趙亞運，李方犁

(廣東理工學院，廣東 肇慶 526100)

1 引言

力學是物理開篇的重要章節(jié)，而牛頓第二定律的應用是高中物理的核心內容、重要考點，也是大學物理的基礎不可或缺[1]。但牛頓第二定律必須是在慣性參考系下才適用，所謂慣性參考系是指相對于慣性系靜止或作勻速直線運動的參考系[2]，因此物理學中大部分的研究都是在慣性參考系下的問題。非慣性參考系是指相對于慣性系做變速直線運動或曲線運動的參考系，而在相對于慣性系做勻變速直線運動的非慣性參考系（也是本文所指非慣性參考系）下的質點動力學問題，作為大學物理力學篇的選學知識重難點，對于深入分析、理解動力學具有很重要的意義。在大學物理教材中處理該類問題，一般是在引入慣性力后，再用牛頓第二定律就可解決。

在高中物理中我們知道慣性是物體自身的一種固有屬性[3]，其大小只與物理質量有關，且質量越大慣性越大，因此是沒有慣性力這么一種說法。但在大學物理的非慣性參考系的研究中，引入了一個虛擬的、不存在的“慣性力”，然后滿足牛頓第二定律，進而處理相關問題。例1[4]：如圖1，一個在地面上水平向右做加速度為a0的直線運動的車廂中，有一質量為m的物塊，在光滑的車廂中以a'的加速度向右直線運動，物體所受水平外力為F；非慣性參考系下，不能直接用牛頓第二定律，引入慣性力即物塊所受慣性力大小為ma0，方向與車廂加速度方向相反。然后用牛頓第二定律得合外力

圖1

例2：如圖2，A、B 兩物體質量分別為 1m、m2，用一根不可伸長的輕質細繩與定滑輪組合而成（忽略阻力），系統(tǒng)置于以加速度大小為a0向上運動的電梯內，求繩子的拉力和物體的加速度。首先我們引入慣性力的常規(guī)解法，對A 在水平方向受力分析，對B 在豎直方向受力分析如圖3，根據(jù)牛頓第二定律有：而B 物體所受慣性力Fs=m2a0；其中F1與F2是一對作用力與反作用力大小相等有F1=F2，且作為輕質細繩連接的A、B 物體沿繩方向加速度大小相等有a1=a2，帶入可求出繩子的拉力：物體的加速度為

圖2

圖3

上面兩個例題是我們處理非慣性參考系下質點動力學問題的常用辦法，但因為慣性力和引入慣性力牛頓第二定律適用理解的困難和計算的復雜性，本文將結合經(jīng)典例題在對比引入慣性力和使用相對運動方法的基礎上，采用轉換替代法更加快捷簡單的處理非慣性系下的質點動力學問題。

2 轉換替代法的介紹

我們將非慣性系下的質點動力學問題分為兩類：第一類是純水平方向運動的（計算結果不含g）；第二類是含有豎直方向運動的（比如斜面上非慣性系下質點的運動或定滑輪連接的兩物體在非慣性系下豎直方向的運動等，計算結果含有g）。

對于第一類問題往往是教材上對于慣性力的引入做鋪墊，在理解時我們可以用到相對運動里面的知識。相對運動中我們將質點相對地球（慣性系）的運動成為絕對運動，質點相對于非慣性系的運動稱為相對運動，而將非慣性系相對于地球的運動稱為牽連運動；對應的位移分別稱為絕對位移相對位移和牽連位移且滿足關系式：將其對時間求二階導可得絕對加速度相對加速度和牽連加速度的關系式為：因此我們只需要將原來的非慣性系轉換成地球這個慣性系，然后求出絕對加速度即可用牛頓第二定律處理[5]。如上圖1 中的例題，絕對加速度大小為在慣性參考系下用牛頓第二定律課算出合外力F=m(a0+a')；如上圖2 中的例題，用相對運動法，設繩子拉力大小為F，B 物體向下的相對加速度為a，則絕對加速度為a-a0，牛頓第二定律可知：F=m1a；m2g-F=m2(a-a0)，計算出的結果與上述一致。

對于第二類含有豎直方向運動的問題，如圖4，在電梯內放置一個質量為m 的物體，電梯的加速度大小為a0，物體受到電梯豎直向上的支持力F 及自身的重力。當a0=0，即電梯是靜止或勻速直線運動的慣性參考系時，F(xiàn)=mg；當a0≠0，且方向豎直向上時，電梯是超重狀態(tài)的非慣性參考系，F(xiàn)=m(g+a0)，令g+a0=g1，則F=mg1；當a0≠0，且方向豎直向下時，電梯是失重狀態(tài)的非慣性參考系，F(xiàn)=m(g-a0)，令g-a0=g2，則F=mg2。對比可知非慣性系下計算的結果與慣性系下的相比只是重力加速度改變了，超重狀態(tài)時，用g1替代g；失重狀態(tài)時，用g2替代g。

圖4

根據(jù)上面解題分析的特點，可將其命名為轉換替代法——將非慣性系轉換成慣性系計算完結果，最后將結果里面的重力加速度g 被折算后實際的重力加速度gh替代，其中gh=g±a0（a0是指非慣性系加速度的大?。?，gh中正負號由運動狀態(tài)決定。當非慣性系是超重狀態(tài)，即非慣性系向上運動時，取正號；當非慣性系是失重狀態(tài)，即非慣性系向下運動時，取負號。

對于圖4 例題也可以用相對運動的辦法處理，甚至可以作為理解相對運動或者引入慣性力方法的基礎。但在實際題目的應用上其理解和計算依然復雜，而采用轉換替代法，我們可以將非慣性系轉換為我們熟練的慣性系，直接使用牛頓第二定律進行計算，最后根據(jù)超重或失重狀態(tài)得到折算后的實際重力加速度gh將結果里的g 替代即可完成解答。轉換替代法可以避免引入慣性力和使用相對運動這兩種方法理解和計算的困難，快速準確的處理非慣性系下的質點動力學問題。上面的例2 可以作為一個快速驗算、很好的證明，下面將結合兩個典型題目用不同方法來驗證它的便捷性和準確性。

3 轉換替代法的應用

例題3：一個向下做加速度為g/3 的電梯內裝有一輕質光滑的滑輪，質量分別為3m 和m 的A、B 兩物體通過一根輕且不可伸長的細繩跨過定滑輪兩邊，如圖5，求物體的加速度和細繩的拉力。

圖5

解法1—用常規(guī)引用慣性力的解法：設加速度為a，拉力為F，A 受到的慣性力大小B 受到的慣性力由牛頓第二定律：

解法2—轉換替代法：計算慣性參考系下的加速度和細繩的拉力，直接用牛頓第二定律課快速計算出此時加速度a'=g/2，F(xiàn)'=2mg/3；電梯處于失重狀態(tài)，故折算后實際的重力加速度gh=g-g/3=2g/3，將gh替換掉計算結果里面的g，可得：與上面方法計算完全一致。

例題4：升降機內有一光滑斜面，固定在底板上，斜面傾角為θ.當升降機以勻加速度1a豎直上升時，質量為m 的物體從斜面頂端沿斜面開始下滑，如圖6 所示.已知斜面長為l，求物體對斜面的壓力，物體從斜面頂點滑到底部所需的時間.

圖6

解法1—相對運動法：如圖5 建立二維直角坐標系，設物體相對于斜面向下的加速度為a2，則其絕得加速度受力分析后用牛頓第二定律有：解出方程得物體沿斜面向下作勻變速直線運動，所以

解法2—轉換替代法：在升降機靜止的慣性參考下，斜面上物體沿斜面向下的加速度a=gsinθ，則物體從斜面頂點滑到底部所需的時間升降處于超重狀態(tài)，故折算后實際的重力加速度gh=g+a1，將gh替換掉計算結果里面的g，可得：與上面計算結果完全一致。此處用引入慣性力的方法處理的結果也是一樣，由于上面已經(jīng)兩次用到該方法計算，因此便沒有展示該方法計算過程。

4 結論

在處理非慣性系下質點動力學問題上，本文通過純水平方向非慣性系下運動的問題介紹了慣性力和其基本使用方法，并引出了另一種處理該問題的相對運動分析法；在這兩種常見處理非慣性系下質點動力學問題方法的學習總結基礎上，對于含豎直方向運動的常見類型問題，創(chuàng)建一種轉換替代法；即將非慣性系轉換為常見慣性系下解出結果，然后讓結果中的重力加速度g 被折算后實際的重力加速度gh替代即為最終結果。其中gh=g±a0（a0是指非慣性系加速度的大?。?，超重狀態(tài)取正號，失重狀態(tài)取負號。結合經(jīng)典例題舉例，采用不同方法對比，可知轉換替代法在分析和解答中有其獨特的優(yōu)勢，能優(yōu)化學生對該問題的理解和簡化計算過程，甚至為教師教學提供一定的參考。