王振鵬，黃民水，盧海林

武漢工程大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢 430074

隨著結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)技術(shù)的不斷發(fā)展，基于動(dòng)力特性的損傷識(shí)別成為橋梁損傷診斷的重要方法。該方法通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，得出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)（頻率、振型、阻尼比等）。但是在真實(shí)情況下，橋梁較易受到外界環(huán)境的干擾，例如風(fēng)速、濕度、溫度等因素。在眾多外界環(huán)境因素中，溫度對(duì)橋梁模態(tài)參數(shù)的影響較大，從而導(dǎo)致基于動(dòng)力特性的損傷識(shí)別方法失效，所以量化溫度變化與橋梁模態(tài)參數(shù)的關(guān)系顯得尤為重要。

不少學(xué)者通過(guò)量化溫度與結(jié)構(gòu)頻率的關(guān)系來(lái)區(qū)別損傷和溫度對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，例如，宗周紅等［1］通過(guò)監(jiān)測(cè)溫度對(duì)斜拉橋頻率的影響，王賢強(qiáng)等［2-3］利用主成分分析法分析溫度對(duì)混凝土梁板頻率的影響，王立憲等［4］分析了溫度變化下不同損傷工況簡(jiǎn)支梁的頻率變化。Xia等［5］對(duì)1塊兩跨鋼筋混凝土連續(xù)板進(jìn)行2 a的監(jiān)測(cè)，觀察溫度變化對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響，發(fā)現(xiàn)溫度上升1℃，征頻率下降0.2%。Peeters等［6］對(duì)1座主跨30 m兩邊跨各14 m的預(yù)應(yīng)力混凝土箱型橋梁進(jìn)行了10個(gè)月的動(dòng)態(tài)測(cè)試，用49個(gè)傳感器分別測(cè)量氣溫、風(fēng)力特性、濕度、支座溫度以及混凝土溫度，結(jié)果表明，溫度使該橋的1～4階模態(tài)頻率的波動(dòng)范圍分別達(dá)到14%，18%，16%和17%。Zhao等［7］對(duì)鋼板梁橋2 a的監(jiān)測(cè)表明最低溫度（-15.6℃）與基準(zhǔn)溫度（12.8℃）引起的固有頻率變化最大達(dá)到15.4%。Alampalli等［8］對(duì)一座跨度為6.76 m混凝土板的小型鋼桁架橋進(jìn)行了試驗(yàn)研究，比較觀察了溫度變化和橋梁模擬損傷兩種因素對(duì)模態(tài)頻率的影響。結(jié)果表明，由于溫度的變化，模態(tài)頻率的變化為40%～50%，橋梁模擬損傷的模態(tài)頻率變化為3%～8%，即溫度的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于模擬損傷對(duì)頻率的影響。

為了更好地量化溫度與頻率之間的關(guān)系，運(yùn)用于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)和損傷識(shí)別，Ni等［9］為區(qū)分結(jié)構(gòu)損傷和溫度變化引起模態(tài)參數(shù)得。通過(guò)1 a監(jiān)測(cè)獲得的數(shù)據(jù)，然后使用支持向量機(jī)技術(shù)應(yīng)用于制定回歸模型，量化溫度對(duì)模態(tài)頻率的影響。Liu等［10］為了提高量化溫度與頻率之間的準(zhǔn)確性，建立了多元線性回歸（multiple linear regression，MLR）模型來(lái)描述模態(tài)頻率與非均勻溫度分布之間的關(guān)系，該模型可用于結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)和損傷識(shí)別，能準(zhǔn)確地量化溫度對(duì)模態(tài)頻率的影響。

本文對(duì)監(jiān)測(cè)得到的鋼梁振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，研究了溫度變化對(duì)結(jié)構(gòu)頻率的影響，分別建立溫度與頻率的簡(jiǎn)單線性回歸（simple linear regres?sion，SLR）模型和自回歸各態(tài)歷經(jīng)（auto regressive exogenous，ARX）模型。SLR模型主要反應(yīng)溫度與頻率之間的線性關(guān)系，ARX模型主要反應(yīng)溫度與頻率之間的非線性關(guān)系，通過(guò)對(duì)比分析模型的均方根誤差（root mean square error，RMSE）值，發(fā)現(xiàn)ARX模型能更好地反映頻率與溫度之間的關(guān)系。

1 工字鋼梁振動(dòng)試驗(yàn)

1.1 試驗(yàn)概況

自制工字鋼梁（圖1），對(duì)其進(jìn)行1 a的監(jiān)測(cè)，研究溫度變化對(duì)工字鋼梁的頻率影響。工字鋼長(zhǎng)度為5 500 mm，選用輕型工字鋼18#，材料為Q235鋼。

圖1 工字鋼梁Fig.1 Steel I-beam

在工字鋼上選擇4個(gè)測(cè)點(diǎn)，溫度測(cè)點(diǎn)和傳感器布點(diǎn)在同一點(diǎn)（圖2）。使用激光溫度計(jì)測(cè)量溫度，由于受到溫度的影響，一般晚上6點(diǎn)至第二天8點(diǎn)之間溫度無(wú)明顯變化，所以不監(jiān)測(cè)，通過(guò)1 a的監(jiān)測(cè)，記錄得到了10～35℃的180組數(shù)據(jù)。

圖2 工字鋼梁溫度測(cè)點(diǎn)和傳感器布置圖Fig.2 Arrangement of temperature measuring points and sensorsof steel I-beam

1.2 模態(tài)識(shí)別

采用DH5922加速度傳感器采集加速度信號(hào)，使用溫度范圍0～60℃，可完成振動(dòng)測(cè)試和分析。該儀器具有16個(gè)24位壓電集成電路（intergrated electronics piezo electric，IEPE）輸入通道，支持采樣頻率高達(dá)51.2 kHz，通過(guò)L5同軸延長(zhǎng)導(dǎo)線與加速度傳感器連接，安放在等分線中心進(jìn)行加速度信號(hào)采集。對(duì)試驗(yàn)梁進(jìn)行隨機(jī)激振，加速度傳感器采集加速度信號(hào)，采樣頻率為1 000 Hz，采樣時(shí)間為60 s。將采集得到的加速度利用傅里葉變換計(jì)算得到功率譜密度圖（圖3），可以有效識(shí)別出試驗(yàn)梁前4階振型，如圖4所示。

圖3 功率譜密度圖Fig.3 Power spectral density diagram

圖4 前4階工字鋼梁振型：（a）一階，（b）二階，（c）三階，（d）四階Fig.4 First four mode shapes of steel I-beam：（a）1st mode，（b）2nd mode，（c）3rd mode，（d）4th mode

2 溫度對(duì)頻率影響分析

2.1 理論分析

環(huán)境溫度變化會(huì)影響結(jié)構(gòu)材料的力學(xué)特性，尤其是材料的彈性模量。鋼材的彈性模量會(huì)隨著溫度的升高而降低，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的降低［11］。以等截面簡(jiǎn)支梁為例，探討溫度對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率的影響機(jī)理。

等截面簡(jiǎn)支梁第n階模態(tài)頻率的表達(dá)式［12］為式（1），分別以E、I、mˉ、L表示簡(jiǎn)支梁的彈性模量、截面慣性矩、均布質(zhì)量及簡(jiǎn)支梁跨度，且均為常數(shù)。

2.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

假設(shè)頻率與溫度之間的關(guān)系是線性關(guān)系［13］，其表達(dá)示設(shè)為：y=kt+by=kt+b，式中t為溫度，k為系數(shù)，b為截距。圖5反應(yīng)了溫度變化與模態(tài)頻率的關(guān)系，可以看出，溫度是影響簡(jiǎn)支梁頻率的因素之一，當(dāng)溫度升高時(shí)模態(tài)頻率逐漸降低，并且溫度與模態(tài)頻率變化整體上呈顯著的線性負(fù)相關(guān)性。工字鋼梁前4階溫度與頻率線性擬合系數(shù)R2分別是 0.834 3，0.822 6，0.808 8，0.855 9，表明溫度與頻率之間的相關(guān)性較高。

圖5 溫度與頻率之間的關(guān)系圖：（a）一階，（b）二階，（c）三階，（d）四階Fig.5 Relation of diagram frequency Vs.temperature：（a）1st mode，（b）2nd mode，（c）3rd mode，（d）4th mode

利用ANSYS建立工字鋼的有限元模型（圖6），得到有限元數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)比分析有限元數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)誤差不超過(guò)有限元模擬的3%，在誤差范圍之內(nèi)，如表1所示。

圖6 工字鋼梁有限元模型Fig.6 Finite element model of steel I-beam

表1 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與有限元數(shù)據(jù)對(duì)比Tab.1 Comparison between measured and finiteelement data

3 ARX模型分析

3.1 ARX模型理論分析

ARX模型［14］如式（2）所示。

式中：y(t)是t時(shí)刻的輸出頻率，u(t-d)是時(shí)刻t-d時(shí)的輸入溫度，ε(t)是白噪聲誤差。

ARX模型能夠通過(guò)z變換式子表示成：

溫度輸入序列u=[u(1),u(2),…,u(M)]T，頻率輸出序列y=[y(1),y(2),…,y(M)]T，式（2）可表示為：

其中y(t)和u(t)當(dāng)t≤0時(shí)的值均假設(shè)為0。

上述方程可以寫(xiě)成矩陣形式

其中

為使得殘差ε(i)平方和最小，則可以得出待定參數(shù)θ的估計(jì)值為：

赤池信息準(zhǔn)則（akaike information criterion，AIC）是一種實(shí)用的判定模型階次的準(zhǔn)則，AIC準(zhǔn)則公式表示為：

式（12）中：M為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的組數(shù)，θ為待辨識(shí)參數(shù)向量，k為需要辨識(shí)的參數(shù)個(gè)數(shù)。可以用MATLAB計(jì)算函數(shù)ν=AIC（H）模型的值，若計(jì)算出的AIC的值較小，則這時(shí)n，m，d可以看成是系統(tǒng)合適的階次。

式（7）通過(guò)變化得到式（13）和式（14），ε(t)是誤差信號(hào)，在這里可以忽略，輸入信號(hào)u(t)與輸出信號(hào)y(t)的關(guān)系可以用式（15）表示。

3.2 溫度與頻率的ARX模型

利用MATLAB計(jì)算得出n=4，m=2和d=1，溫度與前4個(gè)固有頻率之間的傳遞函數(shù)如式（16）～式（19）所示。通過(guò)擬合得到溫度與固有頻率的ARX模型，如圖7所示。

圖7 溫度與固有頻率的ARX模型：（a）一階，（b）二階，（c）三階，（d）四階Fig.7 ARX models between temperature and natural frequency：（a）1st mode，（b）2nd mode，（c）3rd mode，（d）4th mode

ARX模型描述溫度與頻率之間的非線性關(guān)系，SLR模型描述溫度與頻率之間的線性關(guān)系。通過(guò)對(duì)比RMSE判斷模型的準(zhǔn)確性［15］，若RMSE值越小則模型的準(zhǔn)確性越高，RMSE值表達(dá)式如式（20）所示。對(duì)比ARX模型與線性回歸模型的RMSE值，如表2所示。

式（20）中：n是樣本量；fi是試驗(yàn)測(cè)試頻率；是模型估計(jì)值。

表2 ARX模型與SLR模型的RMSE值對(duì)比Tab.2 Comparison of RMSE values between ARX and SLR models

根據(jù)對(duì)比結(jié)果可以看出，ARX模型的RESM值均小于SLR模型，表示ARX模型具有更高的精度，能更加準(zhǔn)確地描述溫度與頻率之間的關(guān)系。建立溫度與一階頻率的ARX模型和設(shè)置其95%的置信區(qū)間，可以判斷其是否有損傷，若頻率變化超過(guò)此區(qū)間范圍，則可以判斷其有損傷。ARX模型和置信區(qū)間如圖8所示。

ARX模型輸出的置信水平為1-α的置信區(qū)間可以由式（21）表示［16］：

式中：y?k是模型輸出值，tα/2,v根據(jù) t分布表查得，yk是試驗(yàn)測(cè)試值。

圖8 ARX模型的95%置信區(qū)間Fig.8 Ninety-five percent confidence intervals of ARX model

4 結(jié) 論

1）通過(guò)理論分析發(fā)現(xiàn)，頻率受溫度的升高而降低，主要原因是因?yàn)闇囟壬邔?dǎo)致結(jié)構(gòu)材料彈性模量的降低，從而導(dǎo)致頻率下降。

2）對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)溫度與結(jié)構(gòu)頻率之間呈線性負(fù)相關(guān)，頻率隨著溫度的升高而降低。

3）建立溫度與頻率之間的SLR模型和ARX模型，通過(guò)對(duì)比模型的均方根方差發(fā)現(xiàn)，ARX模型比SLR模型更加精確。

4）建立ARX模型的95%置信區(qū)間，根據(jù)頻率變化是否超過(guò)置信區(qū)間可以判斷結(jié)構(gòu)是否有損傷。