteriorating job; single machine scheduling; integer programming model

確定性調(diào)度研究假設(shè)作業(yè)處理時間已知且恒定[1]，但實際生產(chǎn)過程中伴隨著設(shè)備性能的下降，后續(xù)作業(yè)的加工時間將會不斷增加。針對此類加工時間可變的情況，GUPTA等[2]提出具有開工時刻依賴性惡化的生產(chǎn)調(diào)度模型。自此以后工時具有惡化效應(yīng)的生產(chǎn)過程受到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注[3-5]。以最小化某一目標建立模型，主要考慮2種類型的線性惡化效應(yīng)：pj=aj+bjsj和pj=bjsj（sj>0），其中pj，aj，bj，sj分別為實際加工時間、基本加工時間、惡化率和開工時間，前者每個作業(yè)存在基本處理時間，后者實際加工時間只取決于開工時間。為了進一步擴展惡化效應(yīng)的適用范圍，KUNNATHUR等[6]使用分段函數(shù)描述惡化效應(yīng)，指出在給定惡化工期hj的情況下，工件實際加工處理時間為其相對于惡化工期等待時間的線性函數(shù)。此外，JAFARI等[7]對考慮分段線性惡化效應(yīng)的單機調(diào)度問題進行了研究，GUO等[8]研究了具有工時階梯惡化效應(yīng)的并行機調(diào)度問題。

為提升設(shè)備性能、延長設(shè)備壽命[9]，需定期或不定期將設(shè)備從生產(chǎn)線脫離并進行預(yù)防性維護，維護活動會占用生產(chǎn)時間，降低設(shè)備可用性。將維護視為不可用約束有2種情況：一是不可用時間間隔已知且固定，二是不可用時間間隔柔性且可變[10]。研究人員以完成時間為目標，從單機環(huán)境到流水車間加工環(huán)境，先后研究了考慮固定周期維護的調(diào)度問題[11-14]。DONG等[15]對具有隨機、結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟3種相依性的并行冗余系統(tǒng)的最優(yōu)維護周期進行了探討。在柔性預(yù)防性維護中，通常假設(shè)2次連續(xù)的維護間隔不能超過某一最大值。CHEN[16]以最小化最大完工時間為目標，研究了考慮柔性時間窗維護的單機調(diào)度問題。CUI等[17]考慮工件到達時間，對具有柔性周期維護不可用時間約束的單機調(diào)度問題進行了拓展研究。

同時優(yōu)化生產(chǎn)調(diào)度和維護決策能有效提高生產(chǎn)效率，越來越多的學(xué)者注意到兩者的耦合關(guān)系，將惡化效應(yīng)和維護不可用時間考慮到生產(chǎn)調(diào)度研究中[18-20]。WANG等[21]將柔性周期維護和惡化效應(yīng)同時考慮進單機調(diào)度問題，以最小化完工時間為目標構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并設(shè)計算法進行了求解。WOO等[22]使用遺傳算法解決了考慮柔性維護活動和工時惡化效應(yīng)的并行機調(diào)度問題。這些考慮維護需求的生產(chǎn)調(diào)度問題研究都采用一般線性函數(shù)對工時惡化效應(yīng)進行描述，尚未使用分段線性函數(shù)描述工時惡化。本文基于復(fù)雜生產(chǎn)系統(tǒng)的可分解性，以生產(chǎn)調(diào)度中最簡單的單機環(huán)境為基礎(chǔ)，從機械加工生產(chǎn)實際情況出發(fā)，使用分段線性函數(shù)描述工時惡化，構(gòu)建生產(chǎn)與維護的聯(lián)合調(diào)度模型，通過數(shù)值實驗分析，實現(xiàn)維護策略的優(yōu)劣對比和生產(chǎn)與維護的聯(lián)合決策。

1 問題描述

機械加工設(shè)備性能因物理磨損及熱效應(yīng)不斷下降，需在特定時間內(nèi)進行預(yù)防性維護，以保證正常生產(chǎn)，最長運行時間由規(guī)定的可靠度閾值轉(zhuǎn)化得到[23]。針對最長運行時間的時間約束，存在固定周期維護（PM）和柔性周期維護（flexible periodic maintenance，F(xiàn)PM）2種周期性維護策略，圖1和圖2分別為2種維護策略下的作業(yè)調(diào)度情況。固定周期維護的周期時間限制基于自然日歷時間，維護時間點確定，生產(chǎn)部門在時間間隔T內(nèi)安排生產(chǎn);柔性周期維護的周期時間基于設(shè)備運行時間，維護時間點不確定，維護部門保證2次維護時間間隔不超過T，生產(chǎn)部門根據(jù)訂單和維護情況安排生產(chǎn)。

工件集合為Jj∈{J1，J2，…，Jn}，基本加工時間aj、交貨期dj、維護周期限制T及預(yù)防性維護時間均已知。所有工件在0時刻到達且只能被加工一次，同一時刻只能加工一個工件。工件加工和設(shè)備維護不允許中斷，初始設(shè)備全新，預(yù)防性維護后恢復(fù)全新，維護和生產(chǎn)相關(guān)的資源充足，忽略準備時間?；赑M或FPM策略，以最小化拖期成本和維護成本為目標，決策生產(chǎn)與維護。

考慮設(shè)備性能衰退造成的工時惡化效應(yīng)，圖3為設(shè)備的3個作業(yè)階段。1）正常作業(yè)階段：設(shè)備性能良好，可忽略磨損對工件加工的影響;2）惡化作業(yè)階段：設(shè)備保持加工能力，但工件加工時間增加;3）失效階段：出現(xiàn)異響、扭矩數(shù)據(jù)異常等情況，不能加工出合格產(chǎn)品。

對圖3分析可知，機械加工中的惡化懲罰時間不僅與開工時刻有關(guān)，還與設(shè)備惡化系數(shù)及工件基本加工時間有關(guān)。一般線性惡化在加工開始時就出現(xiàn)惡化懲罰，不符合生產(chǎn)實際。結(jié)合機加工設(shè)備3個階段的特點，采用分段線性函數(shù)描述工時惡化，函數(shù)表達式如下：

pj=aj， sj≤h，

aj+bj×（sj-h）， sj>h，（1）

式中：pj為實際加工時間;aj為基本加工時間;bj為工件的惡化率;h為惡化工期，對應(yīng)設(shè)備正常作業(yè)階段時間。其中ai/bi=aj/bj=σ，i，j∈J，σ為惡化系數(shù)。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 固定周期維護模型的建立

通過位置參數(shù)建立各個變量的聯(lián)系。n個工件重新排序后有l(wèi)個位置，故l∈{1，2，…，n}，基于自然時間設(shè)置變量el，表示l位工件距離上次維護的時間距離，其中e1=0。其他符號及定義如表1所示。

考慮生產(chǎn)與維護的耦合，建立生產(chǎn)與維護聯(lián)合調(diào)度模型，最小化加權(quán)工件拖期成本Dmax和設(shè)備維護成本Mmax。

目標函數(shù)為

式（3）和式（4）是對工件和設(shè)備的單一匹配性約束;式（5）—式（7）分別對基本加工時間、惡化率、交貨期進行了位置與工件的轉(zhuǎn)化;式（8）表示l位工件的實際加工時間;式（9）說明0—1變量zl的取值情況，若工件在惡化工期前加工，zl取1，否則取0;式（10）和式（11）定義設(shè)備初始狀態(tài)，加工前進行了一次維護，開工時刻為0;式（12）和式（13）通過判斷工件是否為批次內(nèi)最后一個工件來定義批次內(nèi)流逝時間;式（14）表示維護批次內(nèi)工件完工時間不超過給定維護周期T;式（15）表示l位工件完工時刻等于其開工時刻與加工時間的和;式（16）和式（17）是對工件開工時刻的約束，工件只能在上一個工件完成后開始加工，且開工時間不小于l位前所有批次時間與所在批中流逝時間之和;式（18）通過統(tǒng)計末尾工件數(shù)量來確定維護次數(shù);式（19）定義l位工件的拖期成本;式（20）為n個工件的拖期成本和;式（21）表示系統(tǒng)維護總成本取值為維護次數(shù)與單次維護成本的積;式（22）和式（23）定義決策變量。

2.2 柔性周期維護模型的建立

柔性周期維護與固定周期維護除維護周期限制T定義不同外，生產(chǎn)情況并無區(qū)別，因此模型中某些約束不變，如包含約束同式（3）—式（7）、式 （11）、式（15）、式（16）、式（19）—式（21），相關(guān)表達式及含義與PM模型相同。在FPM中，T為設(shè)備運行時長對應(yīng)的役齡。去掉2.1節(jié)中與批次流逝時間相關(guān)的0—1變量wl和決策變量el，引入的新變量如表2所示。

式（25）表示l位工件的實際加工時間;式（26）和式（27）說明0—1變量zl的取值情況;式（28）定義設(shè)備初始役齡;式（29）定義維護和役齡的關(guān)系;式（30）定義l位工件加工后的設(shè)備役齡;式（31）定義維護需求，完工役齡不超過維護限制周期;式（32）定義完工時間，l位工件開始時間不小于前一位工件完工時間與它們間可能存在的維護時間之和;式（33）定義系統(tǒng)維護次數(shù);式（34）和式（35）定義決策變量。

3 模型驗證

3.1 惡化工期變化對比

h是設(shè)備的特征參數(shù)，也是工件的惡化工期，取值范圍為0≤h≤T，該參數(shù)的取值情況會影響模型的有效性。當(dāng)0≤h≤aj，j，兩階段線性惡化轉(zhuǎn)化為一般線性惡化，pj=aj+bjsj，此時惡化從維護批次內(nèi)第二位作業(yè)開始;當(dāng)sj≤h≤T，j，加工任何工件都不會產(chǎn)生惡化懲罰，pj=aj。2種情況都與本文研究內(nèi)容不一致，算例設(shè)計中應(yīng)注意h的取值范圍，以保證模型的有效性。

3.2 獨立決策與聯(lián)合決策對比

為驗證聯(lián)合決策的優(yōu)勢，分別設(shè)置目標函數(shù)，包括生產(chǎn)與維護聯(lián)合調(diào)度決策、只考慮生產(chǎn)部門目標以及只考慮維護部門目標3種情況。引入算例進行分析，已知T=70，t=2.2，h=15，aj={35，11，18，7，9，22，30，25，14，11}，dj={100，24，27，19，24，37，89，42，27，33}，使用Gurobi求解，得到求解結(jié)果如表3所示。

由表3可知：柔性周期維護下，只考慮生產(chǎn)部門目標時獲得的拖期時間最小，但犧牲了大量的維護時間來獲取拖期時間的少量減小，不能降低企業(yè)成本。固定周期維護下，聯(lián)合調(diào)度與只考慮生產(chǎn)部門目標的結(jié)果相同。只考慮維護部門目標時，雖保證了維護次數(shù)最少，但工件被隨機安排生產(chǎn)，拖期時間很大。綜上，相較于傳統(tǒng)生產(chǎn)調(diào)度和設(shè)備維護的單獨決策，生產(chǎn)與維護聯(lián)合決策更加科學(xué)有效。

4 數(shù)值實驗與分析

4.1 固定與柔性周期策略比較

柔性維護能減少拖期成本，但維護次數(shù)增加導(dǎo)致維護成本增加。在某一算例中，已知n=10，T=65，t=6，h=16，σ=10，aj={6，11，30，40，3，22，32，10，33，27}，交貨期dj={7，12，56，54，8，45，85，28，44，50}。通過Gurobi計算，固定周期維護策略下，最優(yōu)生產(chǎn)調(diào)度序列為J1J5J2J8J3J6J9J10J7J4，3次維護時間為18，最小拖期時間為589.62。柔性周期維護策略下，存在以下2種情況：1）當(dāng)維護成本較低時，最優(yōu)生產(chǎn)調(diào)度序列為J1J5J2J8J6J10J3J7J9J4，y6=y3=y7=y9，拖期時間為547.02，4次維護時間為24;2）當(dāng)維護成本較高，最優(yōu)生產(chǎn)調(diào)度序列為J1J5J2J8J3J6J7J10J9J4，y3=y7=y9，拖期時間為559.66，3次維護時間為18。具體生產(chǎn)與維護甘特圖如圖4所示。

由圖4可知：FPM的維護次數(shù)不低于PM。維護次數(shù)不同時，增加的維護能抵消惡化懲罰時間;維護次數(shù)相同時，PM不可避免地出現(xiàn)空閑時間。圖4中空閑時間分別為0.28，8.02，2.48，空閑停機對產(chǎn)品按時交付有不良影響。

4.2 單因素調(diào)試結(jié)果分析

采用控制因子法進行單因素調(diào)試實驗，檢驗參數(shù)變化對拖期和維護成本是否有顯著影響。調(diào)試參數(shù)包括設(shè)備參數(shù)T，t，h，σ和作業(yè)參數(shù)aj，dj。設(shè)備參數(shù)調(diào)試規(guī)則為T=s/i，i∈{1，2，3，4，5，6}，s=∑nj=1aj;t=h=i×（T/10），i∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}。作業(yè)參數(shù)調(diào)試規(guī)則為aj～U[1，10i]，i∈{3，4，5，6，7，8，9，10};

dj=i·a，i∈{2，3，4，5}。圖5—圖8是設(shè)備參數(shù)調(diào)整結(jié)果，圖9和圖10是作業(yè)參數(shù)調(diào)整結(jié)果。其中，PM-1和FPM-1是σ1=200的計算結(jié)果，PM-2和FPM-2是σ2=100的計算結(jié)果。

從圖5可知：PM與FPM的目標值差值隨T的減小，呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢，在某一點固定周期和柔性周期最大程度地逼近。造成柔性周期維護明顯優(yōu)勢的原因如下：1）T越小，最低維護次數(shù)越多，PM與FPM下的維護情況相似，但固定周期維護中會出現(xiàn)更多的批次空閑;2）T越大，最低維護次數(shù)越少，F(xiàn)PM下的維護比PM多，但能抵消惡化時間懲罰。由圖6可知：目標值與維護時間呈近似線性正比關(guān)系，兩策略成本差值變化不大，維護時間不是轉(zhuǎn)變維護策略的關(guān)鍵因素。由圖7可知：隨著h增加，目標函數(shù)值逐漸趨近于無惡化的生產(chǎn)調(diào)度結(jié)果。惡化率較小時，h的提前對2種策略影響不大，針對惡化率較大且h較小的生產(chǎn)系統(tǒng)，固定周期維護會加大系統(tǒng)成本負擔(dān)。PM策略下的生產(chǎn)較FPM策略更易受影響，特別是針對加工時間離散或維護周期變化的情況，成本波動幅度大。由圖8可知：σ越大，惡化率越小，成本越小，PM策略與FPM策略目標值差值趨近一個定值。說明惡化率越高，柔性周期維護優(yōu)勢越大。

取n=10，保持其他參數(shù)不變，根據(jù)作業(yè)參數(shù)調(diào)試規(guī)則aj～U[1，10i]，i∈{3，4，5，6，7，8，9，10}，生成基本加工時間范圍不同的8組算例，求解整理結(jié)果得到如圖9所示的 aj調(diào)試結(jié)果。相鄰調(diào)參的結(jié)果存在波動，但整體上呈現(xiàn)一定規(guī)律。aj對優(yōu)化目標影響較大，拖期和維護總成本隨aj的增加而增加。研究發(fā)現(xiàn)：柔性周期維護策略的優(yōu)勢隨aj離散程度的增加而更加明顯。從圖10可知：dj與目標成本呈近似線性反比關(guān)系，兩目標函數(shù)值差值不會隨交貨期的改變而大幅度變化，因此交貨期不是轉(zhuǎn)變維護策略的關(guān)鍵因素。

4.3 成本與權(quán)重比值的影響

為統(tǒng)一加工環(huán)境，令維護周期T為10組算例中的設(shè)備維護周期參數(shù)的均值。

已知Dmax=α·Dtotal，Mmax=β·Mtotal，故單位時間維護/拖期成本比值（β/α）和維護/生產(chǎn)權(quán)重比值（ω2/ω1）的調(diào)參結(jié)果一樣，下面對β/α進行說明，表4和圖11給出了β/α變化下的解的情況。

4.1節(jié)已經(jīng)證明了FPM的維護次數(shù)不低于PM。當(dāng)單位時間維護成本較低時，F(xiàn)PM的維護次數(shù)比PM次數(shù)多，但增加的維護能抵消惡化懲罰時間，減少總成本。根據(jù)表4結(jié)果分析可知，在調(diào)整β/α的過程中，柔性周期維護會根據(jù)系統(tǒng)單位時間維護成本的大小調(diào)整維護次數(shù)，最終造成目標值的突變。

圖11為3組算例調(diào)整β/α比值運行的結(jié)果。數(shù)據(jù)實驗顯示：β/α比值對固定周期維護沒有影響;柔性維護中，隨著β/α比值的增大，目標函數(shù)值呈階梯增長狀。在某一比值節(jié)點，目標函數(shù)值會往靠近固定周期維護目標值的方向突變（后稱該節(jié)點為跳躍節(jié)點），直至維護次數(shù)與固定周期相同時，解不再發(fā)生跳躍。研究發(fā)現(xiàn)：目標值的突變由維護次數(shù)改變造成?？梢钥闯觯篎PM-1，F(xiàn)PM-2和FPM-3中跳躍節(jié)點數(shù)分別為1，2，1。

5 結(jié) 語

本文研究了周期性維護策略與工時惡化作用下的單機調(diào)度問題，主要對周期性維護策略中的固定周期維護與柔性周期維護進行了探討。首先，從聯(lián)合決策的角度出發(fā)，以最小化拖期成本和維護成本為目標，建立了考慮分段線性惡化和維護不可用時間的單機調(diào)度模型。然后，通過數(shù)值計算對比2種維護策略。實驗發(fā)現(xiàn)：柔性周期維護無批次空閑，且能“自適應(yīng)”調(diào)整維護次數(shù)，抵消惡化懲罰，較固定周期維護有顯著優(yōu)勢。最后，通過單調(diào)參分析，總結(jié)了參數(shù)對模型的影響規(guī)律：aj，T，h，σ是周期性維護策略選擇的關(guān)鍵因素，t和dj是非關(guān)鍵因素，其中，參數(shù)aj≤h

個性化產(chǎn)品加工應(yīng)避免采用固定周期維護策略，特別是在單位時間維護成本較小時，采取柔性周期維護的優(yōu)勢更為明顯。在柔性周期維護策略下，盡可能提升設(shè)備性能并延長維護時間限制，可降低企業(yè)生產(chǎn)和維護的運營成本。

本文針對惡化效應(yīng)和維護需求的生產(chǎn)調(diào)度問題進行了維護策略對比和建模分析。所建模型僅考慮了工時惡化帶來的加工時間不確定性，未來有必要分析小修、大修、更換等多類型維護措施帶來的時間和成本的不確定性問題;也可直接與制造云平臺對接，獲取實際加工和維護的基本數(shù)據(jù)，通過大數(shù)據(jù)分析與深度學(xué)習(xí)等技術(shù)，實現(xiàn)智能調(diào)度。在應(yīng)用場景方面，后續(xù)研究可考慮將柔性周期維護策略和兩階段線性惡化問題應(yīng)用到流水車間、作業(yè)車間等更為復(fù)雜的制造系統(tǒng)中。

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收稿日期：2020-04-22;修回日期：2020-05-30;責(zé)任編輯：張士瑩

基金項目：國家自然科學(xué)基金（51405403）;中央高校基本科研業(yè)務(wù)費專項資金（2682018CX09）

第一作者簡介：王 昕（1994—），女，四川達州人，碩士研究生，主要從事生產(chǎn)調(diào)度方面的研究。

通訊作者： 郭 鵬副教授。E-mail：pengguo318@swjtu.edu.cn

王昕，吳曉，郭鵬，等.

考慮周期性維護與工時惡化的單機調(diào)度研究

[J].河北科技大學(xué)學(xué)報，2020，41（3）：201-209.

WANG Xin， WU Xiao， GUO Peng，et al.

Study on single machine scheduling with time-based maintenance and step-deteriorating jobs

[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2020，41（3）：201-209.