張曉敏，王爾馥

(黑龍江大學(xué) 電子工程學(xué)院，哈爾濱 150080)

0 引 言

盲源分離( Blind Source Separation, BSS)[1-2]算法作為信息處理領(lǐng)域的重要技術(shù)之一，在近幾十年中得到了迅速發(fā)展并獲得廣泛關(guān)注，它可以在信號(hào)混疊的情況下，提取出感興趣信號(hào)，進(jìn)而恢復(fù)出無(wú)法直接觀測(cè)的源信號(hào)信息，因此，對(duì)于在復(fù)雜的通信環(huán)境中，盲源分離算法對(duì)提高通信系統(tǒng)適應(yīng)的能力有著重要的現(xiàn)實(shí)價(jià)值與實(shí)際意義[3]。同時(shí)BSS也成功地應(yīng)用于雷達(dá)數(shù)據(jù)分析[4]、地球物理學(xué)[5]、生物醫(yī)學(xué)[6]、語(yǔ)音及圖像處理等領(lǐng)域。

本文旨在保密傳輸過(guò)程中先驗(yàn)信息受限的情況下，通過(guò)無(wú)法直視的圖像觀測(cè)信號(hào)，利用BSS實(shí)現(xiàn)混疊圖像信號(hào)的源分離，進(jìn)而恢復(fù)出原始圖像信息。而在現(xiàn)實(shí)環(huán)境中不會(huì)總存在信號(hào)的觀測(cè)數(shù)目m等于源信號(hào)數(shù)目n的理想狀態(tài)，例如在m

1 VMD算法實(shí)現(xiàn)原理

1.1 變分模態(tài)分解

變分模態(tài)分解[7,15]是基于求其約束變分模型最優(yōu)解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)混疊信號(hào)的自適應(yīng)分解，它利用希爾伯特(Hilbert)變換、維納濾波、混合頻率及外差法解調(diào)等算法，將一個(gè)復(fù)雜的混疊信號(hào)移入變分模型中，最后分解為一定數(shù)量特定稀疏性的模態(tài)分量uk的過(guò)程(uk也被稱為本征模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function, IMF))。

1.2 VMD變分問題的構(gòu)造與求解

1)每個(gè)uk利用希爾伯特變換求得其解析信號(hào)，并進(jìn)而求其單邊頻譜，則第k個(gè)模態(tài)的解析信號(hào)表達(dá)式為：

(1)

(2)

3)針對(duì)每個(gè)模態(tài)的寬帶通過(guò)解調(diào)信號(hào)的H1，即梯度的L2范數(shù)，進(jìn)行估計(jì)，其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言為：

(3)

4)VMD的主要任務(wù)是要分解出的IMF的頻帶盡可能的緊湊，即聚集到其中心頻率，對(duì)頻帶搬移后就是聚集到零頻附近，因此上式進(jìn)一步得到約束最小化問題的數(shù)學(xué)形式的表達(dá)式為：

(4)

其中{uk}:={u1,…,uK}，{wk}:={w1,…,wK}分別為所有模態(tài)函數(shù)的分量及中心頻率集。

5)重構(gòu)約束，將拉格朗日乘子λ與二次懲罰因子α引入該約束問題模型，使其帶約束的最優(yōu)化問題的求解轉(zhuǎn)化為不帶約束的最優(yōu)化問題的鞍點(diǎn)。其中α在有限權(quán)重系數(shù)情況下有良好的收斂性，λ可以實(shí)現(xiàn)很好的約束性，因此得到非約束—擴(kuò)展的拉格朗日函數(shù)：

(5)

1.3 VMD算法實(shí)現(xiàn)步驟

2)n←n+1。

3)k=1∶K，w>0。

(6)

(7)

(8)

4)滿足約束迭代條件，給定任意正數(shù)ε>0，直至收斂，輸出k個(gè)模態(tài)分量，否則返回步驟2)～3)。

(9)

圖1 盲源分離數(shù)學(xué)模型Fig.1 Mathematical model of blind source separation

2 圖像盲復(fù)原實(shí)現(xiàn)模型與步驟

2.1 數(shù)學(xué)模型

盲源分離的基本數(shù)學(xué)模型見圖1。

對(duì)盲源分離問題進(jìn)行建模，給出線性瞬時(shí)混合情形下的盲分離問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

x(t)=As(t)

(10)

式中s(t)=[s1(t),…,sn(t)]為n路源信號(hào)的矢量；x(t)=[x1(t),…,xm(t)]為m路觀測(cè)信號(hào)的矢量；A為線性混合矩陣?；趩瓮ǖ捞厥馇闆r下令m=1。若在信號(hào)傳輸過(guò)程中加入噪聲信號(hào)n(t)的情況下，則原系統(tǒng)建模為：

x(t)=As(t)+n(t)

(11)

式中n(t)=[n1(t),…,nm(t)]T為加性環(huán)境噪聲矢量。經(jīng)過(guò)分離矩陣W的反變換，實(shí)現(xiàn)盡可能多地分離出源信號(hào)s(t)(y(t)為源信號(hào)的估計(jì))。

y(t)=Wx(t)

(12)

2.2 算法步驟

該算法是通過(guò)VMD將一個(gè)混疊圖像輸入信號(hào)分解為一系列離散數(shù)量的模態(tài)分量uk，最后利用分解獲得的IMF通過(guò)快速獨(dú)立分量分析重構(gòu)出原始圖像信號(hào)。

具體步驟如下：

1)選取標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖片，并選擇混沌信號(hào)作為遮掩信號(hào)，將系統(tǒng)隨機(jī)生成1×n混合矩陣(n與源信號(hào)數(shù)量相等)與源信號(hào)信息線性混疊成一路觀測(cè)信號(hào)x(t)。

3)將x(t)和其分解模態(tài)函數(shù)分量uk構(gòu)成多維觀測(cè)信號(hào)。

4)通過(guò)FastICA估計(jì)得到原圖像信息。

3 仿真與性能分析

從標(biāo)準(zhǔn)圖庫(kù)中選取兩幅圖片“Lena”和“Cameraman”的灰度圖像作為源信號(hào)的圖像信息，見圖2。此外，由于在混沌系統(tǒng)理論中，Chen混沌擁有更加豐富的動(dòng)力學(xué)行為，因此也使在保密傳輸過(guò)程中圖像信息的盲復(fù)原得到可靠保證，本文選擇Chen混沌作為圖像信號(hào)盲復(fù)原的遮掩信號(hào)[16]。

根據(jù)VMD原理設(shè)定圖像混疊信號(hào)分解的模態(tài)分量個(gè)數(shù)k，通過(guò)不同k值來(lái)提取原圖像信息，進(jìn)而達(dá)到最大優(yōu)化的盲圖像信息的復(fù)原。初始化VMD相關(guān)參數(shù)，α=2 000，τ=0，ε=1e-7，初始化模態(tài)數(shù)k=2(k≥2，這里將一路觀測(cè)信號(hào)補(bǔ)為正定模式)。

圖2 源信號(hào)圖像信息Fig.2 Image information of the source signal

將兩路原圖像信號(hào)與一路Chen混沌信號(hào)線性混疊為一路混合信號(hào)，進(jìn)而根據(jù)混合圖像信號(hào)信息進(jìn)行VMD分解，見圖3～圖5。不同k值VMD-BSS 法得到的各模態(tài)中心頻率見表1。

表1 不同k值 VMD-BSS 算法得到的各模態(tài)中心頻率w

由表1及圖3～圖5可見， 當(dāng)k=4時(shí)，其出現(xiàn)了w相近的IMF，即為過(guò)分解現(xiàn)象，故選擇k=2、k=3時(shí)對(duì)圖像信息進(jìn)行盲提取檢測(cè)。

圖3 k=2，VMD分解與對(duì)應(yīng)頻譜(左)中心頻率w的演變(右)Fig.3 k=2, spectrum corresponding of VMD decomposition (lift) evolution of center frequency(right)

圖4 k=3，VMD分解與對(duì)應(yīng)頻譜(左)中心頻率w的演變(右)Fig.4 k=3, spectrum corresponding of VMD decomposition (lift) evolution of center frequency(right)

圖5 k=4，VMD分解與對(duì)應(yīng)頻譜(左)中心頻率w的演變(右)Fig.5 k=4, spectrum corresponding of VMD decomposition (lift) evolution of center frequency(right)

仿真1：初始化模式個(gè)數(shù)k=2，k=3,無(wú)噪聲狀態(tài)下觀測(cè)信號(hào)圖像信息與提取后圖像信息見圖6和圖7。

圖6 k=2，無(wú)噪情況下觀測(cè)信號(hào)圖像信息與提取后圖像信息Fig.6 k=2, Image information of observation signal and extracted signal without noise

由提取后圖像，通過(guò)觀測(cè)可知，無(wú)噪情況下k=2時(shí)，圖像復(fù)原效果較好，故選擇k=2時(shí)檢測(cè)加入高斯白噪聲后的圖像盲提取效果。

仿真2:k=2時(shí)，有噪聲狀態(tài)下(噪聲強(qiáng)度為-20、-10 dbw)，觀測(cè)信號(hào)圖像信息與提取后圖像信息見圖8和圖9。

圖8 -20 db時(shí)，觀測(cè)信號(hào)圖像信息與提取后圖像信息Fig.8 Image information of observation signal and extracted signal at -20 db

圖9 -10 db時(shí)，觀測(cè)信號(hào)圖像信息與提取后圖像信息Fig.9 Image information of observation signal and extracted signal at -10 db

由圖6～圖9可見，利用變分模態(tài)分解算法可有效地使混沌遮掩下混合圖像信號(hào)實(shí)現(xiàn)盲復(fù)原，以及加入高斯白噪聲也可提取到原圖像信息。

4 結(jié) 論

本文研究了基于保密傳輸下單通道圖像盲復(fù)原問題，提出了一種基于混沌遮掩的變分模態(tài)分解實(shí)現(xiàn)混疊圖像信號(hào)的單通道盲復(fù)原算法。該算法是利用VMD算法實(shí)現(xiàn)對(duì)一路混疊圖像信號(hào)的分解，進(jìn)而通過(guò)FastICA進(jìn)行重構(gòu)多維虛擬通道，使其由欠定狀態(tài)轉(zhuǎn)為正定狀態(tài)，最后得到原圖像信號(hào)的估計(jì)。計(jì)算仿真結(jié)果表明混沌遮掩下的單通道圖像盲復(fù)原可以很好的實(shí)現(xiàn)，從而驗(yàn)證了該算法在圖像盲復(fù)原中具有可行性。由于在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中VMD分解受模態(tài)個(gè)數(shù)k值設(shè)定的影響，容易產(chǎn)生過(guò)分解或欠分解現(xiàn)象，此外，在噪聲狀態(tài)下實(shí)現(xiàn)圖像信號(hào)盲源分離復(fù)原效果未達(dá)到理想狀態(tài)，還需要進(jìn)一步研究。