王衛(wèi)東 王小丹

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一、四色定理的證明及意義

四色問題的起源及四色定理的證明過程問題的提出

1852年,倫敦大學(xué)畢業(yè)生格斯里(FrancisGuthrie)來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí),發(fā)現(xiàn)每幅地圖都可以只用四種顏色著色。但這一現(xiàn)象能不能當(dāng)作數(shù)學(xué)問題加以嚴(yán)格證明呢?他和正在大學(xué)讀書的弟弟決心大膽試一試,但是稿紙已經(jīng)用了一大疊,研究工作還是沒有任何進(jìn)展。弟弟還就此問題的證明請(qǐng)教了他的老師、著名數(shù)學(xué)家德·摩爾根,摩爾根也沒有能找到解決的有效途徑,于是寫信向好友、著名數(shù)學(xué)家哈密頓爵士請(qǐng)教,但直到1865年哈密頓逝世為止問題仍未能夠解決。

1872年,英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問題,于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題,世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。

肯普的研究

1878～1880年兩年間,著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)

兩人分別提交了證明四色猜想的論文,宣布證明了四色定理(Four color theorem)。

大家都認(rèn)為四色猜想就此解決,但其實(shí)肯普并沒有證明四色問題。1890年,在牛津大學(xué)就讀的年僅29歲的希伍德以自己的精確計(jì)算指出了肯普在證明上的漏洞。他指出肯普說沒有極小五色地圖能有一國(guó)具有五個(gè)鄰國(guó)的理由有破綻。不久泰勒的證明也被人們否定了。人們發(fā)現(xiàn)他們實(shí)際上證明了一個(gè)較弱的命題——五色定理。就是說對(duì)地圖著色,用五種顏色就夠了。

不過讓數(shù)學(xué)家感到欣慰的是,希伍德沒有徹底否定肯普論文的價(jià)值,運(yùn)用肯普發(fā)明的方法,希伍德證明了較弱的五色定理。一方面,五種顏色已足夠,另一方面,確實(shí)有例子表明三種顏色不夠。

肯普的貢獻(xiàn)

肯普是用歸謬法來證明的,大意是如果有一張正規(guī)的五色地圖,就會(huì)存在一張國(guó)數(shù)最少的“極小正規(guī)五色地圖”,如果極小正規(guī)五色地圖中有一個(gè)國(guó)家的鄰國(guó)數(shù)少于六個(gè),就會(huì)存在一張國(guó)數(shù)較少的正規(guī)地圖仍為五色的,這樣一來就不會(huì)有極小五色地圖的國(guó)數(shù),也就不存在正規(guī)五色地圖了。這樣肯普就認(rèn)為他已經(jīng)證明了“四色問題”,但是后來人們發(fā)現(xiàn)他錯(cuò)了。

不過肯普的證明闡明了兩個(gè)重要的概念,對(duì)以后問題的解決提供了途徑。第一個(gè)概念是“構(gòu)形”。他證明了在每一張正規(guī)地圖中至少有一國(guó)具有兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)或五個(gè)鄰國(guó),不存在每個(gè)國(guó)家都有六個(gè)或更多個(gè)鄰國(guó)的正規(guī)地圖,也就是說,由兩個(gè)鄰國(guó),三個(gè)鄰國(guó)、四個(gè)或五個(gè)鄰國(guó)組成的一組“構(gòu)形”是不可避免的,每張地圖至少含有這四種構(gòu)形中的一個(gè);肯普提出的另一個(gè)概念是“可約”性?！翱杉s”這個(gè)詞的使用是來自肯普的論證。他證明了只要五色地圖中有一國(guó)具有四個(gè)鄰國(guó),就會(huì)有國(guó)數(shù)減少的五色地圖。自從引入“構(gòu)形”,“可約”概念后,逐步發(fā)展了檢查構(gòu)形以決定是否可約的一些標(biāo)準(zhǔn)方法,能夠?qū)で罂杉s構(gòu)形的不可避免組,是證明“四色問題”的重要依據(jù)。但要證明大的構(gòu)形可約,需要檢查大量的細(xì)節(jié),這是相當(dāng)復(fù)雜的。開始人們希望通過用可約構(gòu)形簡(jiǎn)化地圖來研究證明四色定理;計(jì)算機(jī)也依據(jù)這個(gè)思路進(jìn)行證明,雖然做了百億次判斷,終究只是在龐大的數(shù)量?jī)?yōu)勢(shì)上取得成功,這并不符合數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯體系。

由于四色定理的證明沒有得到公認(rèn),所以包括中國(guó)在內(nèi)的很多數(shù)學(xué)愛好者仍在前仆后繼的不斷努力,希望找到能得到大家公認(rèn)的證明。筆者也是其中的一員,經(jīng)過長(zhǎng)期探索,我們終于通過對(duì)色鏈的研究,利用色鏈的性質(zhì)對(duì)四色定理進(jìn)行了證明,并且首次對(duì)四色定理進(jìn)行了詳細(xì)描述,能否得到大家對(duì)認(rèn)可,我們拭目以待。具體的證明過程詳見《中國(guó)科技投資》雜志2019年第17期。

四色定理:當(dāng)給平面或球體表面地圖上的國(guó)家著色時(shí),只需四種顏色,即可使任何兩個(gè)相鄰的國(guó)家不具有相同顏色,只在孤立點(diǎn)上相鄰的國(guó)家除外。同時(shí),它們必然符合網(wǎng)狀鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)的特點(diǎn),即:任意連接兩種顏色,便會(huì)形成一條鏈;當(dāng)?shù)貓D中的國(guó)家相當(dāng)多時(shí),所形成的鏈或連續(xù)或斷開,形如網(wǎng)狀,它們的最小組成部分是單色或孤立點(diǎn)。

四色定理的內(nèi)在本質(zhì)就是網(wǎng)狀鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu),這個(gè)結(jié)構(gòu)能夠囊括‘給平面地圖用四種顏色著色’的所有情況。

證明四色定理,必須用完全歸納法,而且需要有嚴(yán)密的邏輯證明過程。說起嚴(yán)密的邏輯過程,我們不得不說一下邏輯學(xué)里面的一些悖論。實(shí)際上,我們認(rèn)為邏輯學(xué)是一個(gè)嚴(yán)密的思維科學(xué),是不應(yīng)該有悖論的,之所以有一些邏輯悖論,是因?yàn)橛幸恍└拍钅：斐傻?比如比較著名的“理發(fā)師悖論”。

“理發(fā)師悖論”是“羅素悖論”的通俗說法。所謂悖論就是怎么說都不對(duì)。他說,假如有一個(gè)村子,村子里有一個(gè)理發(fā)師,這個(gè)理發(fā)師,他在自己的店門口立了一塊牌子,說我給且僅給自己不刮胡子的人刮胡子。也就是說,如果你自己給自己刮胡子,那我就不給你刮了。如果你要是不給自己刮胡子,那你來我這,我就給你刮胡子,不要錢我也給你刮。那么羅素就問了,假如真的有這樣一個(gè)理發(fā)師的話,他應(yīng)不應(yīng)該給自己刮胡子呢?他如果給自己刮胡子,他就是一個(gè)給自己刮胡子的人。那么他不應(yīng)該給自己刮胡子,對(duì)不對(duì)?按他的說法。他如果不給自己刮胡子,他就是一個(gè)不給自己刮胡子的人。他就應(yīng)該給自己刮胡子,他到底給不給自己刮胡子?

造成“理發(fā)師悖論”的原因就是:這里面的‘給自己刮胡子的人’這一個(gè)概念模糊造成的。把這個(gè)概念明確后,“理發(fā)師悖論”就迎刃而解了。我們可以把這個(gè)‘給自己刮胡子的人’進(jìn)行三個(gè)定義:1、只要心里想了要給自己刮胡子那他就是‘給自己刮胡子的人’;2、只是心里想了要給自己刮胡子還不行,他需要至少給自己刮一根胡子,那他就是‘給自己刮胡子的人’;3、只是心里想了要給自己刮胡子不行,他需要給自己的胡子全部刮干凈,并清洗干凈,他才是‘給自己刮胡子的人’。只要這三個(gè)概念明確,不管你認(rèn)可用哪個(gè)概念定義‘給自己刮胡子的人’這個(gè)悖論都會(huì)被破解。

證明四色定理的意義

對(duì)于一個(gè)具體的平面地圖來說,用四種顏色著色不是一件很難的事,那么證明了四色定理有什么意義呢?筆者認(rèn)為至少有以下兩個(gè)意義,第一,是對(duì)于一個(gè)無限大的平面地圖如何用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的探索。第二,通過對(duì)四色定理對(duì)研究,發(fā)現(xiàn)了其中的網(wǎng)狀鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu),這個(gè)是平面上的一個(gè)普遍存在的結(jié)構(gòu)。通過對(duì)網(wǎng)狀鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)的研究,我們可以發(fā)現(xiàn)其中的一些奧秘,四種顏色可以同時(shí)產(chǎn)生六條色鏈,可以通過對(duì)色鏈進(jìn)行換色使地圖的著色千變?nèi)f化。

二、由四色定理引發(fā)的一些新想法及課題

可以根據(jù)四色定理的原理開發(fā)一套四色圍棋(或四色圍棋軟件),它和目前的黑白兩色圍棋主要的區(qū)別就在于四色圍棋用四種顏色棋子且不允許在直線相鄰的兩個(gè)點(diǎn)上著同一種顏色的棋子,可以2、3、4個(gè)人對(duì)弈,兩種顏色為一組,這樣給下棋增加了難度也增加了下棋的樂趣。

下面是我們所要說的幾個(gè)研究課題,希望能和對(duì)此感興趣的人士共同探討:

研究課題之一:通過四色定理的證明,使我們歷經(jīng)160多年發(fā)現(xiàn)了里面的網(wǎng)狀鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu),既然這個(gè)網(wǎng)狀鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)那么不容易被發(fā)現(xiàn),我們能否利用他編制一種加密程序哪?我們相信通過對(duì)這方面研究一定會(huì)有所收獲。

在一個(gè)平面地圖用四種顏色著色,可以同時(shí)產(chǎn)生六條色鏈,有一加一大于二的效果。根據(jù)這個(gè)原理,我們?cè)谝粡埖貓D上選擇一個(gè)色鏈的某一段作為加密信息,就會(huì)很難被破解,從而實(shí)現(xiàn)加密的目的。這是一個(gè)最基本的想法,具體怎么實(shí)施,需要在實(shí)際運(yùn)作時(shí)不斷改進(jìn)。

研究課題之二:根據(jù)網(wǎng)狀鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)的特點(diǎn)研究新材料、新工藝。比如:用幾種材料混合為新的復(fù)合材料;這個(gè)在當(dāng)今社會(huì)上是人們比較關(guān)注的一個(gè)學(xué)科,而且人們也在不斷的進(jìn)行研究,也出了很多的成果,比如現(xiàn)在建筑上大量應(yīng)用的混凝土就是人為將石子、砂粒、水泥及水混合而成的,我們可以根據(jù)網(wǎng)狀鏈?zhǔn)降脑斫Y(jié)合以往人們的研究方法研究新的復(fù)合材料相信也會(huì)有所收獲。

研究課題之三:自古以來人們對(duì)太空的探索一直沒有停止過,我國(guó)在這方面也取得了很大的成就。這個(gè)雖然和四色定理無關(guān),但是我們對(duì)它也非常感興趣。碟狀飛行器是這些年人們熱議的話題之一,通過對(duì)網(wǎng)上相關(guān)視頻及圖片資料的研究,我們發(fā)現(xiàn)這種碟狀飛行器,可以克服地球引力,飛行速度很快,飛行時(shí)幾乎沒有聲音,可以在空中懸停,這使它不但節(jié)約能源,還不需要傳統(tǒng)飛機(jī)跑道的限制,而且這種飛行器可以做的很大。雖然目前認(rèn)為它是外星文明的產(chǎn)物,但是它既然能被我們發(fā)現(xiàn),說明它是存在的,既然外星人能制造出來,我們也應(yīng)該能制造出來。它才是我們未來飛向太空理想的工具。相信通過大家的不懈努力,我們?cè)诓贿h(yuǎn)的將來也能生產(chǎn)出這樣的飛行器。