楊 仙，盧 偉，金 新，陳 娟，馮興法

基于分形理論的赫巴流體在多孔介質中的滲流模型

楊 仙1，盧 偉1，金 新2,3，陳 娟4，馮興法5

(1. 湖南科技大學 資源環(huán)境與安全工程學院，湖南 湘潭 411201；2. 中煤科工集團西安研究院有限公司，陜西 西安 710077；3. 中南大學 地球科學與信息物理學院，湖南 長沙 410000；4. 湖南科技大學 信息與電氣工程學院，湖南 湘潭 411201；5. 中煤科工集團重慶設計研究院有限公司，重慶 400016)

泥漿是一種用途廣泛的工程漿液，在工程施工過程中會滲流進入地層，給工程帶來一定的影響。為深入研究泥漿的滲流機理，把地層模擬為多孔介質，泥漿模擬為能更全面地反映其流變性能的赫巴流體，基于分形理論，建立赫巴流體在多孔介質中的滲流模型。基于滲流模型計算結果，詳細分析壓力梯度、流性指數(shù)、稠度系數(shù)及孔隙率等參數(shù)對多孔介質中赫巴流體瞬時平均流速的影響，指出流速變化與壓力梯度、流性指數(shù)及稠度系數(shù)的變化均呈冪指數(shù)關系，與孔隙率變化呈二項式關系，且流性指數(shù)是一個影響赫巴流體滲流速度的極敏感因素。滲流模型計算結果為相關工程中泥漿方案的設計與施工奠定了一定的理論基礎。

泥漿；赫巴流體；多孔介質；分形理論；滲流模型

泥漿是一種用途廣泛的工程漿液，其在鉆井工程、頂管工程、鉆孔灌注樁和地下連續(xù)墻等施工中都是必不可少的[1-2]。工程施工過程中，泥漿會滲流進入地層，給不同的工程帶來有利或不利影響。建立泥漿在地層中的滲流模型，深入研究其滲流機理，有利于在施工過程中更好地控制滲流過程，增加滲流的有利影響，減小其不利影響。要建立泥漿滲流模型，首先需要選擇泥漿流變模型。當前，研究者們常采用賓漢流體和冪律流體描述泥漿的流變性能[3-4]。賓漢流體多用于表征泥漿的塑性特征，冪律流體多用于表征泥漿的假塑性特征，賓漢流體和冪律流體均可看作赫巴流體的一種特殊形式。赫巴模型既能反映泥漿的塑性特征，又能反映其假塑性特征[5]，比賓漢模式和冪律模式更全面，對于塑性和假塑性均較為明顯的泥漿，采取赫巴流體進行模擬更為合適，準確率最高[6]。分形理論是數(shù)學家本華·曼德博首先提出的，即用分形分維的數(shù)學工具來描述研究客觀事物[7]。眾多研究者指出巖土介質適宜于使用分形理論來進行研究：C. Sparrow[8]指出天然多孔巖土體往往具有良好的分形特征；D. Avnir 等[9]提出了巖土多孔介質具有分形特征的概念；J. P. Hansen等[10]用盒子法測得了砂巖的分形維數(shù)；A. J. Katz等[11]和C. E. Krohn[12]基于SEM實驗，結合分形理論表征出砂巖的孔隙結構；郁伯銘團隊較全面地論述了多孔介質輸運性質的分形分析理論[13-17]；員美娟等[18]基于服從分形分布的彎曲毛細管束模型，運用分形幾何理論推導出卡森流體在多孔介質中流動的流量、流速、啟動壓力梯度和有效滲透率的分形解析解；萬秀峰[19]在研究砂卵石地層水泥–水玻璃復合注漿加固時，基于分形理論，把漿液簡化為賓漢流體，推導其在地層中的滲透模型；周子龍等[20]根據(jù)分形理論推導出孔隙通道的曲折效應方程，并通過冪律流體本構方程導出考慮孔隙曲折效應的漿液擴散模型。由上述研究可以看出，已有研究基于分形理論，把工程漿液模擬為賓漢流體和冪律流體，研究其在巖土體中的滲流機理?？紤]到對于某些塑性和假塑性均較為明顯的泥漿，采取赫巴流體描述流體特性更全面、更準確，本研究中把地層巖土體簡化為多孔介質，泥漿模擬為赫巴流體，基于分形理論建立了赫巴流體在多孔介質中的滲流模型，并對其計算結果進行詳細分析。

1 赫巴流體在單根圓直管中的滲流模型

要研究赫巴流體在多孔介質中的滲流模型，首先，需要研究赫巴流體在圓直管中的滲流模型。赫巴流體在圓直管中的滲流情況如圖1所示。

圖1 赫巴流體在圓直管中的滲流示意

在圖1中，針對流體單元柱元素，有如下表達式：

式中：為注漿壓力；為流體流經(jīng)的距離；為剪切應力；為徑向距離；d/d為壓力梯度。

赫巴流體本構方程：

由式(1)和式(2)得到：

當0≤≤p時，每一層流體相對于鄰層，保持靜止狀態(tài)，速度均相等。當p<≤0時，每一層流體相對于鄰層，保持運動狀態(tài)，速度不相等。

假設赫巴流體的流動方式為層流，則邊界條件為：當=0時，=0。

當p<≤0時：

結合邊界條件及式(4)和式(5)，可得：

當0≤≤p時：

假設

圓管中，赫巴流體的流量是通過相對靜止區(qū)(0≤≤p)和相對運動區(qū)(p<≤0)兩部分的流量總和：

式中：0為管道半徑；p為塞流層半徑；p為塞流層流速；為單管流量。

2 多孔介質分形理論基礎

根據(jù)分形理論，多孔介質孔隙大小分布在一定范圍內，且在統(tǒng)計上滿足分形標度關系[21]：

式中：表示尺度；()表示物體的體積、面積、質量或曲線長度等指標；f為分形維數(shù)，取值0~2。分形物體累計數(shù)與顆粒大小的分布也滿足如下的標度關系[21]：

式中：max為最大孔隙尺寸；為孔隙尺寸。

對式(11)進行微分，得到：

多孔介質的隨機彎曲通道長 度T可根據(jù)分形理論得出[17]：

式中：0為通道的直線長度；T為迂曲度分形維數(shù)；T=1時表示毛細通道是直線；T取值范圍為1~2。從式(13)可以看出，T和半徑有關，越大，則T越小。

對式(13)微分可得到：

孔隙分形維數(shù)計算f公式如下[17]：

多孔介質迂曲度分形維數(shù)T計算公式如下[17-20]：

流線迂曲度的表達式為[17-20]：

多孔介質的結構參數(shù)計算公式為[17]：

式中：，為多孔介質的平均粒徑。

多孔介質的結構參數(shù)對于流體在多孔介質中的滲流影響很大。如，單個孔隙大小直接影響滲透率和滲流速度，小孔體積占巖樣孔隙總體積的比例越大，其滲透率和滲流速度就越小。根據(jù)毛管模型理論與達西定律的關系可知，滲透率的平方根與平均孔隙半徑成正比[22]。在分形理論中，充分考慮了多孔介質的結構參數(shù)問題，因此，新建立的滲流模型能夠更好地表征實際滲流情況。

3 赫巴流體在多孔介質中的滲流模型

在多孔介質中，流體實際滲流路徑有一定的隨機性，可看作是彎曲管道中的滲流，如圖2所示。

圖2 赫巴流體在多孔介質中的滲流示意

因此，在式(8)中用T代替，并假設：

則：

3.1 赫巴流體在多孔介質中的流量

由于多孔介質中彎曲的管道大小不一，且在統(tǒng)計學上服從分形冪規(guī)律，因此，多孔介質橫截面的總流量可以通過積分計算得到：

式中：為多孔介質橫截面的總流量。

假設：

則：

該積分沒有解析解，可使用MATLAB計算其數(shù)值解。

3.2 赫巴流體在多孔介質中的流速

多孔介質橫截面積的計算公式如下：

式中：為多孔介質的橫截面積。

用式(26)除以式(27)即可得到赫巴流體在多孔介質中的平均速度。

4 模型計算結果與分析

4.1 流速與壓力梯度之間的關系

圖3 流速隨壓力梯度的變化關系

由圖3可以看出，壓力梯度與流速之間的關系符合冪指數(shù)關系，隨著壓力梯度的增加，流速逐步增加，且流速增加的趨勢越來越明顯，這與實際工程中的狀況是一致的。本模型計算的是單位時間的流量和瞬時流速，因此，把壓力梯度作為一個常量代入式(28)。但在實際工程中，如注漿等施工時，隨著漿液從注漿口往多孔介質彎曲通道中的擴散時間和擴散距離的增加，壓力梯度是逐步降低的。因此，如果涉及到注漿時間累積的計算時，壓力梯度不能當作常量進行計算。

4.2 流速與n、k值之間的關系

當赫巴流體本構方程的相關參數(shù)=0.9，0=10 Pa時，變化值，通過式(2)計算其剪切應力。當旋轉速度為600 r/min(1 022 s–1)時，不同值對應的赫巴流體剪切應力見表1。

表1 n值變化時赫巴流體剪切應力計算值

當赫巴流體本構方程的相關參數(shù)=0.6，0=10 Pa時，變化值，通過式(2)計算其剪切應力。當旋轉速度為600 r/min(1 022 s–1)時，不同值對應的赫巴流體剪切應力見表2。

圖4 流速隨流性指數(shù)n值的變化關系

表2 k值變化時赫巴流體剪切應力計算值

圖5 流速隨稠度系數(shù)k值的變化關系

由圖4、圖5可以看出，流速與赫巴流體本構參數(shù)、值之間的關系均呈冪指數(shù)關系。結合表1、表2可知，、值越大，剪切應力越大，流速越小。值變化比值變化對剪切應力影響更大，值變化對流速的影響也更大。結合圖4、圖5中曲線趨勢及式(2)可知：當值不變、值變化，或值不變、值變化，使得兩種赫巴流體的剪切應力相同時，值小的流體，其流速會遠大于值更小的流體。由此可見，對于赫巴流體流速而言，值的變化是一個極敏感因素。由此可知，要更好地控制泥漿在多孔介質中的滲流，簡單地控制黏度不一定能達到預期的目的，更為科學的方法是綜合控制、值，特別是選取合適的值范圍，對流體滲流速度影響很大。

4.3 流速與孔隙率之間的關系

圖6為根據(jù)式(28)計算出來的流速隨孔隙率的變化關系。選取的計算參數(shù)有：赫巴流體本構方程的相關參數(shù)=0.6，=0.9，0=10 Pa；計算選取的多孔介質相關參數(shù)有max=0.05 m，min=0.000 5 m；壓力梯度d/d=200 kPa/m。

圖6 流速隨孔隙率的變化關系

由圖6可以看出，流速與多孔介質孔隙率之間的關系呈二項式關系，孔隙率越大，流速越大，且隨著孔隙率的增加，流速增加的趨勢越來越明顯。當孔隙率由30%增加到45%時，流速增加2.3倍；當孔隙率由30%增加到60%時，流速增加7倍。這也解釋了在實際工程中孔隙率對滲流影響極大的深層原因。

本節(jié)中根據(jù)所建立的赫巴流體在多孔介質中的滲流模型，著重對施工參數(shù)(壓力梯度)、流體特性參數(shù)(、值)以及巖土體特性參數(shù)(孔隙率)等對瞬時滲流平均流速的影響進行了計算與分析，計算結果與實際工作狀況相吻合。基于建立的滲流模型，還可以進一步分析流體的啟動壓力梯度、有效滲透率等與各類參數(shù)之間的關系；引入時間因子，還能進一步建立滲流擴散模型，研究泥漿在巖土體中的擴散半徑、擴散過程中壓力的衰減以及滲流全程平均流速變化規(guī)律等。

5 結論

a. 把地層簡化為多孔介質，泥漿模擬為赫巴流體，基于分形理論，建立了赫巴流體在多孔介質中的滲流模型，并對滲流模型的計算結果進行了分析研究。研究結果顯示，壓力梯度、赫巴流體本構參數(shù)及地層孔隙率均會對滲流流速產生影響。

b.壓力梯度與流速之間的關系符合冪指數(shù)關系，隨著壓力梯度的增加，流速逐步增加，且流速增加的趨勢越來越明顯；流速與赫巴流體本構參數(shù)、值之間的關系均呈冪指數(shù)關系，、值越大，剪切應力越大，流速越小，且為一個極敏感因素；流速與多孔介質孔隙率之間的關系呈二項式關系，孔隙率越大，流速越大，且流速增加的趨勢越來越明顯。

c.為了更好地控制泥漿在地層中的滲流，可以基于建立的滲流模型，在施工參數(shù)及泥漿配置方面提出一些措施。且泥漿配置過程中，需綜合控制、值，特別是選取合適的值范圍，簡單地控制流體黏度可能達不到預期目的。

d.基于建立的滲流模型，引入時間因子，則可進一步建立滲流擴散模型，對滲流擴散半徑、滲流擴散過程中的壓力衰減、滲流全程平均流速等進行更為全面深入的研究。

請聽作者語音介紹創(chuàng)新技術成果等信息，歡迎與作者進行交流

[1] 莫世揚，楊曉偉，洪元堂，等. 非開挖頂管工藝在公路污水管線下穿工程中應用分析[J]. 公路工程，2019，44(2)：151–155. MO Shiyang，YANG Xiaowei，HONG Yuantang，et al. Application analysis of trenchless pipe jacking technology in highway sewage pipeline project[J]. Highway Engineering，2019，44(2)：151–155.

[2] 鄧利蓉，劉振興，曹鈞，等. 硬巖破碎地層高溫鉆孔鉆進的鉆井液實驗研究[J]. 煤田地質與勘探，2015，43(4)：117–119. DENG Lirong，LIU Zhenxing，CAO Jun，et al. Experiment of drilling fluid used to drill hard fractured complex formation[J]. Coal Geology & Exploration，2015，43(4)：117–119.

[3] 侯璐瑤，王奎升，侯世全. 基于賓漢模式的橋梁樁基鉆孔泥漿流變特性初步研究[J]. 鐵道建筑，2010(6)：41–43. HOU Luyao，WANG Kuisheng，HOU Shiquan. Preliminary study on rheological properties of drilling mud from Bingham model to bridge pile foundation[J]. Railway Engineering，2010(6)：41–43.

[4] 蔡亮學. 水平定向鉆管道穿越回拖過程動態(tài)力學特性研究[D]. 東營：中國石油大學(華東)，2011. CAI Liangxue. Investigation on dynamics of pipe during pullback in horizontal directional drilling installations[D]. Dongying：China University of Petroleum(East China)，2011.

[5] 汪友平，鄭秀華，夏柏如，等. 圓管中赫巴流體層流流動規(guī)律的研究[J]. 鉆井液與完井液，2008，25(1)：27–28. WANG Youping，ZHENG Xiuhua，XIA Bairu，et al. Studies of the laminar flow of Herschel-Bulkley fluids in pipes[J]. Drilling Fluid and Completion Fluid，2008，25(1)：27–28.

[6] 李鑫，高德利，刁斌斌，等. 基于赫巴流體的頁巖氣大位移水平井裸眼延伸極限分析[J]. 天然氣工業(yè)，2016，36(10)：85–92. LI Xin，GAO Deli，DIAO Binbin，et al. Analysis on the open-hole extension limit of a shale-gas extended-reach horizontal well based on Hershel-Bulkley fluids[J]. Natural Gas Industry，2016，36(10)：85–92.

[7] MANDELBROT B B. How long is the coast of britain? statistical self-similarity and fractional dimension[J]. Science，1967，156(3775)：636–638.

[8] SPARROW C. The fractal geometry of nature by B. Mandelbrot[J]. Journal of the Royal Statistical Society，1984，147(4)：616–618.

[9] AVNIR D，F(xiàn)ARIN D，PFEIFER P. Chemistry in non-integer dimensions between two and three. II. Fractal surfaces of adsorbents[J]. The Journal of Chemical Physics，1983，79(7)：3566–3571.

[10] HANSEN J P，SKJELTORP A T. Fractal pore space and rock permeability implications[J]. Physical Review B Condensed Matter，1988，38(4)：2635–2638.

[11] KATZ A J，THOMPSON A H. Fractal sandstone pores：Implications for conductivity and pore formation[J]. Physical Review Letters，1985，54(12)：1325–1328.

[12] KROHN C E. Sandstone fractal and euclidean pore volume distributions[J]. Journal of Geophysical Research：Solid Earth，1988，93(B4)：3286–3296.

[13] 吳金隨. 多孔介質里流動阻力分析[D]. 武漢：華中科技大學，2007. WU Jinsui. Analysis of resistance for flow through porous media[D]. Wuhan：Huazhong University of Science and Technology，2007.

[14] 鄒明清. 分形理論的若干應用[D]. 武漢：華中科技大學，2007. ZOU Mingqing. Fractal theory and its applications to porous media, rough surface and thermal contact conductance[D]. Wuhan：Huazhong University of Science and Technology，2007.

[15] YU B M. Fractal character for tortuous stream tubes in porous media[J]. Chinese Physics Letters，2005，22(1)：158–160.

[16] XU P，YU B M. Developing a new form of permeability and Kozeny-Carman constant for homogeneous porous media by means of fractal geometry[J]. Advances in Water Resources，2008，31(1)：74–81.

[17] LI J H，YU B M. Tortuosity of flow paths through a Sierpinski carpet[J]. Chinese Physics Letters，2011，28(3)：117–119.

[18] 員美娟，郁伯銘，鄭偉，等. 多孔介質中卡森流體的分形分析[J]. 物理學報，2011，60(2)：410–415. YUAN Meijuan，YU Boming，ZHENG Wei，et al. Fractal analysis of Casson fluid flow in porous media[J]. Acta Physica Sinica，2011，60(2)：410–415.

[19] 萬秀峰. 砂卵石地層水泥–水玻璃復合注漿加固關鍵技術研究[D]. 長沙：中南大學，2014. WAN Xiufeng. Gordian technique of cement and sodium silicate composite grouting reinforcement in sand gravel strata[D]. Changsha：Central South University，2014.

[20] 周子龍，杜雪明，陳釗，等. 考慮孔隙曲折效應的漿液擴散壓力[J]. 中國有色金屬學報，2016，26(8)：1721–1727. ZHOU Zilong，DU Xueming，CHEN Zhao，et al. Grout dispersion considering effect of pore tortuosity[J]. The Chinese Journal of Nonferrous Metals，2016，26(8)：1721–1727.

[21] CRAWFORD J W，MATSUI N. Heterogeneity of the pore and solid volume of soil：Distinguishing a fractal space from its non–fractal complement[J]. Geoderma，1996，73(3/4)：183–195.

[22] 黃延章. 低滲透油層滲流機理[M]. 北京：石油工業(yè)出版社，1998. HUANG Yanzhang. Seepage mechanism of the low permeability reservoir[M]. Beijing：Petroleum Industry Press，1998.

Fractal theory-based seepage model of Hershel-Bulkley fluid in porous medium

YANG Xian1, LU Wei1, JIN Xin2,3, CHEN Juan4, FENG Xingfa5

(1.School of Resource, Environment and Safety Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China; 2. Xi’an Research Institute Co. Ltd., China Coal Technology and Engineering Group Corp., Xi’an 710077, China; 3. School of Geosciences and Info-physics, Central South University, Changsha 410000, China; 4. School of Information and Electrical Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China;5. Chongqing Engineering Co. Ltd., China Coal Technology & Engineering Group Crop., Chongqing 400016, China)

Slurry is a kind of widely-used engineering fluid. Slurry will seeps into the formation in the process of construction, which has a certain impact on the project. In order to make deeper study on the seepage mechanism of slurry, the formation is simulated as porous medium, the slurry is simulated as Hershel-Bulkley fluid which can more comprehensively reflect its rheological properties, and the seepage model of Hershel-Bulkley fluid in porous medium was established based on Fractal theory. Based on the calculation results of seepage model, the effect of pressure gradient, flow index, consistency coefficient and porosity on the instantaneous average velocity of Hershel-Bulkley fluid in porous medium were analyzed in detail. It is pointed out that the change of velocity has a power exponential relation with the change of pressure gradient, flow index and consistency coefficient, and a binomial relation with the change of porosity. The results provide theory basics for design and construction of slurry grouting in relevant projects.

slurry; Hershel-Bulkley fluid; porous medium; fractal theory; seepage model

TE254.1

A

10.3969/j.issn.1001-1986.2020.03.018

1001-1986(2020)03-0122-06

2019-11-11；

2020-01-22

國家自然科學基金項目(51678226)；湖南省自然科學基金項目(2019JJ50150)

National Natural Science Foundation of China(51678226)；Natural Science Foundation of Hunan Province，China(2019JJ50150)

楊仙，1982年生，女，湖北天門人，博士，講師，從事地下工程施工技術及環(huán)境影響研究.E-mail：yangxjj@163.com

金新，1982年生，男，陜西咸陽人，博士研究生，副研究員，從事煤礦井下坑道鉆探技術與裝備的研究和推廣工作. E-mail：Jinxin@cctegxian.com

楊仙，盧偉，金新，等. 基于分形理論的赫巴流體在多孔介質中的滲流模型[J]. 煤田地質與勘探，2020，48(3)：122–127.

YANG Xian，LU Wei，JIN Xin，et al. Fractal theory-based seepage model of Hershel-Bulkley fluid in porous medium[J]. Coal Geology & Exploration，2020，48(3)：122–127.

(責任編輯 聶愛蘭)